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1、第三篇第三篇 动力学动力学理论力学理论力学第第10章章 动量定理动量定理第第10章章 动量定理动量定理 从本章开始研究适用于从本章开始研究适用于质点系的动力学普遍定理质点系的动力学普遍定理，即动量定理、动量矩定理和动能定理。在大学物理中即动量定理、动量矩定理和动能定理。在大学物理中我们已研究过我们已研究过质点的动力学普遍定理质点的动力学普遍定理。 质点系动力学普遍定理，建立了度量质点系整体运质点系动力学普遍定理，建立了度量质点系整体运动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）与动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）与其上作用的力系特征量（主矢、主矩）和功之间的关其上作用的力系特征量（主
2、矢、主矩）和功之间的关系，每个定理都具有明显的物理意义。系，每个定理都具有明显的物理意义。与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 质心运动定理质心运动定理 应用举例应用举例第第10章章 动量定理动量定理 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题地面拔河与太空拔河，谁胜谁负地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？ 这种运动有什么规律？这种运动有什么规律？会不会上下跳动？会不会上下跳动？ 几个有意义的
3、实际问题几个有意义的实际问题？蹲在磅秤上的人站起来时，蹲在磅秤上的人站起来时， 磅秤磅秤指示数会不会发生的变化？指示数会不会发生的变化？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题？ 台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象？会发生什么现象？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题？水池水池隔板隔板光滑台面光滑台面 抽去隔板后，将会抽去隔板后，将会发生什么现象？发生什么现象？水水 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题动量定理动量定理第第10章章 动量定理动量定理 动量定理动量定理 质点系的动量质点系的动量 质点系的动量定理质点系
4、的动量定理 质点系的动量定理的守恒形式质点系的动量定理的守恒形式 质点的动量质点的动量 质点质量与质点速度的乘积质点质量与质点速度的乘积动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量定理动量定理 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大，仍可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。 质点系的动量质点系的动量 质点系中所有质点动量的矢量和，称质点系中所有质点动量的矢量和，称为质点系的动量。为质点系的动量
5、。 质点系的动量是质点系整体运动的基本特征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。 动量定理动量定理 注意到物理学中，质点系质心位矢公式对时间的一阶导数： 式中，rC为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；m为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为： 质点系的动量质点系的动量 动量定理动量定理 这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。 动量所描述的并不是质点系运动的全部，因为它不能描述质点系的转动效应。 质点系的动量质点系的动量 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 A
6、 AO OB B 椭圆规机构中，椭圆规机构中，OCOCACACCBCBl l；滑块滑块A A和和B B的质量均为的质量均为m m，曲曲柄柄OCOC和连杆和连杆ABAB的质量忽略不计；的质量忽略不计；曲柄以等角速度曲柄以等角速度 绕绕O O 轴旋转；图轴旋转；图示位置时，角度示位置时，角度为任意值。为任意值。求：求：图示位置时，系统的总动量。图示位置时，系统的总动量。C C 解：解：以滑块以滑块A A和和B B组成的质点组成的质点系系统统为研究对象为研究对象。 求这一质点系的动量可以用两求这一质点系的动量可以用两种方法：种方法： 第一种方法：先计算各个质点第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其
7、矢量和。的动量，再求其矢量和。 第二种方法：先确定系统的质第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。系统的动量。 参考性例题参考性例题 1A AO OB BC C A AO OB BC C 解：解：第一种方法：先计算各个质点第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。的动量，再求其矢量和。 建立建立Oxy Oxy 坐标系。坐标系。x xy yv vB Bv vA A 参考性例题参考性例题 1 解：解：第二种方法：先确定系统的第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。算系统的动量。 质点系
