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1、Shanghai Jiao Tong University微机运算基础Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望Shanghai Jiao Tong Universityn 基本概念基本概念1 1 【进位计数制】：【进位计数制】：【进位计数制】：【进位计数制】：利用符号按照进位原则来计数的方法，一种进利用符号按照进位原则来计数的方法，一种进位计数制包含一组数码符号和两个基本因素位计数制包含一组数码符号和两个基本因素( (基数，权基数，权) )。【数码【数码【数码【数码(Numb
2、er)(Number)】：】：】：】：用不同的数字符号来表示一种数制的数值，用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为这些数字符号称为“ “数码数码” ”。例如：例如：例如：例如：十进制数码（十进制数码（0 0，1 1，2 2，9 9）【基数【基数【基数【基数(Radix(Radix(Radix(Radix，也称底数，也称底数，也称底数，也称底数) ) ) )】：】：】：】：数制中所使用的数码个数称为该数制中所使用的数码个数称为该计数制的计数制的“ “基数基数” ”。例如：例如：例如：例如：十进制有十进制有1010个数码，因此基数为个数码，因此基数为1010，逢十进一，逢十进一进位
3、计数制进位计数制2Shanghai Jiao Tong University【位权【位权【位权【位权(Weight)(Weight)】：】：】：】：某数制中，每一位所具有的值称为某数制中，每一位所具有的值称为“ “位权位权” ”，用基数的，用基数的n n次幂来表示。次幂来表示。例如：例如：例如：例如：十进制中位权表示为，十进制中位权表示为， 10 10-2-2 ( (百分位百分位) ) ， 10 10-1-1 ( (十分位十分位) ) ， 10100 0( (个位个位) )，10101 1 ( (十位十位) )结论：结论：结论：结论：十进制是人们最熟悉的，二进制在计算机内使用，十进制是人们最熟
4、悉的，二进制在计算机内使用，十进制是人们最熟悉的，二进制在计算机内使用，十进制是人们最熟悉的，二进制在计算机内使用， 八进制和十六进制则可看成二进制的压缩形式。八进制和十六进制则可看成二进制的压缩形式。八进制和十六进制则可看成二进制的压缩形式。八进制和十六进制则可看成二进制的压缩形式。n 基本概念基本概念2 进位计数制进位计数制3Shanghai Jiao Tong University数码数码数码数码：0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9基数：基数：基数：基数：1010位权：位权：位权：位权： 10 10i i，i = .3i = .3，2 2，1
5、1，0 0，-1-1，-2-2，-3.-3.规则：规则：规则：规则：逢十进一逢十进一表示：表示：表示：表示：(999.99)(999.99)1010，或者，或者(999.99)D(999.99)D，或者，或者999.99999.99n 十进制十进制 (Decimal Number) 进位计数制进位计数制4Shanghai Jiao Tong University数码：数码：数码：数码：0 0，1 1基数基数基数基数：2 2位权：位权：位权：位权：2 2i i， i = .3i = .3，2 2，1 1，0 0，-1-1，-2-2，-3.-3.规则：规则：规则：规则：逢二进一逢二进一表示：表示：
6、表示：表示：(1101.11)(1101.11)2 2，或者，或者(1101.11)B(1101.11)Bn 二进制二进制 (Binary Number) 结论：结论：结论：结论：计算机内使用的是二进制编码计算机内使用的是二进制编码计算机内使用的是二进制编码计算机内使用的是二进制编码( (也称为基也称为基也称为基也称为基2 2码码码码) )，容易，容易，容易，容易实现、规则简单、运算方便。实现、规则简单、运算方便。实现、规则简单、运算方便。实现、规则简单、运算方便。进位计数制进位计数制5Shanghai Jiao Tong University数码：数码：数码：数码：0 0，1 1，2 2，3
7、 3，4 4，5 5，6 6，7 7基数：基数：基数：基数：8 8位权：位权：位权：位权：8 8i i， i = .3i = .3，2 2，1 1，0 0，-1-1，-2-2，-3.-3.规则：规则：规则：规则：逢八进一逢八进一 表示表示表示表示：( (257)257)8 8，或者，或者(257)O(257)O，或者，或者(257)Q(257)Q n 八进制八进制 (Octale Number) 进位计数制进位计数制6Shanghai Jiao Tong University数码：数码：数码：数码：0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9， A A，B B
