第五章-----平面电磁波

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1、第五章 平面电磁波本章内容本章内容5.15.1平面正弦电磁波在理想介质中传播平面正弦电磁波在理想介质中传播5.25.2平面正弦电磁波在导电介质中的传播平面正弦电磁波在导电介质中的传播5.35.3良导体的趋肤效应和表面阻抗良导体的趋肤效应和表面阻抗5.45.4电磁波的色散和群速度电磁波的色散和群速度5.55.5电磁波的极化电磁波的极化5.65.6平面正弦电磁波对平面分界面的垂直入射平面正弦电磁波对平面分界面的垂直入射5.75.7平面正弦电磁波对理想导体平面的斜入射平面正弦电磁波对理想导体平面的斜入射5.8平面正弦电磁波对理想介质分界面的斜入射2021/6/415.1平面正弦电磁波在理想介质中传播

2、1. 波动方程及其求解方法 在4.2节已经给出了在均匀、各向同性、无损耗媒质的无源区域的波动方程(5.1.1)(5.1.2)在直角坐标系中，电场强度E为(5.1.3)把式（5.1.3）代入到式（5.1.1）中得到三个形式完全相同的标量偏微分方程2021/6/42式中把上述三个标量偏微分方程求解后即得出电场强度E。2. 平面电磁波（5.1.4） 对于均匀平面电磁波，设电场只有Ex一个分量并随z方向一维变化，则式（5.1.4）简化为2021/6/43其通解为3. 平面正弦电磁波 如果平面正弦电磁波沿z轴正向传播，则 Ex（z,t）=Exmcos（t-kz）如果平面电磁波沿z轴正向传播，则考虑到传播

3、方向，磁场强度可写成矢量形式，即2021/6/44例5.1在自由空间中，E（z,t）=ey103sin(t-z)（V/m） 试求H（z,t）。解: 很显然 下面通过判断给出H（z,t）的方向，由E（z,t）表达式可知，电磁波是沿着z轴正向传播，电磁波的传播方向即是坡印廷矢量S的方向，由S=EH，可以判断磁场应为-ex方向，所以2021/6/454. 平面正弦电磁波的特性（1） 行波特性（2） 横波特性（3） 特性参量 周期T、频率f、角频率 速度v、波长、波数k2021/6/46 例5.1.2 均匀平面正弦波在各向同性的均匀理想介质中沿x轴正向传播，介质的特性参数为r=4、r=1，=0。电磁波

4、的频率为100MHz，电场强度的幅值为104V/m，电场沿x方向，且当t=0，z=1/8m时，电场强度等于其幅值。试求： （1） 波速、波数和波长； （2） 电场强度矢量E（z,t）； （3） 磁场强度矢量H（z，t）。解（1） 2021/6/47（2）E（z,t）=exEx 式（5.1.15）是初相为0的表达式，如果初值不为0，其表达式为当t=0,z=1/8m时，Ex=Exm，即所以（3） 介质的本征阻抗所以2021/6/485.2平面正弦电磁波在导电介质中的传播1. 复介电常数引入复介电常数后，无源导电介质的麦克斯韦方程为2. 导电介质中的电场强度电场强度的瞬时值表达式为2021/6/49

5、导电媒质电场强度的传播规律： （1） 导电介质中电场强度是按照e-z衰减的，是表示单位距离衰减程度的系数，称为电磁波的衰减系数。电导率越大，就是越大，衰减就越快。（2） 表示单位距离落后的相位，称为电磁波的相位系数。与理想介质不同，导电介质的相位系数不再是常数，而是与、都有关系的一个系数。3. 导电介质中的磁场强度磁场强度的瞬时值表达式为2021/6/410 磁场强度除衰减系数和相位系数与电场强度有相同的规律外，还具有如下规律： （1） 磁场强度的振幅与1/|c|有关，它不仅取决于 还取决于导电介质电导率的大小。（2） 磁场与电场不再是同相的，而是磁场比电场滞后 角。这一点通过图5.2.1可以

6、定性地看出。图5.2.1 导电媒质中平面正弦波的电场和磁场2021/6/4114. 关于导电介质的讨论（1） 低损耗介质 在/1情况下对式（5.2.15）和式（5.2.16）进行估算2021/6/412复本征阻抗为例5.2.1 频率为550kHz的平面波在有损媒质中传播，已知媒质的损耗角正切tan=/=0.02，相对介电常数r=2.5。求平面波的衰减系数、相位系数和相速度。解: 2021/6/4135.3良导体的趋肤效应和表面阻抗良导体中电场强度和磁场强度的瞬时值 由于 很大，电磁波进入良导体很短的距离，场的幅值就很小，这种现象称为趋肤效应。 趋肤效应可以用趋肤深度来描述，通常也称为穿透深度，

