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1、基于机器人的算法设计基于机器人的算法设计Algorithm design based on Robot1授课教师：温秀平授课教师：温秀平Algorithm design based on Robot 12第第2 2章章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立2主要内容 一、一、矩阵相关知识 二、位置和姿态描述 三、坐标变换 四、机械手的运动学方程 五、机械手的动力学方程3第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立3一、矩阵相关知识 由mn个数 (1im,1jn)排成m行n列的数表称为mn矩阵
2、。也可以写作 ，其中 称为元素。1 矩阵的定义4第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立42 矩阵的加法设有矩阵 ，则矩阵 定义为一、矩阵相关知识 5第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立53 矩阵的乘法一、矩阵相关知识 6第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立6一、矩阵相关知识 4 矩阵的转置7第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立75 矩阵的逆一、矩阵相关知识 6 分块矩阵 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法。如：8第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人
3、的数学基础及模型建立8二、位置和姿态描述1 位置描述 刚体的位置可以用它在某个参考坐标系中的坐标向量来描述。其中 是点P在坐标系 中的三个坐标分量， 也称为位置矢量。9第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立9二、位置和姿态描述2 方向描述 为了描述刚体的方向，需要建立一个与刚体固联在一起的坐标系 ,刚体相对于坐标系 的方位可以用旋转矩阵（方向余弦矩阵）表示，即10第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立101 平移坐标变换三、坐标变换平移坐标变换特点：平移坐标变换特点：两坐标系坐标轴相两坐标系坐标轴相互平行，但坐标原互平行，但坐标原点不同点
4、不同平移坐标变换平移坐标变换11第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立112 旋转坐标变换三、坐标变换旋转坐标变换特点：旋转坐标变换特点：两坐标系坐标原点两坐标系坐标原点相同，但坐标轴方相同，但坐标轴方向不同向不同旋转坐标变换旋转坐标变换12第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立12三、坐标变换2 旋转坐标变换绕绕y y轴旋转轴旋转绕绕z z轴旋转轴旋转13第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立133 复合变换三、坐标变换复合变换复合变换复合变换特点：复合变换特点：两坐标两坐标系坐标原点不同，坐标系坐标原点不同
5、，坐标轴方向也不同。轴方向也不同。14第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立14三、坐标变换4 齐次坐标变换 用用4141的列向量来表示三维坐标系内的点的的列向量来表示三维坐标系内的点的坐标，称为点的齐次坐标。把式坐标，称为点的齐次坐标。把式写成等价形式写成等价形式式中式中称为称为齐次变换矩阵。齐次变换矩阵。15第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立154 齐次坐标变换三、坐标变换齐次变换矩阵齐次变换矩阵的一些性质：的一些性质：（1）它代表了坐标系）它代表了坐标系B相对于坐标系相对于坐标系A的描述，的描述， 是是B的原点在的原点在A中的位
6、置矢量，中的位置矢量， 则是则是B在在A中中的姿态。的姿态。（2）它表示）它表示B从与从与A重合开始，先沿重合开始，先沿 进行平进行平移变换，再按移变换，再按 进行旋转变换得到的复合变换的结进行旋转变换得到的复合变换的结果。果。16第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立164 齐次坐标变换三、坐标变换对于仅有平移变换的情况，对于仅有平移变换的情况， 记作记作对于仅有基本旋转变换的情况，对于仅有基本旋转变换的情况，BB绕绕AA的的X X轴或轴或Y Y轴或轴或Z Z轴旋转轴旋转 角的齐次变换矩阵分别记为角的齐次变换矩阵分别记为17第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立
7、机器人的数学基础及模型建立174 齐次坐标变换三、坐标变换18第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立184 齐次坐标变换三、坐标变换（3 3）若）若 为为BB相对于相对于AA的齐次变换矩阵，的齐次变换矩阵， 为为CC相对于相对于BB的齐次变换矩阵，那么的齐次变换矩阵，那么CC相对于相对于AA的齐次变换矩阵的齐次变换矩阵 为为（4 4） 的逆的一般形式为的逆的一般形式为19第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立191 机械手相关参数定义四、机械手的运动学方程连杆扭角连杆扭角连杆长度连杆长度连杆间距连杆间距关节转角关节转角20第二章第二章 机
8、器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立201 机械手相关参数定义四、机械手的运动学方程（1 1）连杆扭角）连杆扭角 ：相邻两关节轴线之间的：相邻两关节轴线之间的夹角。夹角。（2 2）连杆长度）连杆长度 ：相邻两关节轴线的公垂：相邻两关节轴线的公垂线长度。线长度。（3 3）连杆间距）连杆间距 ：关节：关节i,i+1i,i+1轴线的公垂线轴线的公垂线与关节与关节i,i-1i,i-1轴线的公垂线之间的距离。轴线的公垂线之间的距离。（4 4）关节转角）关节转角 （ ）：关节）：关节i,i+1i,i+1轴线的公轴线的公垂线与关节垂线与关节i,i-1i,i-1轴线的公垂线之间的夹角。轴线的公垂
