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1、第7讲空间中角与间隔的计算考纲要求考纲研读空间向量的运用(1)了解直线的方向向量与平面的法向量(2)能用向量言语表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(3)能用向量方法处理直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研讨几何问题中的作用.1.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的间隔等问题的处理往往借助于向量坐标正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，经常思索空间直角坐标系2能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐标系其次要留意向量运算与根本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形，可以“数
2、到形，留意数形结合.1异面直线所成的角锐角或直角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线a与b 所成的角，其范围是_(0，902直线与平面所成的角(1)假设直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所成的角等于_.0(2)假设直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是_(0，90)90斜线与平面所成的_是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最_的角线面角小3二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角从二面角的棱上恣意一点为端点，
3、在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做_直二面角4点与它在平面上的射影间的间隔叫做该点到这个平面的距离求点到平面的间隔通常运用_，即构造一个三棱锥，将点到平面的间隔转化为三棱锥的_等积法高5直线与平面平行，那么直线任一点到平面的间隔叫做这条直线与平面的间隔A充分不用要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不用要条件BC3在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AC，BD 的中点，假设 CD2AB4，EFAB，那么 EF 与 CD 所成的角为()A90B60C45D30D4知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)
4、，那么两平面所成的二面角为_.45或 5如图 1371，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_.图 1371考点1线面所成角的计算例1：如图 1372，知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点(1)求证：AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE；(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值图 1372图D32求直线与平面所成的角，大致有两种根本方法：传统立体几何的综合推理法：经过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小找射影
5、的根本方法是过直线上一点作平面的垂线，衔接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可经过找到经过斜线且垂直于知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式经过坐标运算求得直线和平面所成的角【互动探求】1(2021 年全国)正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()答案：D考点2面面所成角的计算例 2：(2021 年全国)如图 1373，四棱锥 PABCD中，底面ABCD为平行四边形,DAB60,AB2AD,PD底面ABCD.图 1373(1)证明：PA BD；(2)假设 PDA
6、D，求二面角 APBC 的余弦值图D33求二面角，大致有两种根本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，经过求两个法向量的夹角得出二面角的大小【互动探求】2(2021年江苏)如图1374，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，点 N是 BC的中点，点 M 在 CC1上，设二图 1374面角 A1DNM 的大小为.(1)当90时，求 AM 的长；考点3 立体几何中的综合问题例3：如图 1375，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且 SA平面
7、ABC，SA3a，求点 A 到平面SBC 的间隔图 1375图 1376解析：方法一：如图1376，作ADBC 交BC延伸线于D，衔接SD.SA平面 ABC，SABC，又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC，平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.过点A 作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH平面SBC.于是AH 即为点A 到平面 SBC 的间隔方法三：如图1377，以 A 为坐标原点，以AC，AS 所在直线为y 轴，z 轴，以过A点且垂直于yOz平面直线为x 轴建立空间直角坐标系图1377求点到平面的间隔通常有以下方法：(1)直接法，即直接确定点到平面
8、的垂线，再求出点到垂足的间隔；(2)间接法，包括等体积法和转化法；(3)向量法，即求出知点与平面上一点衔接线段在平面法向量方向上的射影长，此射影长即为所求点面距【互动探求】3在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，过A1，C1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图 1378 所示的几何体 ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为 10.图 1378(1)求棱A1A的长；(2)求点 D 到平面 A1BC1的间隔考点4 求二面角例4：如图 1379，四边形ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面，点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ的底面圆的半径 OA2，侧
9、面积为 8 ， AOP120.(1)求证：AGBD；(2)求二面角 PAGB 的平面角的余弦值图 1379图13710本小题主要调查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及平面几何的圆等知识，调查空间想象才干和推实际证才干、利用综合法或向量法解决立体几何问题的才干1利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思绪简捷、方法明晰、运算直接，能迅速准确地解决问题立体几何中，处置空间的角和间隔的问题主要掌握两种方法：传统方法和向量方法传统方法需求较高的空间想象才干，需求深化了解角和间隔的定义，灵敏运用空间的平行和垂直的定理和性质；向量方法必需熟练掌握向量的根本知识和技艺，尤其提出如下几点：怎样建立直角坐标系及坐标系建立技巧；法向量的应用对处置角和间隔的重要性；怎样用向量处理立体几何中的几大常见题型；准确判别能否选用向量处置问题，明确向量解题的缺点总而言之，两种方法各有千秋，同窗们在解题过程中需灵敏选用
