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1、专题提升（十）专题提升（十）以等腰三角形或直角三角形为背景的计以等腰三角形或直角三角形为背景的计算与证明算与证明把一张顶角为把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形你能办到吗？请小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形你能办到吗？请画示意图说明剪法画示意图说明剪法(浙教版八上浙教版八上P66作业题第作业题第6题题)解解：如图，作：如图，作ABC的平分线，交的平分线，交AC于点于点D.在在BA上上截取截取BEBD，连接，连接ED，则沿虚线，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成剪两刀，分成的三个三角形都是等腰三角形的三个三角形都是等腰三角
2、形一一以等腰三角形为背景的计算与证明以等腰三角形为背景的计算与证明教材母题答图教材母题答图【思想方法思想方法】等腰三角形的性质常与线段的垂直平等腰三角形的性质常与线段的垂直平分线结合在一起说明线段相等，或者与三角形内角和定理分线结合在一起说明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边的计算角形中关于边的计算12013无锡无锡如图如图Z101，ABC中，中，ABAC，DE垂直平分垂直平分AB，BEAC，AFBC，则，则EFC_图图Z10145【解析解析】DE垂直平分垂直平分AB，AEBE.BEA
3、C，ABE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BACABE45.又又ABAC，CBEABCABE67.54522.5.ABAC，AFBC，BFCF，BFEF，BEFCBE22.5，EFCBEFCBE22.522.545.22013杭州杭州(1)先求解下列两题：先求解下列两题：图图Z102如图如图Z102中图中图，点，点B，D在射线在射线AM上，点上，点C，E在射线在射线AN上，且上，且ABBCCDDE，已知，已知EDM84，求，求A的度数；的度数；(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出单地写出【解析解析】(1)根据等边对等角及三角形的
4、一个外角根据等边对等角及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；等于与它不相邻的两个内角的和；先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据的坐标，然后根据ACx轴可得点轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比的坐标，再代入反比例函数解析式例函数解析式(2)从数学思想上考虑解答从数学思想上考虑解答解解：(1)ABBCCDDE，ABCA，CBDBDC，ECDCED.根据三角形的外角性质，得根据三角形的外角性质，得ABCACBD，ACDBECD，AC
5、EDEDM，又又EDM84，A3A84，解得，解得A21；如图如图Z103，ABC中，中，BAC90，ABAC2，点，点D是是BC上一动点上一动点(不与不与B、C重合重合)，在，在AC上取上取E点，使点，使ADE45.(1)求证：求证：EDCBAD；(2)当当ADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AE的长的长图图Z103解解：(1)证明：证明：BAC90，ABAC2，BC45.ADE45，BCADE.ADC为为ABD的外角，的外角，ADCABDBAD45BAD，又又ADCADEEDC45EDC，EDCBAD.(2)DAEBAC90，ADE45，当当ADE是等腰三角形时，第一种可能是是等腰三
6、角形时，第一种可能是ADDE.又又ABDDCE，ABDDCE.CDAB2.如图如图Z104，在，在ABC中，中，ADBC于点于点D，E为为AC上一点，且上一点，且BFAC，DFDC.求证：求证：BEAC.(浙教版八浙教版八上上P84作业题第作业题第5题题)图图Z104二二以直角三角形为背景的计算与证明以直角三角形为背景的计算与证明【解析解析】由由ABC中，中，ADBC，BFAC，DFDC可得可得BDFADC，所以，所以DBFDAE，再由，再由BFDAFE，可得，可得DBFBFDDAEAFE90，即证，即证BEAC.BDFADC，DBFDAE，又又BFDAFE，DBFBFDDAEAFE90，即即