9、线之间的夹角。21第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立21四、机械手的运动学方程2 机械手运动学方程的建立（1）坐标系）坐标系i的建立的建立22第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立22四、机械手的运动学方程2 机械手运动学方程的建立（1）坐标系）坐标系i的建立的建立 选择选择b bi i在关节在关节i i轴线上的垂足为坐标系原点，关轴线上的垂足为坐标系原点，关节节i i轴线方向为轴线方向为Z Zi i轴，轴，b bi i所在直线为所在直线为X Xi i轴，轴，Y Yi i轴按右轴按右手规则确定。手规则确定。（2）确定坐标系）确定坐标系
10、i相对于相对于i-1的坐标变换的坐标变换 坐标系坐标系ii可以看作是先与可以看作是先与i-1重合，然后经重合，然后经过四次坐标变换得到的一个坐标系。这四次变换依过四次坐标变换得到的一个坐标系。这四次变换依次为：先绕次为：先绕Xi-1旋转旋转 ，再沿，再沿Xi-1平移平移bi-1，绕后绕，绕后绕Zi轴旋转轴旋转 ，最后沿，最后沿Zi平移平移di，即可得到坐标系，即可得到坐标系i。23第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立23四、机械手的运动学方程2 机械手运动学方程的建立 对于具有对于具有n n个连杆的机械手，建立运动学方程时，要个连杆的机械手，建立运动学方程时，要确
11、定末端手爪坐标系确定末端手爪坐标系nn相对于基座坐标系相对于基座坐标系00的坐标变换。的坐标变换。再根据齐次变换矩阵的乘法规则可得再根据齐次变换矩阵的乘法规则可得24第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立24四、机械手的运动学方程3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）例：两关节机械手的形状如图例：两关节机械手的形状如图所示，它由一个基座，两个连所示，它由一个基座，两个连杆杆 ，两个关节，两个关节 构成。两构成。两个关节的轴线平行，个关节的轴线平行， 长度分长度分别为别为 。解：首先，建立如图所示的坐解：首先，建立如图所示的坐标系标系0，1，2；然后根据；然后根据已
12、知条件确定两关节机械手的已知条件确定两关节机械手的连杆参数，如下表所示：连杆参数，如下表所示：25第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立25四、机械手的运动学方程3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）接下来根据连杆参数求各连杆坐标系之间的齐次变换接下来根据连杆参数求各连杆坐标系之间的齐次变换矩阵，可得矩阵，可得26第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立26四、机械手的运动学方程3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）根据齐次变换矩阵乘法规则可得根据齐次变换矩阵乘法规则可得上式就是两关节机械手的运动学方程，它表明了机械上式就是两关节机械手
13、的运动学方程，它表明了机械手的末端手爪在空间的位置和姿态与各关节位移手的末端手爪在空间的位置和姿态与各关节位移 之间的关系。同时也可以求得机械手末端手爪在坐标之间的关系。同时也可以求得机械手末端手爪在坐标系系0中的位置向量，即中的位置向量，即27第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立27四、机械手的运动学方程3 两关节机械手运动学方程的建立（举例）28第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立28五、机械手的动力学方程 机械手动力学研究的就是机械手的运动机械手动力学研究的就是机械手的运动与产生这种运动的力和力矩之间的关系。将与产生这种运动的力
14、和力矩之间的关系。将机械手的连杆看作刚体，那么它的力机械手的连杆看作刚体，那么它的力F与力矩与力矩N满足牛顿满足牛顿欧拉方程，即欧拉方程，即 式中：式中：I I表示刚体的惯性张量，表示刚体的惯性张量，w w表示角速度，表示角速度，a a表示加速度。其中惯性张量表示加速度。其中惯性张量I I由下面矩阵表由下面矩阵表示：示：29第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立29五、机械手的动力学方程其中：其中： 分别表示密度和分别表示密度和微分体积单元，微分体积单元，x,y,z是刚体是刚体中点中点p的坐标分量。的坐标分量。30第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学
15、基础及模型建立30五、机械手的动力学方程下面直接给出两关节机械手的动力学方程。下面直接给出两关节机械手的动力学方程。令令31第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立31五、机械手的动力学方程上述两式可以写成如下矩阵形式上述两式可以写成如下矩阵形式其中：其中：32第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立32五、机械手的动力学方程上式即为机械手的动力学模型的矩阵形式。上式即为机械手的动力学模型的矩阵形式。其中：其中： 称为惯性矩阵，它的元素反映了各连杆与称为惯性矩阵，它的元素反映了各连杆与关节之间的转动惯量；关节之间的转动惯量； 称为离心力和哥氏力项；称为离心力和哥氏力项； 表示重力效应，两分量分别为连杆质量对它表示重力效应，两分量分别为连杆质量对它们各自关节轴的力矩。们各自关节轴的力矩。33第二章第二章 机器人的数学基础及模型建立机器人的数学基础及模型建立33个人观点供参考，欢迎讨论