7、它定义为： 场进入有损介质后幅值衰减为原来的1/e的深度，即2021/6/414所以对于良导体有由于良导体= ,而=2/，可以得出趋肤深度和波长的关系为 =/2 对于良导体而言，在直流或低频下工作，整个导体截面都有电流流过； 但是在高频下工作时，由于趋肤效应，导体中的电流将集中在靠近表面的薄层上，随着深度的增加，导体内部的电流密度迅速减小，如图5.3.1所示。把J=E代入到式（5.2.13）得 2021/6/415图5.3.1 良导体中电流密度分布示意图 可见，在高频情况下再沿用原来的电阻或阻抗的概念是不行的，于是定义导电媒质的表面阻抗率为 式中Et是导电介质表面的切向电场，即当z=0时的Ex

8、值，Ex=J0/。2021/6/416 Js是导电介质表面上单位宽度，深度为无限大（实际上良导体只在很小深度有趋肤电流）的截面上流过的电流，即所以式中，rs=/称为表面电阻率； xs=/称为表面电抗率。对于良导体2021/6/417例5.3.1 已知铜的电导率为=5.80107S/m，求半径为2mm的铜导线当f=1MHz时单位长度的表面电阻。解: 铜的表面电阻率为 表面电阻与表面电阻率的关系为 Rs=rsl/w式中，l为导体的长度，本题为1个单位长度； w为宽度，本题w=2r。 所以2021/6/418下面再来计算一下直流电阻R0的大小可见，高频时良导体的表面电阻远大于直流电阻，为了减小电阻只

9、有增加导体的表面积。2021/6/419例5.3.2 频率为10MHz的平面波在金属铜里传播，已知铜的参量为r1，r1，=5.8107（S/m）。已知金属表面的磁场强度幅值为Hym0=0.1（A/m）。求:（1） 金属铜内的衰减系数、相位系数以及相速度vp和波长； （2） 金属铜内的复本征阻抗c及金属表面的电场强度幅值Exmo； （3） 趋肤深度及表面阻抗率zs； （4） 金属铜的电场强度瞬时值、磁场强度瞬时值及进入导体的能流密度Sav。解: (1)2021/6/420 可见，电磁波在良导体中的传播速度是很慢的，远远小于光速。 =vp/f=1.313104（m）2021/6/421 进入导体内

10、的功率密度可由复坡印廷矢量S=EH*求出,当z=0时2021/6/422例5.3.3 平面波从自由空间入射到海水中，海水的参量为=4S/m,r=80，r=1。电磁波的频率为： f=30Hz； f=30MHz。 试求进入海水的深度h等于多少时，电场强度的幅值仅剩海水表面幅值的10%。解：（1） 当f=30Hz时显然是良导体2021/6/423 所以海底广泛使用低频无线电通信（频率通常为40Hz10kHz）或声呐。（2） 当f=30MHz时，/30，仍然为良导体 由e-h=10%得h=-ln0.1/=0.1058（m） 可见，f=30MHz的高频电磁波进入海水深度仅0.105m，其幅度只剩下10%

11、，衰减极快。 2021/6/4245.4电磁波的色散和群速度1.电磁波的色散2. 电磁波的相速度 可见，导电介质的相速度随频率不同而有所改变。在低损耗介质中 所以，由于频率引而起的相速度差别不大。再来看良导体中的相速2021/6/425 可见，良导体中v与 成正比。因此良导体的色散非常严重。 那么电磁波的色散对信号的传输有什么影响呢？ 前面几节讨论的是单一频率的均匀平面电磁波。而信号是不同频率的谐波叠加而成，单一频率的均匀平面谐波不能携带任何信号。这样信号在有损介质中传播，就会使某些频率的谐波相速度增大，另一些频率的谐波相速度减小。如果信号从z=0出发，就会使某些频率的谐波先到达距离z=L处，

