平面和直线方程

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1、一、平面的方程平面的方程二、点到平面的距离二、点到平面的距离三、直线的方程三、直线的方程7.5 7.5 平面和直线的方程平面和直线的方程 四、线面间的夹角四、线面间的夹角* *五、点到直线与直线到直线的距离五、点到直线与直线到直线的距离* *六、平面束六、平面束 如果一非零向量垂直于一平面，这如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的向量就叫做该平面的法法(线线)向量向量.(垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量)已知平面已知平面 的法向量的法向量一、平面的方程一、平面的方程则平面上的任一点则平面上的任一点满足几何条件满足几何条件代入向量的坐标代入向量的坐标1. 平面的点法式和一般

2、式平面的点法式和一般式是平面是平面 上的一定点，上的一定点，平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形面的方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点解解例例2.2.求过三点求过三点解解: :的平面的平面 的方程的方程. . 解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般平面的一般(式式)方程方程法向量法向量结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的图形是一平面方程的图

3、形是一平面.平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点； 平面过平面过 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面平行于平面平行于 轴；轴；设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解过三点过三点的平面方程为的平面方程为2. 平面的三点式和截距式平面的三点式和截距式平面的三点式方程设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程代入所设方程平面的截距式方程平面的截距式方程解解外一点外一点, ,求求例例7.7. 设设解

4、解: :设平面法向量为在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d. .,则P0 到平面的距离为点到平面的距离公式点到平面的距离公式二、点到平面的距离二、点到平面的距离确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线； 由空间的一点和一个方向来确定一条直线由空间的一点和一个方向来确定一条直线. .三、空间直线的方程三、空间直线的方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般空间直线的一般(式式)方程方程注：表示同一直线的一般方程不唯一注：表示同一直线的一般方程不唯一

5、.1. 1. 直线的一般式直线的一般式方向向量的定义：方向向量的定义：/2. 2. 直线的对称式和参数式直线的对称式和参数式 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于一条已知直线一条已知直线 L ，向量，向量 称称为直线为直线 L 的的方向向量方向向量直线的对称式方程直线的对称式方程直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数直线的参数(式式)方程方程消去参数消去参数 t，有，有(也称为点向式方程点向式方程)注：注：1. 表示同一直线的对称式方程不唯一；表示同一直线的对称式方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程对称式方程可

6、转化为一般方程 ;3. 理解为理解为:4. 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程.例例8 8 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.解解定义定义 两平面法向量之间的夹角两平面法向量之间的夹角（通常取锐角）（通常取锐角）称为两平面的夹角称为两平面的夹角. .1. 两平面的夹角两平面的夹角四、线面间的夹角四、线面间的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面

7、夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例1010 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）称为两直线的夹角称为两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式2. 两直线的夹角两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，例例11.11. 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解:解解LlM1M0定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角3. 3. 直线与平面的

8、夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/解解到直线的距离 为点d* *五、点到直线与直线到直线的距离五、点到直线与直线到直线的距离1. 点到直线的距离点到直线的距离另法另法: 做一法向量做一法向量过直线过直线L1 做平面做平面 , 则法向量为则法向量为，点，点P2 到平面到平面 的距离就是的距离就是 d .L1L2过直线的平面束 方程* *六、平面束六、平面束例例15.15. 求直线求直线在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程. .解解：解解：内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结内容小结 直线2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:平面 :L L / 夹角公式：3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :思考题思考题思考题思考题