8、的质心在质点系的质心在C C处，其速度处，其速度矢量垂直于矢量垂直于OCOC，数值数值为为v vC C = l= l v vC C = l= l ( (sin sin i icoscos j j ) )系统的总质量系统的总质量m mC C= = m mA A+ + m mB B=2=2m m系统的总动量系统的总动量 参考性例题参考性例题 1A AO OB BC Cv vB Bv vA Av vC C90o对质点系中第对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：个质点应用牛顿第二定律有： 质点的动量定理质点的动量定理 质点的动量对时间的一阶导数，等于作质点的动量对时间的一阶导数，等于作用在质点上的力
9、用在质点上的力其中其中 F ii 为质点系中其它质点作用在第为质点系中其它质点作用在第 i 个质点上的力（即内个质点上的力（即内力）；力）； F ei 为质点系以外的物体作用在第质点系以外的物体作用在第 i 个质点上的力（即外力）个质点上的力（即外力）。 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 对于由对于由 n 个质点所组成的质点系可列出个质点所组成的质点系可列出 n 个这样的方程，个这样的方程，将方程两侧的项分别相加，得到将方程两侧的项分别相加，得到 注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出现，因此质注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出现，因此质点系的
10、内力的矢量和等于零，于是上式变为点系的内力的矢量和等于零，于是上式变为 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 这就是微分形式的微分形式的质点系质点系动量定理动量定理(theorem of the momentum of the system of particles) )，即：即：质点系的动量对时间的变化率等于质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。质点系所受外力系的矢量和。 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 将上述方程两侧积分，便得到积分形式的质点系动量定理质点系动量定理，也称为质点系的冲量定理冲量定理(
11、theorem of impulse)： 质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 称为力 F 在时间间隔t1-t2内的冲量冲量称为力 F 的元冲量元冲量如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。这就是质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律(theorem of the conservation of momentum of a system of particles)。式中
12、 C1 为常矢量，由运动的初始条件决定。 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式： 若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的投影恒为零，由上式可知，质质点系的点系的动动量在量在该该坐坐标轴标轴上守恒上守恒。例如 式中C2为常量，由运动初始条件决定。 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 质心运动定理质心运动定理第第10章章 动量定理动量定理 返回返回返回总目录返回总目录质心运动定理质心运动定理(theorem of the motion of the center
13、of (theorem of the motion of the center of mass)mass)是是质质点系点系动动量定理的另一种形式。量定理的另一种形式。 质心运动定理质心运动定理 质质心运心运动动定理定理质点系的总质量与质心加速度的质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上外力的矢量和乘积等于作用在质点系上外力的矢量和。质心运动定理在直角坐标系中的投影式为： 质心加速度在直角坐标轴上的投影 质心运动定理质心运动定理守恒形式守恒形式如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则有 这表明：质质点系点系的的质质心作匀速直心作匀速直线线运运动动。如果系如果系统统初始初始为为静止状静止
14、状态态， ，则质则质心的位矢心的位矢为为常常矢量，矢量， ，质质心心位置位置保持保持不变不变，即，即质质心守恒心守恒。 质心运动定理质心运动定理如果外力主矢在某一如果外力主矢在某一轴轴（例如（例如 x x 轴轴）上的投影）上的投影为为零，零，则则有有 质心速度在某一坐标轴（例如 x 轴）上的投影为常量。 如果质心初始为静止状态，即 vCx=0 ,则质心在 x 轴上的坐标保持不变，即 。 守恒形式守恒形式 质心运动定理质心运动定理 动量定理动量定理应用举例应用举例 求解求解动动力学力学问题问题的步的步骤骤基本相同，但是采用不同基本相同，但是采用不同的定理的定理时时，都有一些需要特，都有一些需要特
15、别别注意之注意之处处。应应用用动动量量定理和定理和质质心运心运动动定理定理时时，需要特，需要特别别注意注意这这两定理的两定理的守恒形式。守恒形式。 例 题 1 图示系统中，三个重物的质量分别为m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳子相连接，四棱柱体的质量为m4 。如略去一切摩擦和绳子的重量。 3若将上述系统放在有凸起的地面上，如图所示，当物块1下降s时，系统对凸起部分的水平压力。 求：求：求：求： 1系统动量的表达式； 2系统初始静止，当物块1下降s时，假设物体相对四棱柱体的速度已知，四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。 动量定理动量定理应用举例应用举例解：1. 确定系统的动量表达式。建
