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1、八年级八年级( (上册上册) )初中数学初中数学3.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本只要粘土板还潮生们以手掌大小的粘土板为练习本只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的是在这些建筑中发现这些泥板的3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理泥板摹真
2、图 泥板上的神秘符号泥板上的神秘符号实际上是一些数组实际上是一些数组3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理经过专家的潜心研究经过专家的潜心研究经过专家的潜心研究经过专家的潜心研究, , , ,发现其中两列数字竟发现其中两列数字竟发现其中两列数字竟发现其中两列数字竟然是然是然是然是直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形的的的的勾勾勾勾和和和和弦弦弦弦的长的长的长的长, , , ,只要再添加一列只要再添加一列只要再添加一列只要再添加一列数数数数( ( ( (如图如图如图如图左边左边左边左边的一列的一列的一列的一列),),),),那么每行的三个数就
3、是一那么每行的三个数就是一那么每行的三个数就是一那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长个直角三角形三边的边长个直角三角形三边的边长个直角三角形三边的边长那如何判定由这些数组构成的三角形是直角那如何判定由这些数组构成的三角形是直角三角形呢？三角形呢？3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理画画画画图图：画出：画出：画出：画出边长边长分分分分别别是下列各是下列各是下列各是下列各组组数的三角形（数的三角形（数的三角形（数的三角形（单单位：位：位：位：厘米）厘米）厘米）厘米） A A3 3，4 4，3 3；B B3 3，4 4，5 5； C C3
4、3，4 4，6 6；D D5 5，1212，1313判断：判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状判断一下上述你所画的三角形的形状A；B_ ；C；D_锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理A锐角三角形角三角形B直角三角形直角三角形C钝角三角形角三角形D直角三角形直角三角形323242324252324262521221323.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理猜想：三角形的三边之间满足怎样数量猜想：三角形的三边之间满
5、足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？关系时，此三角形是直角三角形？如如果果三三角角形形的的三三边长a、b、c满足足a2b2c2，那那么么这个个三三角角形形是是直直角三角形角三角形.a2b2c2，ABC为直角三角形直角三角形ACB3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三如果三角形的三边长a、b、c满足足a2b2c2，那么那么这个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形满足足a2b2c2的三个的三个正整数，正整数，称称为勾股数勾股数这个结论与勾股定理有什么关系？这个结论与勾股定理有什么关系？概念归纳概念归纳概念归纳概念归纳勾股定理逆定
6、理勾股定理逆定理3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 像（像（3，4，5）、（）、（6，8，10）、（）、（5，12，13）等等满足足a2 2b2 2c2 2的一的一组正整数，通常称正整数，通常称为勾股数，勾股数，请你填表并探索你填表并探索规律律a369123nb4812164nc51015205n3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理a3579112n+1b4122440602n(n1)c5132541612n(n1)13.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理
7、勾股定理的逆定理从前从前2 2个个表中你能表中你能发现什么什么规律？律？你能根据你能根据发现的的规律写出更多的勾股数律写出更多的勾股数吗？试试看看利用勾股数可以构造直角三角形利用勾股数可以构造直角三角形. .3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 知识运用知识运用例例1 1很久很久以前，古埃及人把一很久很久以前，古埃及人把一根根长绳打上等距离的打上等距离的1313个个结，然后，然后用用桩钉如如图那那样钉成一个三角形，成一个三角形，你知道你知道这个三角形是什么形状个三角形是什么形状吗？并并说明理由明理由3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股
8、定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理例例2 2已知某校有一已知某校有一块四四边形空地形空地ABCD，如，如图，现计划在划在该空地上种草皮，空地上种草皮，经测量量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需若每平方米草皮需100元，元，问需投入多少元？需投入多少元？3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理变式：式：要做一个如要做一个如图所示的零件，按所示的零件，按规定定B与与D都都应为直角，工人直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求个零件符合要求吗？3.23.23.23.2勾股定
9、理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理1.下列各数下列各数组中，不能作中，不能作为直角三角形的三直角三角形的三边长的的是（是（）A3 3，4 4，5 5；B1010，6 6，8 8；C4 4，5 5，6 6；D1212，1313，5 5试一试试一试3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理2 2若若ABC的两的两边长为8和和15，则能使能使ABC为直直角三角形的第三角三角形的第三边的平方是（）的平方是（）A161161； B289289；C1717； D16161 1或或2892893.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定
10、理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理3. 3.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为已知一直角三角形的木板，三边的平方和为已知一直角三角形的木板，三边的平方和为已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm1800cm2 2，则斜边长为则斜边长为则斜边长为则斜边长为()() A A30cm30cm B B80cm80cmC C90cm90cmD D120cm120cm4. 4.在在在在ABCABC中中中中，若若若若a=na=n2 2-1,b=2n,c=n-1,b=2n,c=n2 2+1+1，则则则则ABCABC是（是（是（是（）A.A.锐角三角形锐角三角形锐角三角形锐角三角形B.B.