12、另一些频率的谐波后到达z=L处。所以信号在有损介质中传输，会引起色散失真，如图5.4.1所示。2021/6/426 从图中可以看出，z=0处波形很窄，波形在传输到z=L处被展宽，这会产生信号的失真。失真较严重时，两列脉冲交叠在一起，信号也就不能正常传输了。图5.4.1 信号在有损介质中传输的色散失真2021/6/4272. 电磁波的群速度 在有损介质中电磁波信号的传播速度，实际上就是多种频率叠加而形成的波包的传播速度，通常称为群速度vg。群速度vg与相速度不同，相速度vp是电磁波等相面的传播速度。 通信信号在有损介质中传播时，相对于载波信号，信号的带宽都很窄，是窄带信号，设携窄带信号的平面电磁

13、波，沿z轴正向传播的载波频率为0，则可以用泰勒级数在0附近展开(5.4.4)2021/6/428 现在讨论一种最简单的情况，在信号中，取0-和0+两个分量，相应的相位系数为0-和0+，因为是窄带信号，所以0,0，则电场强度的表达式为则合成电磁波的场强表达式为信号可以看成是以角频率0向z方向传播的行波，而振幅按cos（t-z）缓慢变化，如图5.4.2所示。(5.4.5)2021/6/429 按照相速度和群速度的概念，载波的相速度为 (5.4.6) 而包络向前行进的速度是群速度vg，由（t-z)为常数得 vg=dz/dt=/ (5.4.7) 当0时vg=d/d (5.4.8) 对窄带信号，信号包络

14、在传播过程中畸变很小，群速度vg才有意义。图5.4.2 合成电磁波的波形2021/6/4303. 电磁波群速度和相速度之间的关系 对于0为载波的窄带信号，把式（5.4.4）取前两项代入到式（5.4.8）中得并把=/vp代入上式得(5.4.9)从式（5.4.9）可知： 当dvp/d=0时，vg=vp，这是无色散情况； 2021/6/431 电磁波通过有损介质总是要发生色散的，这必然导致信号发生失真，工程技术人员可以采取一些措施来补修。如光信号在光导纤维中传播，要产生正常色散，那么工程技术人员可以设计出反常色散光纤进行补偿，也可以采用对信号均衡补偿的方法。2021/6/4325.5电磁波的极化 前

15、几节讨论了均匀平面正弦平面波，在自由空间，如果电场的方向固定为x方向，电场强度矢量的瞬时值为 E=excos（t-kz）（5.5.1）这是一种特殊情况，即电场强度矢量E的端点轨迹始终为保持在x方向的直线。 通常场矢量随时间变化时，端点的轨迹为直线的波称为线极化波。 如果场矢量端点的轨迹为圆的波称为圆极化波； 如果场矢量端点的轨迹为椭圆的波则称为椭圆极化波。 2021/6/433 讨论电磁波的极化是有实际意义的，它可以说明怎样设置天线才能得到最有效的接收等问题。在现代通信中广泛采用了圆极化空间电磁波，在铁氧体器件中也是利用了圆极化的磁场。 在一般情况下，对于沿z轴方向传播的均匀平面波，电场强度矢

16、量E有两个分量Ex和Ey，它们的频率传播方向均是相同的，电场强度矢量的表达式为式中2021/6/434所以电场强度矢量的两个分量的瞬时值为显然，电磁波的极化形式与这个平面电磁波的两个分量的振幅和相位有关，下面分三种情况讨论。（1） 线极化波显然，合成电磁波虽然电场强度的大小是随时间位置变化的，但其矢量端点始终是一条直线，这条直线与x轴正向夹角是一个常数见图5.5.1a）2021/6/435 当Ex和Ey反相时，即 时合成波也为线极化波，此时电磁波的电场强度矢量与x轴正向夹角也是一个常数见图5.5.1（b）。(a)同相时 (b)反相时 图5.5.1 线极化波2021/6/436（2） 圆极化波

17、当Exm=Eym=Em， 时，则式（5.5.3）和式（5.5.4）变为消去t得 这是一个圆的方程，即合成波的电场强度矢量E的端点的轨迹是一个圆。E的模和幅角分别为2021/6/437即 为了分析简便令z=0，如果 ，则矢量E将以角速度在xoy平面上沿逆时针方向旋转，如图5.5.2（a）所示； 如果 ，则E将以在xoy平面上沿顺时针方向旋转，如图5.5.2（b）所示。(a)右旋圆极化 (b) 左旋圆极化(b) (c) 图5.5.2 圆极化波2021/6/438（3） 椭圆极化波 更一般的情况是Ex和Ey及和为任意关系。对式（5.5.3）和式（5.4.4）消去t得 上式是以Ex和Ey为变量的椭圆方