16、立坐标系如图示。根据取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v，各物块相对四棱柱体的速度为vr，则 例 题 1 动量定理动量定理应用举例应用举例解解：2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。 因不计一切摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即 由此解得 例 题 1 动量定理动量定理应用举例应用举例解解：2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。 又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，得到四棱柱体的位移。 例 题 1 动量定理动量定理应用举例应用举例解解：3.确定对凸起部分的作用力，可以采用质心运动定理。 设物块相对四棱柱体的加速度为ar，由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，根
17、据质心运动定理，并注意到 故，四棱柱体的加速度a极易由牛顿定律求出。得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力 例 题 1 动量定理动量定理应用举例应用举例 例 题 2 动量定理动量定理应用举例应用举例 电动机的外壳和定子的总质量为 m1 , 质心C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。若转子以等角速度旋转求：求：求：求：电动机底座所受的水平和铅垂约束力。 例 题 2 动量定理动量定理应用举例应用举例解：解：解：解：1、选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为研究对象。 2、系统所受的外力：定子所受重力m1g;转子所受重力m2g;底
18、座所受约束力 Fx、Fy、M。m1gm2gFxFyM 例 题 2 动量定理动量定理应用举例应用举例 3、各刚体质心的加速度aC1 aO1=0 ;aC2 aO2e2(向心加速度) 例 题 2 动量定理动量定理应用举例应用举例m1gm2gFxFyM 4、应用质心运动定理 4 4、应用质心运动定理、应用质心运动定理 例 题 2 动量定理动量定理应用举例应用举例 电动机的外壳和定子的总质量为 m1, 质心 C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e。转子以等角速度旋转。如果底座与基础之间没有螺栓固定，初始条件为 ： 0，vO2x = 0, v
19、O2y=e求：求：求：求： 1 1、电动机跳起的条件； 2 2、外壳在水平方向的运动规律。 例 题 3 动量定理动量定理应用举例应用举例解：解：解：解：1、选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为研究对象，分析系统的受力：定子所受重力m1g;转子所受重力m2g; 由于底座与基础之间没有螺栓固定，所以没有水平方向约束力，只有约束力Fy、M。FyMm m2 2g gm m1 1g g 例 题 3 动量定理动量定理应用举例应用举例FyMm m2 2g gm m1 1g g 解：解：解：解： 2、分析运动，确定各个刚体质心的加速度 定系Oxy固结于地面；xyOy1x1aO2 外壳作平移，其质心加速度为a
20、O1; 转子作平面运动，其质心加速度由两部分组成： ae=aO1 (牵连加速度，水平方向); ar=aO2=e2(相对加速度，指向O1)。aO1aO1 动系O1x1y1固结于外壳。 例 题 3 动量定理动量定理应用举例应用举例 解：解：3、应用质心运动定理确定约束力FyMm m2 2g gm m1 1g gxyOaO1aO1 例 题 3 动量定理动量定理应用举例应用举例 解：解：4 4、分析、分析电动机跳起的条件；电动机跳起的条件；当偏心转子质心当偏心转子质心O O2 2运动到最上方时，运动到最上方时， t t = =/2,/2,电动机跳起的条件电动机跳起的条件 例 题 3 动量定理动量定理应
21、用举例应用举例 解：解：4 4、确定电动机外壳在水平方向运动方程、确定电动机外壳在水平方向运动方程 系统动量在水平方向的分量守恒，即FeRx=0。根据初始条件，初始时x方向没有运动，所以系统在x方向动量为0。其中其中 外壳质心的速度，外壳质心的速度，x x轴正向轴正向 转子质心的速度转子质心的速度 例 题 3 动量定理动量定理应用举例应用举例 解：解：4 4、确定电动机外壳在水平方向运动方程、确定电动机外壳在水平方向运动方程 例 题 3 动量定理动量定理应用举例应用举例 解：解：5 5、计算结果分析、计算结果分析平衡位置平衡位置振振 幅幅 简谐运动简谐运动 向右运动向右运动 向左运动向左运动
22、例 题 3 动量定理动量定理应用举例应用举例驱动汽车行驶的力驱动汽车行驶的力 一一辆辆大大马马力的汽力的汽车车，在崎，在崎岖岖不平的山路上可以不平的山路上可以畅畅通无通无阻。一旦开到阻。一旦开到结结冰的光滑河面上，它却寸步冰的光滑河面上，它却寸步难难行。同一行。同一辆辆汽汽车车，同，同样样的的发动发动机，机，为为何有不同的何有不同的结结果？不要忘果？不要忘记记在汽在汽车车的的发动发动机中，气体的机中，气体的压压力是汽力是汽车车行行驶驶的原的原动动力啊。你能力啊。你能解解释释清楚清楚吗吗？ 结论与讨论结论与讨论 实例现象的解释实例现象的解释定向爆破的定向爆破的飞飞石石 为了某种工程需要，人们想削去一座山头或想拆掉一座为了某种工程需要，人们想削去一座山头或想拆掉一座楼房而不影响周围的建筑，往往采用定向爆破。定向爆破时，楼房而不影响周围的建筑，往往采用定向爆破。定向爆破时，为了确保周边一定范围以外区域内建筑物以及人身安全，必为了确保周边一定范围以外区域内建筑物以及人身安全，必须预先计算爆破飞石散落的地点。你知道爆破飞石散落的地须预先计算爆破飞石散落的地点。你知道爆破飞石散落的地点是根据什麽计算出来的吗？点是根据什麽计算出来的吗？ 结论与讨论结论与讨论 实例现象的解释实例现象的解释