11、B.B.钝角三角形钝角三角形钝角三角形钝角三角形C.C.C.C.等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形D.D.D.D.直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形5.5.将直角三角形的三条边长同时扩大同一将直角三角形的三条边长同时扩大同一将直角三角形的三条边长同时扩大同一将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数倍数倍数倍数, , 得到的三角形是（得到的三角形是（得到的三角形是（得到的三角形是（ ）A.A.钝角三角形钝角三角形钝角三角形钝角三角形 B. B. 锐角三角形锐角三角形锐角三角形锐角三角形C. C. 直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形 D. D. 等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三
12、角形设ABC的的3条条边长分分别是是a、b、c，且且an21，b2n，cn21问：ABC是是直角三角形直角三角形吗？拓展延伸：拓展延伸：3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理6. 6.若若若若ABCABC的三的三的三的三边边a a、b b、c c满满足条件足条件足条件足条件a a2 2b b2 2c c2 23383381010a a2424b b2626c c，试试判断判断判断判断ABCABC的的的的形状形状形状形状. .3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理8.8.一一一一块块块块四四四四边
13、边边边形形形形的的的的土土土土地地地地，ADCADC9090，ADAD12m12m，CDCD9m9m，ABAB39m39m，BCBC36m36m，求求求求这这这这块块块块地地地地的的的的面面面面积积积积. .1010勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经周髀算经周髀算经周髀算经中就有中就有中就有中就有“ “若勾三，股四，则弦五若勾三，股四，则弦五若勾三，股四，则弦五若勾三，股四，则弦五” ”的记的记的记的记载如图载如图载如图载如图(a)(a)是由边长
14、相等的小正方形和直角三角形构是由边长相等的小正方形和直角三角形构是由边长相等的小正方形和直角三角形构是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图成的，可以用其面积关系验证勾股定理图成的，可以用其面积关系验证勾股定理图成的，可以用其面积关系验证勾股定理图(b)(b)是由图是由图是由图是由图(a)(a)放人长方形内得到的，放人长方形内得到的，放人长方形内得到的，放人长方形内得到的，BACBAC9090，ABAB3 3，ACAC4 4，点，点，点，点D D，E E，F F，GG，H H，I I都在长方形都在长方形都在长方形都在长方形KLMJKLMJ的边上，的边上，的边上，
15、的边上，则长方形则长方形则长方形则长方形KLMJKLMJ的面积为的面积为的面积为的面积为 ( )( )11.11.方方方方法法法法1 1：如如如如图图图图(a)(a)，对对对对任任任任意意意意的的的的符符符符合合合合条条条条件件件件的的的的直直直直角角角角三三三三角角角角形形形形绕绕绕绕其其其其锐锐锐锐角角角角顶顶顶顶点点点点旋旋旋旋转转转转9090所所所所得得得得，所所所所以以以以BAEBAE9090，且且且且四四四四边边边边形形形形ACFDACFD是是是是一一一一个个个个正正正正方方方方形形形形，它它它它的的的的面面面面积积积积和和和和四四四四边边边边形形形形ABFEABFE面面面面积积积
16、积 相相相相 等等等等 ， 而而而而 四四四四 边边边边 形形形形 ABFEABFE面面面面 积积积积 等等等等 于于于于 RtRtBAEBAE和和和和RtRtBFEBFE的的的的面面面面积积积积之之之之和和和和，根根根根据据据据图图图图示示示示写写写写出出出出证证证证明明明明勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理的的的的过程；过程；过程；过程；方方方方法法法法2 2：如如如如图图图图(b)(b)，是是是是任任任任意意意意的的的的符符符符合合合合条条条条件件件件的的的的两两两两个个个个全全全全等等等等的的的的RtRtBEABEA和和和和RtRtACDACD拼拼拼拼成成成成的的的的，你你你你能能能能根
17、根根根据据据据图图图图示示示示再再再再写写写写一一一一种种种种证明勾股定理的方法吗？证明勾股定理的方法吗？证明勾股定理的方法吗？证明勾股定理的方法吗？通过本节课的学习，你知道一个三角形的通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？才是直角三角形呢？本课总结：本课总结：3.23.23.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理9. 9.如图，设正方体如图，设正方体如图，设正方体如图，设正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为的棱长为
18、的棱长为1 1，黑、，黑、，黑、，黑、白两个甲壳虫同时从点白两个甲壳虫同时从点白两个甲壳虫同时从点白两个甲壳虫同时从点A A出发，以相同的速度分别沿出发，以相同的速度分别沿出发，以相同的速度分别沿出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AAAA1 1A A1 1D D1 1，白甲壳虫爬行的路线是，白甲壳虫爬行的路线是，白甲壳虫爬行的路线是，白甲壳虫爬行的路线是ABABBBBB1 1，并且都遵循如下规则：所爬行的第，并且都遵循如下规则：所爬行的第，并且都遵循如下规则：所爬行的第，并且都
19、遵循如下规则：所爬行的第n n2 2与第与第与第与第n n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交条棱所在的直线必须是既不平行也不相交条棱所在的直线必须是既不平行也不相交条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中（其中（其中（其中n n是正整数）那么当黑、白两个甲壳虫各爬是正整数）那么当黑、白两个甲壳虫各爬是正整数）那么当黑、白两个甲壳虫各爬是正整数）那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第行完第行完第行完第20132013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是它们之间的距离是它们之间的距离是它们之间的距离是