8、，C C，D D，E E，F F基数：基数：基数：基数：1616位权：位权：位权：位权：1616i i， i = .3i = .3，2 2，1 1，0 0，-1-1，-2-2，-3.-3.规则：规则：规则：规则：逢十六进一逢十六进一 表示：表示：表示：表示：( (257)257)1616，或者，或者(257)H(257)H n 十六进制十六进制 (Hexadecimal Number) 进位计数制进位计数制7Shanghai Jiao Tong Universityn 小结小结 数数 N N 按照按照位权位权展开的一般通式为：展开的一般通式为：其中：其中： 第第 位的位的数码数码； 为为基数基
9、数； 为第为第 位的位的权权； 为为整数整数的总位数；的总位数； 为为小数小数的总位数。的总位数。进位计数制进位计数制8Shanghai Jiao Tong Universityuu 方法方法方法方法1 1：按权展开按权展开按权展开按权展开多项式和多项式和多项式和多项式和的形式的形式的形式的形式二进制数转换为十进制数二进制数转换为十进制数9Shanghai Jiao Tong University 整数整数整数整数部分部分部分部分（从最高位开始，连续乘从最高位开始，连续乘从最高位开始，连续乘从最高位开始，连续乘2 2） 假设假设5 5位二进制位二进制整数整数N N，表示为，表示为 uu 方法方
10、法方法方法2 2：整数部分、小数部分整数部分、小数部分整数部分、小数部分整数部分、小数部分分别转换分别转换分别转换分别转换二进制数转换为十进制数二进制数转换为十进制数10Shanghai Jiao Tong University 小数小数小数小数部分部分部分部分（从最低位开始，连续除从最低位开始，连续除从最低位开始，连续除从最低位开始，连续除2 2） 假设假设4 4位二进制位二进制小数小数N N，表示为，表示为 二进制数转换为十进制数二进制数转换为十进制数11Shanghai Jiao Tong University 整数整数整数整数部分（除部分（除部分（除部分（除2 2逆逆逆逆取余）取余）取
11、余）取余）1751752 287872 21 143432 21 121212 21 12 21 15 52 20 02 22 21 11 12 20 00 01 1余数余数余数余数最低位最低位最低位最低位最高位最高位最高位最高位所以：所以：所以：所以：175 D = 10101111 B175 D = 10101111 B1010十进制数转换为二进制数十进制数转换为二进制数12Shanghai Jiao Tong University 小数小数小数小数部分（乘部分（乘部分（乘部分（乘2 2顺顺顺顺取整）取整）取整）取整）0.6250.625.250.250整数整数整数整数最低位最低位最低位最
12、低位最高位最高位最高位最高位所以：所以：所以：所以：0.625 D = 0.101 B0.625 D = 0.101 B.500.5002 2x x.000.0002 2x x2 2x x1 10 01 1十进制数转换为二进制数十进制数转换为二进制数13Shanghai Jiao Tong University 整数整数整数整数部分部分部分部分: : : : 从小数点从小数点从小数点从小数点左边左边左边左边第一位开始，每第一位开始，每第一位开始，每第一位开始，每3 3 3 3位位位位一组，最高位不足一组，最高位不足一组，最高位不足一组，最高位不足补补补补0 0 0 0。uu 二进制转换为八进制
13、二进制转换为八进制二进制转换为八进制二进制转换为八进制例如：例如：例如：例如：二进制整数二进制整数 10101001B 10101001B，转化为八进制数为，转化为八进制数为 0 10 101 001 B 0 10 101 001 B 所以：所以：所以：所以：10101001 B = 251 Q10101001 B = 251 Q1 15 52 2QQ八进制数与二进制数转换八进制数与二进制数转换14Shanghai Jiao Tong University 小数小数小数小数部分：部分：部分：部分： 从小数点从小数点从小数点从小数点右边右边右边右边第一位开始，每第一位开始，每第一位开始，每第一位
14、开始，每3 3 3 3位位位位一组，最低位不足一组，最低位不足一组，最低位不足一组，最低位不足补补补补0 0 0 0。例如：例如：例如：例如：二进制小数二进制小数 .01101011B .01101011B，转化为八进制数为，转化为八进制数为 .011 010 11 0 B .011 010 11 0 B 所以：所以：所以：所以：0.01101011 B = 0.326 Q0.01101011 B = 0.326 Q八进制数与二进制数转换八进制数与二进制数转换15Shanghai Jiao Tong University将八进制数的每将八进制数的每1 1位，用位，用3 3位位二进制数替代，二进
15、制数替代，去掉去掉无意义无意义的零。的零。uu 八进制转换为二进制八进制转换为二进制八进制转换为二进制八进制转换为二进制例如：例如：例如：例如：八进制整数八进制整数 352.14 Q 352.14 Q，转化为二进制数为，转化为二进制数为 011 101 010 011 101 010 . . 001 100 B 001 100 B 所以：所以：所以：所以：352.14 Q = 11101010.0011 B 352.14 Q = 11101010.0011 B QQ八进制数与二进制数转换八进制数与二进制数转换16Shanghai Jiao Tong University按按按按权位权位权位权位