18、程。即电场强度矢量的端点是椭圆，所以称为椭圆极化波。 线极化波和圆极化波可以看做椭圆极化波的特例。2021/6/439例5.5.1判断下列平面电磁波的极化形式。所以电磁波是沿着z轴负方向传播，Ex和Ey的相差为，故为线极化波在二、四象限。（2） 可得写成瞬时值所以电磁波是沿z轴正方向传播，Ex与Ey的相差为/2，故为右旋圆极化波。2021/6/4405.6平面正弦电磁波对平面分界面的垂直入射1. 对理想导体平面分界面的垂直入射 平面正弦电磁波垂直入射到理想导体的平面分界面上，如图5.6.1（a）所示。设它的传播方向是z轴方向，电场强度方向为x轴方向，则入射波的电场强度可表示为 （5.6.1）相

19、应的磁场强度为 (5.6.2) 在理想导体分界面处发生反射，如图5.6.1（b）所示，显然反射波的传播方向为z轴的负方向,设反射波2021/6/441 的电场强度方向仍为x轴方向，则反射波的电场强度可表示为 相应的磁场强度为 反射波和入射波在理想介质里形成合成波，合成的电磁场为2021/6/442图5.6.1平面正弦波对理想导体分界面的垂直入射2021/6/4432. 对理想介质平面分界面的垂直入射 现有两种理想介质，介质1的参数为1、1，介质2的参数为2、2。平面正弦电磁波从介质1垂直入射到介质2的平面分界面，如图5.6.3所示。图5.6.3平面正弦波垂直入射到两种理想介质的平面分界面202

20、1/6/444在理想介质1中的合成电场和磁场为在理想介质2中合成波的电场和磁场的表达式为2021/6/445 例5.6.1 频率为f=300MHz的线极化平面波，其电场强度幅值Em=2V/m，从空气垂直入射到r=4，r=1的理想介质平面上（坐标设定与图5.6.3相同）。求： （1） 反射系数和透射系数； （2） 入射波、反射波和透射波的电场和磁场的瞬时值表达式（取初相=0）； （3） 入射功率、反射功率和折射功率。解（1） 所以2021/6/4462021/6/4472021/6/448例5.6.2 一右旋极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度的复数表达式为（1） 求出反射波的表

21、达式并确定其极化方式； （2） 求板上的感应面电流； （3） 写出合成波电场强度的瞬时表达式。解（1） 设反射波的电场强度为利用边界条件得Erx=-E0，Ery=jE0则Er=E0（-ex+jey）ejkz由于 ,所以它是左旋极化波。2021/6/449（2） 先求出入射波和反射波的磁场强度所以合成波的磁场为H1=Hi+Hr导体面上的感应面电流为合成波电场为2021/6/450所以其瞬时值为（E0为电场强度的有效值）2021/6/4515.7平面正弦电磁波对理想导体平面的斜入射1.波矢量k2. 在理想介质中，如果电磁波向空间某一方向传播，那么相移常数就是矢量，称为波矢量k。电磁波在理想介质中传

22、播的表达式为3. E=E0e-jkr （5.7.1）4.式中E0为复振幅。 引入波矢量k,有时会给分析带来方便，实际上波矢量k的方向就是波的传播方向。 在直角坐标系中k和r分别表示为 所以有 （5.7.2）2021/6/452 下面讲解极化波的问题。因为极化波形式不同，其规律也不相同。线极化波和分界面的法线与入射波射线构成的平面关系有两种情况。一种情况是电场强度矢量平行于入射面，称为平行极化波； 另一种情况是电场强度矢量垂直于入射面，称为垂直极化波。2. 平行极化波对理想导体平面的斜入射图5.7.1平行极化波对理想导体平面的斜入射2021/6/453 如图5.12所示，分析平行极化波对理想导体

23、平面的斜入射问题，建立直角坐标系。入射线与分界面法线的夹角称为入射角，设入射角为i，则式中得相应的磁场为2021/6/454 反射线与分界面法线的夹角称为反射角，设反射角为r，则反射波表示为合成波的电场和磁场2021/6/4553. 垂直极化波对理想导体平面的斜入射 利用图5.7.2来分析垂直极化波对理想导体平面的斜入射问题，分析方法类似于平行极化波。可以得到反射定律仍然成立图5.7.2 垂直极化波对理想导体平面的斜入射2021/6/456合成波的电场和磁场为例5.7.1 有一正弦均匀平面波从空气斜入射到z=0的理想导体平面上，其电场强度的复数表达式为 Ei=ey10e-j（6x+8z）（V/

