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1、第二章 圆锥曲线与方程1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1椭圆的汽车徽标椭圆的汽车徽标2月球的运行轨道月球的运行轨道3椭圆的盘子椭圆的盘子4椭圆的镜子椭圆的镜子5篮球在阳光下的投影篮球在阳光下的投影6 从这些图片我们看到，在我们所生活的世从这些图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形界中，随处可见椭圆这种图形.而且我们也已经而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么知道了椭圆的大致形状，那么如何确切的描述如何确切的描述椭圆呢？椭圆呢？我们能否动手画一个椭圆呢？我们能否动手画一个椭圆呢？71.1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际
2、生活中的作用和在实际生活中的作用. .2.2.掌握椭圆的定义和标准方程掌握椭圆的定义和标准方程. .（重点）（重点）3.3.掌握椭圆的标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的推导过程. .（难点）（难点）8探究点探究点1 1 椭圆的定义椭圆的定义对于篮球在阳光下的投影，对于篮球在阳光下的投影，把太阳光看成一束平行光，把太阳光看成一束平行光，如图所示，照射在篮球上的平如图所示，照射在篮球上的平行光线抽象为一个斜放的圆柱，行光线抽象为一个斜放的圆柱，篮球面抽象为一个球面，球心篮球面抽象为一个球面，球心记作记作O O1 1，篮球面与地面的接触，篮球面与地面的接触点抽象为球与平面的切点点抽象为球与平面的
3、切点F F1 1，影子恰好是圆柱面被平面斜截影子恰好是圆柱面被平面斜截的截面，截面的边界线称为椭圆的截面，截面的边界线称为椭圆. .O1F19对于上图所示的几何模型，对于上图所示的几何模型，把圆柱面延伸，在截面下把圆柱面延伸，在截面下面也放一个与圆柱面和截面也放一个与圆柱面和截面都相切，且同样大的球，面都相切，且同样大的球，球心记作球心记作O O2 2, ,该球与截面该球与截面的切点为的切点为F F2 2，如图所示，如图所示. .O2F2F1O110两个球与圆柱面的切点分别两个球与圆柱面的切点分别构成了两个圆，圆心分别是构成了两个圆，圆心分别是球心球心O O1 1, ,O O2 2，若，若P
4、P为椭圆上一为椭圆上一点，过点点，过点P P作圆柱的母线，分作圆柱的母线，分别交别交O O1 1O O2 2于于A,BA,B两点，则两点，则PA,PA,PFPF1 1是球是球O O1 1的切线段，所以的切线段，所以PA=PFPA=PF1 1，同理，同理PB,PFPB,PF2 2是球是球O O2 2的的切线段，所以切线段，所以PB=PFPB=PF2 2，因此，因此，PFPF1 1+PF+PF2 2=AB.=AB.又又AB=OAB=O1 1O O2 2，由此，由此可以发现椭圆上的点到两切点可以发现椭圆上的点到两切点的距离之和是定值的距离之和是定值O O1 1O O2 2. .O1F1F2O211
5、动手操作：动手操作： 将一条细绳的两端固定在同一个定将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. .提示：提示：圆圆12思考思考1 1 将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点不同的两点F F1 1，F F2 2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？笔尖一周，这时笔
6、尖画出的轨迹是什么图形呢？ M结论：结论：笔尖画出笔尖画出的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. . 13思考思考2 2：在画椭圆的过程中，在画椭圆的过程中，(1)(1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？细绳的两端的位置是固定的还是运动的？提示：提示：固定的固定的. .(2)(2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？提示：提示：没变化没变化. .保持笔尖到两定点的距离和不变保持笔尖到两定点的距离和不变. .(3)(3)绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？提示：提示：三点三点M M，F F1 1，F F2 2不共线时，构成三角
7、形，不共线时，构成三角形， 两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点距离距离. .结合思考问题，结合思考问题，你能给椭圆下你能给椭圆下一个定义吗？一个定义吗？14 椭圆的定义：椭圆的定义：椭圆的定义的符号表示：椭圆的定义的符号表示： 平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之和的距离之和_（大于（大于|F|F1 1F F2 2| |）的点的集合叫做椭圆）的点的集合叫做椭圆. . 这两个这两个 _叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦点， 两个焦点间的距离叫做椭圆的两个焦点间的距离叫做椭圆的_._.等于常数等于常数定点定点F F1 1