16、展开，然后展开，然后展开，然后展开，然后相加相加相加相加 uu 八进制数转换为十进制数八进制数转换为十进制数八进制数转换为十进制数八进制数转换为十进制数例如：例如：例如：例如：八进制数八进制数 372.01 Q 372.01 Q，转化为十进制数为，转化为十进制数为 八进制数与十进制数转换八进制数与十进制数转换17Shanghai Jiao Tong Universityuu 十进制数转换为八进制数十进制数转换为八进制数十进制数转换为八进制数十进制数转换为八进制数 整数整数整数整数部分（除部分（除部分（除部分（除8 8 8 8逆逆逆逆取余）取余）取余）取余）1751758 821218 87 7
17、2 28 85 50 02 2余数余数余数余数最低位最低位最低位最低位最高位最高位最高位最高位所以：所以：所以：所以：175 D = 257 Q175 D = 257 Q八进制数与十进制数转换八进制数与十进制数转换18Shanghai Jiao Tong University 小数小数小数小数部分（乘部分（乘部分（乘部分（乘8 8 8 8顺顺顺顺取整）取整）取整）取整）0.3150.3158 82 .5202 .520整数整数整数整数最低位最低位最低位最低位最高位最高位最高位最高位所以：所以：所以：所以：0.315 D = 0.2412 Q0.315 D = 0.2412 Qx x8 8x x
18、4 .1604 .1608 8x x1 .2801 .2808 8x x2 .2402 .240八进制数与十进制数转换八进制数与十进制数转换19Shanghai Jiao Tong University 整数整数整数整数部分：部分：部分：部分： 从小数点从小数点从小数点从小数点左边左边左边左边第第第第1 1 1 1位开始，每位开始，每位开始，每位开始，每4 4 4 4位位位位一组，最高位不足一组，最高位不足一组，最高位不足一组，最高位不足补补补补0 0 0 0。uu 二进制转换为十六进制二进制转换为十六进制二进制转换为十六进制二进制转换为十六进制例如例如例如例如：二进制整数二进制整数11010
19、0110 B110100110 B，转化为十六进制数为，转化为十六进制数为 000 1 1010 0110 B 000 1 1010 0110 B 所以：所以：所以：所以：110100110 B = 1A6 H110100110 B = 1A6 H十六进制数与二进制数转换十六进制数与二进制数转换20Shanghai Jiao Tong University 小数小数小数小数部分部分部分部分 从小数点从小数点从小数点从小数点右边右边右边右边第第第第1 1 1 1位开始，每位开始，每位开始，每位开始，每4 4 4 4位位位位一组，最低位不足一组，最低位不足一组，最低位不足一组，最低位不足补补补补0
20、 0 0 0。例如例如例如例如：二进制小数二进制小数 .110101B .110101B，转化为十六进制数为，转化为十六进制数为 . .1101 01 00 B 1101 01 00 B 所以：所以：所以：所以：0.110101 B = 0.D4 H0.110101 B = 0.D4 H十六进制数与二进制数转换十六进制数与二进制数转换21Shanghai Jiao Tong University将十六进制数的每将十六进制数的每将十六进制数的每将十六进制数的每1 1位，用位，用位，用位，用4 4位位位位二进制数替代，二进制数替代，二进制数替代，二进制数替代，去掉去掉去掉去掉无意无意无意无意义的义
21、的义的义的0 0。uu 十六进制转换为二进制十六进制转换为二进制十六进制转换为二进制十六进制转换为二进制例如：例如：例如：例如：十六进制数十六进制数 C8F.49 HC8F.49 H，转化，转化为二进制数为为二进制数为 1010 1000 1111 1010 1000 1111 . . 0100 1001 B 0100 1001 B 所以：所以：所以：所以： C8F.49 H C8F.49 H = 1010 1000 1111. 0100 1001 B = 1010 1000 1111. 0100 1001 B C 8 F C 8 F . . 4 9 H 4 9 H十六进制数与二进制数转换十六
22、进制数与二进制数转换22Shanghai Jiao Tong Universityuu 十进制数转换为十六进制数十进制数转换为十六进制数十进制数转换为十六进制数十进制数转换为十六进制数 整数整数整数整数部分（除部分（除部分（除部分（除16161616逆逆逆逆取余）取余）取余）取余）119211921616747416168 84 41616A A0 04 4余数余数余数余数最低位最低位最低位最低位最高位最高位最高位最高位所以：所以：所以：所以：1192 D = 4A8 H1192 D = 4A8 H十六进制数与二进制数转换十六进制数与二进制数转换23Shanghai Jiao Tong Uni