7、BEAC.【思想方法思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用12014金华金华如图如图Z105，将，将RtABC绕直角顶点绕直角顶点C顺时针旋转顺时针旋转90，得到，得到ABC，连接，连接AA，若，若120，则，则B的度数是的度数是()图图Z105A70B65C60D55B【解析解析】RtABC绕直角顶点绕直角顶点C顺时针旋转顺时针旋转90得得到到ABC，ACAC，ACA是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，CAA45，ABC1CAA204565，由旋转的性质得由旋转的性质得
8、BABC65.22013义乌义乌如图如图Z106，ADBC于点于点D，D为为BC的中点，连结的中点，连结AB，ABC的平分线交的平分线交AD于点于点O，连结，连结OC，若，若AOC125，则，则ABC_.图图Z10670【解析解析】ADBC，AOC125，CAOCADC1259035.D为为BC的中点，的中点，ADBC，OBOC，OBCC35.OB平分平分ABC，ABC2OBC23570.故答案为故答案为70.32013邵阳邵阳将一副三角板拼成如图将一副三角板拼成如图Z107所示的所示的图形，过点图形，过点C作作CF平分平分DCE交交DE于点于点F.(1)求证：求证：CFAB；(2)求求DFC
9、的度数的度数图图Z107解解：(1)证明：证明：DCE90，CF平分平分DCE，DCF45.ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BAC45，BACDCF，CFAB.(2)D30，DFC1803045105.42013内江内江已知：如图已知：如图Z108，ABC和和ECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，ACBDCE90，D为为AB边边上一点求证：上一点求证：BDAE.图图Z108解解：ABC和和ECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，ACBC，CDCE，ECDACB90，ECDACDACBACD，即即ECADCB.52013菏泽菏泽如图如图Z109，在，在ABC中，中，ABC
10、B，ABC90，D为为AB延长线上一点，点延长线上一点，点E在在BC边上，边上，且且BEBD，连结，连结AE，DE，DC.(1)求证：求证：ABECBD；(2)若若CAE30，求，求BDC的度数的度数图图Z109解解：(1)证明：证明：ABC90，DBE180ABC1809090，ABECBD.在在ABE和和CBD中，中，ABECBD.(2)ABCB，ABC90，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ECA45.CAE30，BEAECAEAC，BEA453075.由由(1)知知BDCBEA，BDC75.62014重庆重庆如图如图Z1010，在，在ABC中，中，ACB90，ACBC，E为为A
11、C边的中点，过点边的中点，过点A作作ADAB交交BE的延长线于点的延长线于点D.CG平分平分ACB交交BD于点于点G，F为为AB边边上一点，连接上一点，连接CF，且，且ACFCBG.求证：求证：(1)AFCG；(2)CF2DE.图图Z1010证明证明：(1)ACB90，CG平分平分ACB，ACBC.CABBCG45.又又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA)，AFCG，CFBG.(2)延长延长CG交交AB于点于点H.ACBC，CG平分平分ACB，CHAB，H为为AB中点中点又又ADAB，CHAD，G为为BD中点，中点，DEGC.E为为AC中点，中点，AEEC.又又AEDCEG，AEDC
12、EG(AAS)，DEEG，DG2DE，BGDG2DE，由由(1)得得CFBG，CF2DE.第第6题答图题答图第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图Z1011，已知在，已知在RtABC中，中，ABBC，ABC90，BOAC于点于点O.点点P，D分别在分别在AO和和BC上，上，PBPD，DEAC于点于点E.求证：求证：BPOPDE.图图Z1011(1)理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程(2)特
13、殊位置，证明结论：若特殊位置，证明结论：若BP平分平分ABO，其余条，其余条件不变，求证：件不变，求证：APCD.(3)知识迁移，探索新知：若点知识迁移，探索新知：若点P是一个动点，当点是一个动点，当点P运动到运动到OC的中点的中点P时，满足题中条件的点时，满足题中条件的点D也随之在直线也随之在直线BC上运动到点上运动到点D，请直接写出，请直接写出CD与与AP的数量关系的数量关系(不不必写解答过程必写解答过程)解解：(1)证明：证明：PBPD，PBD2.ABBC，ABC90，AC45.BOAC于点于点O，190C45，1C45.3PBD1，42C，34，又又BOAC，DEAC，BOPPED90.PBPD，BPOPDE.(2)由由(1)可得可得34，BP平分平分ABO，ABP3，ABP4，又又AC，PBPD，ABPCPD，APCD.