24、m）求： （1） 波长和频率； （2） 电场强度的瞬时值表达式Ei（t）和磁场 强度的瞬时值表达式Hi（t）； （3） 入射角i； （4） 反射波的Er和Hr； （5） 合成波的总电场E1和总磁场H1。2021/6/457解：得2021/6/458所以 ，2021/6/4592021/6/4605.8 平面正弦电磁波对理想介质分界面的 斜入射1. 相位匹配条件和斯奈尔折射定律 如图5.8.1 所示，平面电磁波向理想介质分界面z=0处斜入射，将产生反射波和透射波（折射波），则入射波、反射波和透射波的电场强度矢量分别表示为在分界面z=0处两侧电场强度的切向分量应连续, E1t=E2t故有2021/

25、6/461又多加下角标t表示切向分量不同的x和y都成立，所以这个结论称为相位匹配条件图 5.8.12021/6/462斯奈尔折射定律2. 平行极化波对理想介质分界面的斜入射平行极化波对理想介质分界面的斜入射，如图5.8.2所示图5.8.2平行极化波对理想介质分界面的斜入射2021/6/463在图5.8.2所示的直角坐标系中，入射波的电场和磁场为反射波的电场和磁场为（已经考虑了反射定律）透射波的电场和磁场为2021/6/464平行极化波的菲涅尔公式3. 垂直极化波对理想介质分界面的斜入射垂直极化波理想介质分界面的斜入射如图5.8.3所示图5.8.3垂直极化波对理想介质分界面的斜入射2021/6/

26、465 仿照水平极化波的求解方法，对图5.8.3所示的直角坐标系，写出入射波、反射波和透射波的表达式，然后在z=0处应用边界条件，并利用反射定律和折射定律可得垂直极化波的反射系数R和透射系数T。以上两式称为垂直极化波的菲涅尔公式2021/6/4664. 全反射和临界角 从折射定律式（5.8.10）可知，当理想介质1的介电常数1大于理想介质2的介电常数2时，就会有折射角t大于入射角i 当i为某个角度c时，t90，此时就不再有折射线了，这个角度称为临界角c当满足ic时，入射光线发生全反射。2021/6/4675.全折射和布儒斯特角6. 从式（5.8.21）可以看出，对于水平极化波，当入射角为某个特

27、定角B时，电磁波完全透射，没有反射，即R=0时，i满足求得即当入射角为B时，没有反射的电磁波，B称为布儒斯特角。2021/6/468 再来看垂直极化波，从式（5.8.24）只要12，无论入射角i是什么值，R都不会为零。因此以任何入射角向两种理想介质的分界面入射，都不会发生全折射。 水平极化波全折射的性质也很有用，如果一个任意方向的极化波，以布儒斯特角B入射，那么反射光线不会有平行极化波，只剩下垂直极化波分量。利用这个原理可以实现极化滤波。2021/6/469例5.8.1 一个线极化平面波从自由空间投射到理想介质（r=4，r=1）的分界面，如果入射波的电场与入射面夹角为40。试求： （1） 入射

28、角是多少度时，反射波只有垂直极化波。（2） 此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几。解:（1） 当入射角i为布儒斯特角B时，反射波没有水平极化波，只有垂直极化波。由题中给出的条件 自由空间1=0，1=0 理想介质2=40，2=0 所以2021/6/470（2） 入射波的电场与入射面的夹角为45，即入射波可分解为水平极化波分量和垂直极化波分量。设入射波的电场强度振幅有效值为Eio，则入射波的平均功率流为 Siav=ReEiH*i=E2io 反射波的垂直极化的反射系数R为反射波的平均功率流为2021/6/471 所以反射波的平均功率流是入射波的18%。例5.8.2 真空中波长为1.5m的远红外电磁波以75的入射角从r=1.5、r=1的介质斜入射到空气中，求空气界面上的电场强度与距离空气界面一个波长处的电场强度的大小之比。解： 理解介质，1=1.50,1=0 理想介质2为空气，2=0,2=0 临界角 显然ic，斜入射的电磁波发生全反射。在空气中透射波的电场强度2021/6/472式中所以空气界面上电场强度与距离空气界面一个波长处的电场强度大小之比为2021/6/473部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！