23、versity 小数小数小数小数部分（乘部分（乘部分（乘部分（乘16161616顺顺顺顺取整）取整）取整）取整）0.90320.90321616E . 4512E . 4512整数整数整数整数最低位最低位最低位最低位最高位最高位最高位最高位所以：所以：所以：所以：0.9032 D = 0.E738 H0.9032 D = 0.E738 Hx x1616x x7 .21927 .21921616x x3 .50723 .50721616x x8 .11528 .1152十六进制数与二进制数转换十六进制数与二进制数转换24Shanghai Jiao Tong Universityn 小结小结1.1
24、.二进制、八进制、十六进制数二进制、八进制、十六进制数转换为转换为十进制数，只需按照十进制数，只需按照位权展位权展开开，然后，然后求和求和即可。即可。2.2.十进制数十进制数转换为转换为二进制数二进制数( (或者八进制、十六进制数或者八进制、十六进制数) )，3.3. 整数部分整数部分采用采用“ “除除2(2(或或8 8、16)16)逆取余逆取余” ”方法，即第一个余数为方法，即第一个余数为最低位，最后一个余数为最高位。最低位，最后一个余数为最高位。4.4. 小数部分小数部分采用采用“ “乘乘2(2(或或8 8、16)16)顺取整顺取整” ”方法，即第一个整数为方法，即第一个整数为最高位，最后
25、一个整数为最低位。最高位，最后一个整数为最低位。5.5. 注意：注意：注意：注意：小数转换不一定能算尽，只能算到一定精度的位数为止，小数转换不一定能算尽，只能算到一定精度的位数为止，故要产生一些误差。不过当位数足够多时，这个误差就很小了。故要产生一些误差。不过当位数足够多时，这个误差就很小了。进位数制之间的转换进位数制之间的转换25Shanghai Jiao Tong University3. 3. 二进制数二进制数转换为转换为八进制数八进制数( (或十六进制数或十六进制数) )，以，以小数点为分界线小数点为分界线，3 3位位( (或或4 4位位) )分为一组，最左与最右一组不足分为一组，最左
26、与最右一组不足3 3位位( (或或4 4位位) )时补零，时补零，然后每然后每3 3位位( (或或4 4位位) )写成对应的八进制数写成对应的八进制数( (或十六进制数或十六进制数) )即可。即可。 八进制数八进制数( (或十六进制数或十六进制数) )转换为转换为二进制数，每二进制数，每1 1位用相应的位用相应的3 3位位( (或或4 4位位) )二进制数代替即可，去除最高位前面和最低位后面多余二进制数代替即可，去除最高位前面和最低位后面多余的零。的零。进位数制之间的转换进位数制之间的转换26Shanghai Jiao Tong University二进制编码二进制编码BCDBCD码码码码：用
27、用二进制代码对十进制数进行编码二进制代码对十进制数进行编码，它既具有二进制码，它既具有二进制码 的形式的形式( (四位二进制码四位二进制码) )，又有十进制数的特点，又有十进制数的特点( (每四位二每四位二 进制码是一位十进制数进制码是一位十进制数) )。二进制与二进制与二进制与二进制与BCDBCD码之间的转换，需经过码之间的转换，需经过码之间的转换，需经过码之间的转换，需经过十进制十进制十进制十进制。n 二进制编码的十进制二进制编码的十进制 (BCD Binary Coded Decimal) (BCD Binary Coded Decimal)27Shanghai Jiao Tong Un
28、iversityn 字母与字符的编码字母与字符的编码 美国国家信息交换标准码，美国国家信息交换标准码，美国国家信息交换标准码，美国国家信息交换标准码，ASCIIASCII码码码码(American national Standard Code for Information Interchange)(American national Standard Code for Information Interchange)7 7位位 ASCII ASCII 码表示码表示 2 27 7128 128 种不同的字符，包括种不同的字符，包括可显示字符可显示字符可显示字符可显示字符(94(94个个个个)
29、)：阿拉伯数字阿拉伯数字(10(10个个) )：0 09 9 英文大小写字母英文大小写字母(52(52个个) )：A AZ Z，azaz 西文符号西文符号(32(32个个) )：如：如! !， ， ，.等等控制符控制符控制符控制符(34(34个个个个) )：如如 NUL( NUL(空白空白) )，CR(CR(回车回车) )，等等二进制编码二进制编码28Shanghai Jiao Tong University一种数制的基本算术运算：一种数制的基本算术运算：一种数制的基本算术运算：一种数制的基本算术运算：加加加加法和法和法和法和减减减减法。法。法。法。利用加法和减法可进行利用加法和减法可进行利用
30、加法和减法可进行利用加法和减法可进行乘乘乘乘法、法、法、法、除除除除法以及法以及法以及法以及其它其它其它其它数值运算。数值运算。数值运算。数值运算。二进制的算术运算二进制的算术运算29Shanghai Jiao Tong Universityuu 二进制二进制二进制二进制加法加法加法加法运算法则运算法则运算法则运算法则：0 00 00 0 0 01 11 11 11 11010（产生了进位（产生了进位1 1）1 11 11 11111（产生了进位（产生了进位1 1）结论：结论：结论：结论：两个二进制数相加时，每一位是被加数、加数和两个二进制数相加时，每一位是被加数、加数和两个二进制数相加时，每