8、，F F2 2焦距焦距2a2c02a2c0时，为椭圆时，为椭圆. .M15思考思考3 3：椭圆定义中为什么要求椭圆定义中为什么要求常数大于常数大于|F|F1 1F F2 2|(|(即即2a2c)2a2c)？提示：提示：当当|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a=|F|=2a=|F1 1F F2 2| |时时, ,M当当|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|F|=2a|F2a|F1 1F F2 2| |时动点时动点M M的轨迹才是椭圆的轨迹才是椭圆. .M动点动点M M的轨迹为以的轨迹为以F F1 1，F F2 2为端点的线段；为端点的线段；动点动点M M的轨迹不存
9、在的轨迹不存在; ;如何用如何用方程来方程来表示椭表示椭圆呢？圆呢？16探究点探究点2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程如图，作直线如图，作直线F F1 1F F2 2和线段和线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线, ,设设P P为椭圆为椭圆上一点，根据椭圆的定义，上一点，根据椭圆的定义，P P关于这两条直线的对称关于这两条直线的对称点也都在椭圆上，即这两条直线是椭圆的对称轴点也都在椭圆上，即这两条直线是椭圆的对称轴. . 以以直线直线F F1 1F F2 2为为x x轴，线段轴，线段 F F1 1F F2 2 的中垂线为的中垂线为y y轴，建立平面轴，建立平面直角坐标系直角坐标
10、系xOy,xOy,则焦点则焦点F F1 1，F F2 2的坐标分别为的坐标分别为( ( c,0)c,0)，(c,0)(c,0). .17A1A2B2B1根据椭圆的定义和椭圆的对称性根据椭圆的定义和椭圆的对称性, ,且且 所以所以 即即得得A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0),(a,0),B B1 1(0,-b),B(0,-b),B2 2(0,b)(0,b)如图椭圆和如图椭圆和x x轴，轴，y y轴分别有两个交点轴分别有两个交点A A1 1，A A2 2和和B B1 1，B B2 2，18设设P P（x x , , y y) )是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点，因为因为
11、所以所以两边平方、整理，得两边平方、整理，得上式两边平方、整理，得上式两边平方、整理，得由椭圆的定义，椭圆上的点由椭圆的定义，椭圆上的点P P 满足满足19即即两边同除以两边同除以a a2 2b b2 2得得这说明椭圆上的点的坐标满足以上方程这说明椭圆上的点的坐标满足以上方程.我们还可我们还可以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.20抽象概括：抽象概括：椭圆上任意一点的坐标都是方程椭圆上任意一点的坐标都是方程的解；的解；都在椭圆上都在椭圆上.以方程以方程的解为坐标的点的解为坐标的点我们将方程我们将方程叫作椭圆的标准方程，叫作椭圆的标准方程， 焦点
12、坐标是焦点坐标是21如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y y轴上，如图，其焦点坐标为轴上，如图，其焦点坐标为用同样的方法可以推出用同样的方法可以推出它的标准方程为它的标准方程为其中其中yOxF1F2M(0,-c)(0 , c)22总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距式直线方程的截距式焦点在焦点在y y轴：轴：焦点在焦点在x x轴：轴：3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1oFyx2FM1 12 2yoFFMx23 图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+
13、|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.24练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？ 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?(2)(2)焦点在焦点在x
14、 x轴，焦点坐标（轴，焦点坐标（-3,0-3,0），（），（3,03,0）(3)(3)焦点在焦点在x x轴，焦点坐标（轴，焦点坐标（-1,0-1,0），（），（1,01,0）252.2.回顾椭圆方程的求解过程，有哪些主要步骤？回顾椭圆方程的求解过程，有哪些主要步骤？第一步：根据椭圆的对称性建立坐标系；第一步：根据椭圆的对称性建立坐标系；提示：提示：第二步：第二步：设出椭圆上任意一点；设出椭圆上任意一点；第三步：把椭圆定义用等式表示；第三步：把椭圆定义用等式表示；第四步：把等式中的距离用坐标表示；第四步：把等式中的距离用坐标表示；第五步：把得到的方程化简；第五步：把得到的方程化简；第六步：说明椭
15、圆上点的坐标适合所求方程，第六步：说明椭圆上点的坐标适合所求方程，以方程的解为坐标的点都在椭圆上以方程的解为坐标的点都在椭圆上. .26思考交流思考交流OxyF1F2M(-c,0)(c,0)提示：提示：在椭圆的方程中，由在椭圆的方程中，由可见，当可见，当a a为定值时，随为定值时，随c c的增大，的增大，b b减小，椭圆变扁；减小，椭圆变扁；随随c c的减小，的减小，b b增大，椭圆越接近于圆增大，椭圆越接近于圆. .1.1.当椭圆定义中的常数当椭圆定义中的常数2a2a为定值时，焦距为定值时，焦距2c2c的的变化与椭圆形状的变化有怎样变化与椭圆形状的变化有怎样的关系？的关系？即随着焦距即随着焦