31、一位是被加数、加数和两个二进制数相加时，每一位是被加数、加数和低位的进位三个数的相加。低位的进位三个数的相加。低位的进位三个数的相加。低位的进位三个数的相加。二进制的算术运算二进制的算术运算30Shanghai Jiao Tong Universityuu 二进制二进制二进制二进制减法减法减法减法运算法则运算法则运算法则运算法则： 0 00 00 01 11 10 01 10 01 1 0 01 11 1（产生了借位（产生了借位1 1）结论：结论：结论：结论：两个二进制数相减时，每一位是被减数、减数和低位来两个二进制数相减时，每一位是被减数、减数和低位来两个二进制数相减时，每一位是被减数、减数
32、和低位来两个二进制数相减时，每一位是被减数、减数和低位来的借位三个数的相减。的借位三个数的相减。的借位三个数的相减。的借位三个数的相减。首先求被减数与借位的差，再用这个差当作被减数，从中减去首先求被减数与借位的差，再用这个差当作被减数，从中减去首先求被减数与借位的差，再用这个差当作被减数，从中减去首先求被减数与借位的差，再用这个差当作被减数，从中减去减数。减数。减数。减数。二进制的算术运算二进制的算术运算31Shanghai Jiao Tong Universityuu 二进制二进制二进制二进制乘法乘法乘法乘法运算法则运算法则运算法则运算法则： 0x00x00 01x11x11 11x01x0
33、0 00x10x10 0结论：结论：结论：结论：在计算机中，乘法运算是用移位和相加的操作来实现。在计算机中，乘法运算是用移位和相加的操作来实现。在计算机中，乘法运算是用移位和相加的操作来实现。在计算机中，乘法运算是用移位和相加的操作来实现。二进制的算术运算二进制的算术运算32Shanghai Jiao Tong Universityuu 二进制二进制二进制二进制除法除法除法除法应用乘法规则可实现除法运算，从被除数应用乘法规则可实现除法运算，从被除数最高位最高位开始，找到足开始，找到足以减去除数的位数商以减去除数的位数商1 1，再从被除数，再从被除数减去除数减去除数，依次除下去，依次除下去例如：
34、例如：例如：例如：100011B 100011B 除以除以101B101B) ) 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 11011011 0 11 0 11 1 11 1 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 10 0被除数被除数余数余数余数余数余数余数商商除数除数0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1二进制的算术运算二进制的算术运算33Shanghai Jiao Tong University计算机中，计算机中，0 0和和1 1两种取值表示的变量称之为两种取值表示的变量称之为逻辑变量逻辑变量，代，代表所研究问题的两种状态或可能性。表所研究问题的两种状态或可
35、能性。3 3种逻辑运算：种逻辑运算：逻辑加法逻辑加法( (或运算或运算) )，逻辑乘法，逻辑乘法( (与运算与运算) )，逻，逻辑否定辑否定( (非运算非运算) )逻辑运算只在对应位之间进行运算逻辑运算只在对应位之间进行运算逻辑运算只在对应位之间进行运算逻辑运算只在对应位之间进行运算。二进制的逻辑运算二进制的逻辑运算34Shanghai Jiao Tong Universityuu 与与与与运算：运算：运算：运算：表示表示表示表示符号符号符号符号：“ “ ” ”或或“ “ ” ”或或“ “” ”结论：结论：结论：结论：只有参加运算的逻辑变量都取值为只有参加运算的逻辑变量都取值为只有参加运算的逻
36、辑变量都取值为只有参加运算的逻辑变量都取值为1 1 1 1时，其时，其时，其时，其与与与与运算运算运算运算的结果才等于的结果才等于的结果才等于的结果才等于1 1 1 1。运算法则：运算法则：运算法则：运算法则： 0 0 0 00 0 1 1 1 11 1 1 1 0 00 0 0 0 1 10 0二进制的逻辑运算二进制的逻辑运算35Shanghai Jiao Tong Universityuu 或或或或运算：运算：运算：运算：表示表示表示表示符号符号符号符号：“ “” ”或或“ “ ” ”结论：结论：结论：结论：只要参加运算的逻辑变量中有一个为只要参加运算的逻辑变量中有一个为只要参加运算的逻辑
37、变量中有一个为只要参加运算的逻辑变量中有一个为1 1，其，其，其，其或运或运或运或运算算算算的结果就为的结果就为的结果就为的结果就为1 1。运算法则运算法则运算法则运算法则： 0 0 0 00 0 0 0 1 11 1 1 1 0 01 1 1 11 11 1二进制的逻辑运算二进制的逻辑运算36Shanghai Jiao Tong Universityuu 非非非非运算：运算：运算：运算：又称为逻辑否定。逻辑变量又称为逻辑否定。逻辑变量上方加一横线上方加一横线表示。表示。运算法则运算法则运算法则运算法则：二进制的逻辑运算二进制的逻辑运算37Shanghai Jiao Tong Universi
38、ty结论：结论：结论：结论：参加运算的两个逻辑变量参加运算的两个逻辑变量参加运算的两个逻辑变量参加运算的两个逻辑变量相同相同相同相同时，异或运算的时，异或运算的时，异或运算的时，异或运算的 结果等于结果等于结果等于结果等于0 0。 当两个逻辑变量当两个逻辑变量当两个逻辑变量当两个逻辑变量不相同不相同不相同不相同时，异或运算的结果为时，异或运算的结果为时，异或运算的结果为时，异或运算的结果为1 1。uu 异异异异或运算：或运算：或运算：或运算：异或运算表示符号异或运算表示符号异或运算表示符号异或运算表示符号 。运算法则运算法则运算法则运算法则： 0 0 0 = 0 0 = 01 1 1 = 0
39、1 = 00 0 1 = 1 1 = 10 0 1 = 1 1 = 1二进制的逻辑运算二进制的逻辑运算38Shanghai Jiao Tong University数的定点与浮点表示数的定点与浮点表示 在计算机中，用二进制表示一个带小数点的数有两种在计算机中，用二进制表示一个带小数点的数有两种方法，即方法，即定点定点表示和表示和浮点浮点表示。表示。 相应地相应地, ,计算机按数的表示方法不同也可以分为定点计算机按数的表示方法不同也可以分为定点计算机和浮点计算机两大类。计算机和浮点计算机两大类。 所谓所谓所谓所谓定点定点定点定点表示，表示，表示，表示，就是小数点在数中的位置是就是小数点在数中的位
40、置是固定固定的；的； 所谓所谓所谓所谓浮点浮点浮点浮点表示，表示，表示，表示，就是小数点在数中的位置是就是小数点在数中的位置是浮动浮动的。的。39Shanghai Jiao Tong Universityn 定点表示定点表示 (Fixed Point Number) (Fixed Point Number)定点数：定点数：定点数：定点数：小数点固定在数的某个位置，即小数点固定在数的某个位置，即阶码是固定值阶码是固定值。计算机中没有专门表示小数点的位，小数点的位置是计算机中没有专门表示小数点的位，小数点的位置是约定约定的。的。任意一个二进制数可表示为任意一个二进制数可表示为任意一个二进制数可表示
41、为任意一个二进制数可表示为：纯小数或纯整数与一个：纯小数或纯整数与一个2 2的整数次幂的整数次幂的乘积，即的乘积，即数数N N的的尾数尾数，表示了数，表示了数N N的全部有效数字的全部有效数字数数N N的的阶码阶码，确定了小数点的位置，确定了小数点的位置阶码的阶码的底底数的定点与浮点表示数的定点与浮点表示40Shanghai Jiao Tong University尾数尾数尾数尾数符号符号符号符号 尾数尾数尾数尾数符号符号符号符号 如假定如假定0 0，且尾数，且尾数S S为纯小数时，这时定点数只能表示为纯小数时，这时定点数只能表示小数。小数。 如假定如假定0 0，且尾数，且尾数S S为纯整数时
42、，这时定点数只能表示为纯整数时，这时定点数只能表示整数。整数。 定点数的两种表示法，在计算机中均有采用。究竟采用哪定点数的两种表示法，在计算机中均有采用。究竟采用哪种方法，均是事先约定的。种方法，均是事先约定的。数的定点与浮点表示数的定点与浮点表示41Shanghai Jiao Tong University计算机中，数的正负是用计算机中，数的正负是用计算机中，数的正负是用计算机中，数的正负是用0 (0 (正正正正) ) 和和和和1 1 ( (负负负负) ) 来表示。来表示。来表示。来表示。例如：例如：例如：例如：8 8位二进制数，最左边第位二进制数，最左边第1 1位表示符号位表示符号( (称
43、为符号位称为符号位) )， 其余其余7 7位可用来表示尾数。位可用来表示尾数。 定点纯整数表示范围：定点纯整数表示范围： 无符号无符号时，时，00000000 1111111100000000 11111111，即，即 0255 0255； 有符号有符号时，时，-1111111 +1111111-1111111 +1111111，即，即 -127+127 -127+127 数的定点与浮点表示数的定点与浮点表示42Shanghai Jiao Tong University定点纯小数定点纯小数表示范围：表示范围：结论：结论：结论：结论：定点数表示法简单直观，但是数值表示的范围太定点数表示法简单直观
44、，但是数值表示的范围太定点数表示法简单直观，但是数值表示的范围太定点数表示法简单直观，但是数值表示的范围太小，运算时容易产生溢出。小，运算时容易产生溢出。小，运算时容易产生溢出。小，运算时容易产生溢出。0.111110.11111n n位位0.0000010.000001n-1n-1个个0 0数的定点与浮点表示数的定点与浮点表示43Shanghai Jiao Tong Universityn 浮点表示浮点表示 (Floating Point Number) (Floating Point Number)浮点数：浮点数：浮点数：浮点数：小数点的位置可以变动的，即小数点的位置可以变动的，即阶码可以
45、取不同的值阶码可以取不同的值。浮点表示法类似于十进制中的科学计数法。浮点表示法类似于十进制中的科学计数法。P Pf fS Sf f阶码符号阶码符号阶码符号阶码符号阶码阶码阶码阶码尾数符号尾数符号尾数符号尾数符号尾数尾数尾数尾数计算机中表示一个浮点数，要分为计算机中表示一个浮点数，要分为阶码和尾数阶码和尾数两个部分来表示。两个部分来表示。阶码阶码阶码阶码P P：二进制整数表示，可为正数和负数，二进制整数表示，可为正数和负数，P Pf f 表示阶码符号；表示阶码符号；尾数尾数尾数尾数S S：二进制表示，可为正数和负数，二进制表示，可为正数和负数，S Sf f 表示尾数符号。表示尾数符号。数的定点与