16、距2c2c的增大，椭圆变扁；焦距减小，椭圆的增大，椭圆变扁；焦距减小，椭圆越接近于圆越接近于圆. .27例例1 1 已知已知B,CB,C是两个定点，是两个定点，且且的周长等于的周长等于2222，求顶点，求顶点A A满足的一个轨迹方程满足的一个轨迹方程. .【解析】【解析】由已知由已知得得 由定义可知点由定义可知点A A的轨迹是一个椭圆，且的轨迹是一个椭圆，且即即所以所以28如图，建立平面直角坐标系，如图，建立平面直角坐标系，使使x x轴经过轴经过B,CB,C两点，原点两点，原点O O为为BCBC的中点的中点. .提醒：提醒：求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不求点的轨迹问题，要结合具体的情况
17、剔除不满足条件的点满足条件的点.B B C C A A当点当点A A在直线在直线BCBC上，即上，即y=0y=0时，时，A A，B B，C C三点不能构成三角形，三点不能构成三角形，因此点因此点A A满足的一个轨迹方程满足的一个轨迹方程是是29例例2 2 已知椭圆的两个焦点坐标分别为已知椭圆的两个焦点坐标分别为并且经过点并且经过点求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程.【解析】【解析】因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y y轴上，所以设它的标准方程为轴上，所以设它的标准方程为解法解法1 1 由椭圆的定义知由椭圆的定义知所以所以, ,30又又所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为解法解法2 2 因为点
18、因为点在椭圆上，又在椭圆上，又c=2c=2，得，得解得解得所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为31【变式练习变式练习】求经过点求经过点的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程.解析：解析：当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在x x轴上时，设椭圆方程为轴上时，设椭圆方程为将将的坐标代入椭圆方程，得的坐标代入椭圆方程，得32解得解得与与矛盾，舍去矛盾，舍去. 当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在y y轴上时，设椭圆方程为轴上时，设椭圆方程为将将的坐标代入椭圆方程，得的坐标代入椭圆方程，得33解得解得故所求的椭圆方程为故所求的椭圆方程为34【提升总结提升总结】求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1 1
19、）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2 2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3 3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a a，b b的值，写出椭圆的的值，写出椭圆的标准方程标准方程. .35将将36aOMyx证明证明: :将点将点M M的坐标代入方程的坐标代入方程 有有 例例3 3 求证：求证：在椭圆在椭圆上上. 的几何意义如图所示的几何意义如图所示.371.1.动点动点P P到两定点到两定点F F1 1(-4,0)(-4,0)，F F2 2(4,0)(4,0)的距离和是的距离和是8 8，则动点则动点P P的轨迹为（的轨迹为（ ）A.A.椭圆椭圆 B.B.线段线段F F1 1F
20、F2 2 C. C.直线直线F F1 1F F2 2 D. D.无轨迹无轨迹B B382.2.已知椭圆的标准方程为已知椭圆的标准方程为 , ,则焦点坐标为则焦点坐标为( )( )A.(1,0) B.(0,1)A.(1,0) B.(0,1)C.(C.(1,0) D.(0,1,0) D.(0,1)1)C C39C C404.4.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)(0,3)(0,-3)(0,3)，椭圆，椭圆上的点上的点P P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于8.8.求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程. . 解析解析: :由题意知椭圆的焦点在由题意知椭圆的焦点在y y轴上，故可设椭圆的轴上，故可设椭圆的标准方程为标准方程为由题意，由题意， ，所以，所以，椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为4142求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程: :三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识43 不要只因一次失败，就放弃你原来决心想达到的目的。威廉莎士比亚44