46、浮点表示数的定点与浮点表示44Shanghai Jiao Tong University为了不丢失有效数字，提高运算精度，采用二进制为了不丢失有效数字，提高运算精度，采用二进制浮浮点规格化数点规格化数。浮点数可以表示成多种形式：浮点数可以表示成多种形式：浮点规格化：浮点规格化：浮点规格化：浮点规格化：尾数尾数S S的绝对值小于的绝对值小于1 1而大于或等于而大于或等于1/21/2，即即小数点后面的一位必须是小数点后面的一位必须是1 1。数的定点与浮点表示数的定点与浮点表示45Shanghai Jiao Tong University例：例：例：例：二进制数二进制数1011.1011011.10
47、1，可写成，可写成 2 2100100 0.1011101 ( 0.1011101 (相当于十进相当于十进制数制数11.625)11.625)，其浮点数表示为，其浮点数表示为 浮点表示和定点表示相比浮点表示和定点表示相比浮点表示和定点表示相比浮点表示和定点表示相比，多了一个阶码部分。，多了一个阶码部分。浮点表示范围浮点表示范围( (m m 位阶码，位阶码，n n 位尾数位尾数) )：阶码最小值阶码最小值阶码最小值阶码最小值阶码最大值阶码最大值阶码最大值阶码最大值0 0阶码阶码阶码阶码尾数尾数尾数尾数1 10 00 00 01 10 01 11 11 10 01 1阶码符号阶码符号阶码符号阶码符
48、号尾数符号尾数符号尾数符号尾数符号数的定点与浮点表示数的定点与浮点表示46Shanghai Jiao Tong University带符号数的表示法带符号数的表示法n 机器数与真值机器数与真值真值：真值：真值：真值：把机器数实际代表的数称为机器数的真值。把机器数实际代表的数称为机器数的真值。符号数码化：符号数码化：符号数码化：符号数码化：将符号用将符号用“0“0正正1 1负负” ”表示，并以二进制数的最高表示，并以二进制数的最高位位(D7(D7位位) )作为符号位。作为符号位。机器数：机器数：机器数：机器数：数据在计算机中连同数码化的符号位一起表示的编码数。数据在计算机中连同数码化的符号位一起
49、表示的编码数。机器数机器数机器数机器数无符号数：没有符号位无符号数：没有符号位无符号数：没有符号位无符号数：没有符号位有符号数：有符号数：有符号数：有符号数：原码原码原码原码反码反码反码反码补码补码补码补码47Shanghai Jiao Tong Universityn 机器数的种类和表示方法机器数的种类和表示方法D7D7位作为符号位（位作为符号位（0 0正正1 1负负），），D6D6D0D0位为原来的位为原来的二进制数值位二进制数值位。uu 原码原码原码原码8 8位二进制，原码表示范围为：位二进制，原码表示范围为：位二进制，原码表示范围为：位二进制，原码表示范围为：(127)D (127)D
50、 (127)D(127)D结论：结论：结论：结论：原码表示简单易懂，与真值的转换很方便。但原码表示简单易懂，与真值的转换很方便。但原码表示简单易懂，与真值的转换很方便。但原码表示简单易懂，与真值的转换很方便。但在计算机中进行加减运算时比较麻烦。在计算机中进行加减运算时比较麻烦。在计算机中进行加减运算时比较麻烦。在计算机中进行加减运算时比较麻烦。带符号数的表示法带符号数的表示法48Shanghai Jiao Tong University正数的反码：正数的反码：正数的反码：正数的反码：表示表示与其原码相同与其原码相同，即符号位用，即符号位用“0”“0”表示正，表示正，数字位为数值本身数字位为数值
51、本身。uu 反码反码反码反码负数的反码：负数的反码：负数的反码：负数的反码：将它的将它的正数按位正数按位( (包括符号位包括符号位) )取反取反形成的形成的。l l “0” “0”的反码有两种表示法：的反码有两种表示法： 00000000 00000000表示表示“ “0 0” ”，1111111111111111表示表示“ “0 0” ”。l l 8 8位二进制反码的数值范围：位二进制反码的数值范围： (127)D (127)D (127)D(127)Dl l 一个带符号数用反码表示时，一个带符号数用反码表示时，最高最高位为符号位。位为符号位。带符号数的表示法带符号数的表示法49Shangh
52、ai Jiao Tong University同一加法电路即可实现同一加法电路即可实现同一加法电路即可实现同一加法电路即可实现有有有有符号数的相加，也可实现符号数的相加，也可实现符号数的相加，也可实现符号数的相加，也可实现无无无无符号符号符号符号数的相加，且可通过加法来实现数的相加，且可通过加法来实现数的相加，且可通过加法来实现数的相加，且可通过加法来实现减法减法减法减法运算；运算；运算；运算；简化逻辑运算，提高速度，降低成本。简化逻辑运算，提高速度，降低成本。简化逻辑运算，提高速度，降低成本。简化逻辑运算，提高速度，降低成本。uu 补码补码补码补码（微机中采用补码表示法）（微机中采用补码表示
53、法）（微机中采用补码表示法）（微机中采用补码表示法）正数的补码：正数的补码：正数的补码：正数的补码：与其原码相同，即符号位用与其原码相同，即符号位用“0”“0”表示正，数字表示正，数字位为数值本身位为数值本身。负数的补码：负数的补码：负数的补码：负数的补码：反码加反码加1 1。连同符号位，按位取反再加连同符号位，按位取反再加连同符号位，按位取反再加连同符号位，按位取反再加1 1。带符号数的表示法带符号数的表示法50Shanghai Jiao Tong University +0+0补补 =-0=-0补补= 00000000= 00000000 8 8位二进制补码所能表示的数值为位二进制补码所能
54、表示的数值为-128+127-128+127 最小的负数最小的负数10000000B(-128D)10000000B(-128D) 当当1 1个带符号数用个带符号数用8 8位二进制补码表示时，最高位为位二进制补码表示时，最高位为 符号位，其余符号位，其余7 7位为数字位。位为数字位。uu 补码补码补码补码结论结论结论结论 带符号数的表示法带符号数的表示法51Shanghai Jiao Tong Universityn 补码的加法运算补码的加法运算符号位与数字位符号位与数字位符号位与数字位符号位与数字位一起一起一起一起参加运算，运算参加运算，运算参加运算，运算参加运算，运算结果也是补码结果也是补
55、码结果也是补码结果也是补码; ;XX补补 + Y + Y补补 = (2 = (2n n+X) + (2+X) + (2n n+Y) +Y) = 2 = 2n n + (X+Y)+ (X+Y) = = X+YX+Y补补结论：结论：结论：结论：两数补码之和，等于两数和的补码。两数补码之和，等于两数和的补码。两数补码之和，等于两数和的补码。两数补码之和，等于两数和的补码。带符号数的表示法带符号数的表示法52Shanghai Jiao Tong University两数补码之差，等于两数差的补码。两数补码之差，等于两数差的补码。两数补码之差，等于两数差的补码。两数补码之差，等于两数差的补码。n 补码的
56、减法运算补码的减法运算XX补补 + Y + Y补补 = X = X补补 + -Y + -Y补补 = (2 = (2n n+X) + 2+X) + 2n n+(-Y) +(-Y) = 2 = 2n n + (X-Y)+ (X-Y) = = X-YX-Y补补带符号数的表示法带符号数的表示法53Shanghai Jiao Tong Universityn 溢出概念溢出概念uu 溢出溢出溢出溢出：指指带符号数带符号数的的补码运算补码运算溢出。溢出。字长字长n=8n=8，二进制数补码运算范围为：，二进制数补码运算范围为： -2 -28-18-1+2+28-18-1-1-1，即，即-128+127-128
57、+127，如果运算结果超出此范围，则产生溢出。如果运算结果超出此范围，则产生溢出。字长字长n=16n=16，补码运算范围为：，补码运算范围为： -2 -216-116-1+2+216-116-1-1-1，即，即-32768+32767-32768+32767，如果运算结果超出此范围，则产生溢出。如果运算结果超出此范围，则产生溢出。带符号数字长为带符号数字长为n n，最高位表示符号，其余，最高位表示符号，其余n-1n-1位表示数值，位表示数值，补码补码运算范围运算范围为为 -2 -2n-1 n-1 +2 +2n-1 n-1 -1-1，如运算结果超出此范围，称补码溢出，如运算结果超出此范围，称补码
58、溢出( (简称溢出简称溢出) )。溢出时，将造成运算错误溢出时，将造成运算错误。带符号数的表示法带符号数的表示法54Shanghai Jiao Tong Universityuu 判断溢出判断溢出判断溢出判断溢出的方法的方法的方法的方法V=DV=D7C 7C D D6C6CV=1V=1，表示有溢出；，表示有溢出；V=0V=0，表示无溢出，表示无溢出根据参加运算的根据参加运算的两个数符号两个数符号及及运算结果符号运算结果符号判断；判断；利用利用双双进位状态进位状态来判断，即符号位相加的进位状态来判断，即符号位相加的进位状态数值部分的最高位相加的进位状态。数值部分的最高位相加的进位状态。带符号数的
59、表示法带符号数的表示法55Shanghai Jiao Tong Universityuu溢出与进位：溢出与进位：溢出与进位：溢出与进位：不同性质不同性质的概念，二者之间无必然联系。的概念，二者之间无必然联系。 进位：进位：进位：进位：运算结果的最高位向更高位的进位。运算结果的最高位向更高位的进位。如有进位：如有进位：如有进位：如有进位：D D7C7C1 1 若若D D6C6C1 1，则，则 V=D V=D7C7CD D6C6C=1 =1 1=01=0，表示，表示无无溢出；溢出； 若若D D6C6C0 0，则，则 V=D V=D7C7CD D6C6C=1 =1 0 0=1=1，表示，表示有有溢出；溢出；如无进位：如无进位：如无进位：如无进位：D D7C7C0 0 若若D D6C6C1 1，则，则 V=D V=D7C7CD D6C6C=0 =0 1=11=1，表示，表示有有溢出；溢出； 若若D D6C6C0 0，则，则 V=D V=D7C7CD D6C6C=0 =0 0 0=0=0，表示，表示无无溢出；溢出；带符号数的表示法带符号数的表示法56Shanghai Jiao Tong UniversityThank You！57
