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1、刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系第二章第二章 光纤光学的基本方程光纤光学的基本方程1刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系光纤光学的研究方法光纤光学的研究方法2.1 引言引言 2刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系分析方法比较分析方法比较3刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系分析思路分析思路4刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系2.2 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与
2、亥姆霍兹方程 边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续： E1tE2t; H1tH2t; B1nB2n; D1nD2n D D E EB B H H ee0 0n n2 2 为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：5刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系分离变量：分离变量：电矢量与磁矢量分离 n得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式：波动方程波动方程波动方程波动方程6刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技
3、大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系分离变量分离变量: 时空坐标分离令场分量为： 得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程：前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数7刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系2.3 程函方程与射线方程程函方程与射线方程 8刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系射线方程的物理意义射线方程的物理意义物理意义： 将光线轨
4、迹(由r r描述)和空间折射率分布(n)联系起来; 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式; dr r/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直 线形式传播;对于渐变波导,n是r r的函数,则dr r/dS为一变量, 这表明光线将发生弯曲。 可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。9刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系典型光线传播轨迹典型光线传播轨迹10刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系分离变量：分离变量：空间坐标纵横分离：n前提条件：光纤中传播的电磁波是前提条件：光纤中传播的电磁波是“行波行
5、波”，场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化；n得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式：波导场方程波导场方程波导场方程波导场方程c2w2em-b2n2 k02-b2b=n(r)k0cosqz2.4 波导场方程波导场方程 11刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系波导场方程的数学物理意义波导场方程的数学物理意义 波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程,其本征值为c或。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”.12刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程
6、系光电子工程系2.5 模式及其基本性质模式及其基本性质 -每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波;-每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件;-模式具有确定的相速群速和横场分布.-模式是波导结构的固有电磁共振属性模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。13刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系n横模n光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横模（表现在光斑
7、形状）的分布是和光波传输区域的横向（xy面）结构相关的； n激光的模式：激光的模式：14刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系光纤中的模式光纤中的模式-横模横模15刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系纵模纵模n相长干涉 条件：2 nLK n纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵模”，纵模是指频率而言的。16刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系模式的场分量模式的场分量n模式场分布由六个场分量唯一决定：Ex Ey Ez Hx Hy HzEr Ef Ez Hr Hf Hz
8、nEz 和 Hz 总是独立满足波导场方程n场的横向分量可由纵向分量来表示17刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系直角坐标系纵横关系式直角坐标系纵横关系式18刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系圆柱坐标系纵横关系式圆柱坐标系纵横关系式19刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系横纵关系式横纵关系式20刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系模式命名模式命名n根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命名为: (1)横电磁模(T
9、EM): EzHz0; (2)横电模(TE): Ez0, Hz0; (3)横磁模(TM): Ez0,Hz0; (4)混杂模(HE或EH):Ez0, Hz0。n 光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出现TE(TM)模。21刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系模式场分布与传播常数模式场分布与传播常数22刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系芯区：c为实数包层：c为纯虚数传播常数传播常数传播常数b ：z方向单位长度位相变化率 波矢量k k的z-分量bk k=n(r)k k0zqzc23刘德明：光纤光学刘德明
10、：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系模式的重要性质模式的重要性质n n 归一化频率归一化频率归一化频率归一化频率V V: : 给定光纤中给定光纤中, ,允许存在的导模由其结构参数所允许存在的导模由其结构参数所 限定。光纤的结构参数可由其归一化频率限定。光纤的结构参数可由其归一化频率V V表征表征: V: V值越大值越大, , 允许存在的导模数就越多。允许存在的导模数就越多。n n 导模的导模的导模的导模的“ “截止截止截止截止” ”: : 除了基模之外除了基模之外, ,其它导模都可能在某一个其它导模都可能在某一个V V值值 以下不允许存在以下不允许存在, , 这时导模转化
11、为辐射模。使某一导模截止这时导模转化为辐射模。使某一导模截止 的的VcVc值称为导模的值称为导模的 截止条件截止条件 。n n 导模的导模的导模的导模的“ “远离截止远离截止远离截止远离截止“ “: : 当导模的本征值当导模的本征值nn1 1k k0 0时时, ,导模场紧紧导模场紧紧 束缚于纤芯中传输束缚于纤芯中传输, ,称之为导模的称之为导模的“ “远离截止远离截止” ”。同样。同样, ,每一个每一个 导模都对应于一合适的导模都对应于一合适的V V值使其远离截止值使其远离截止, ,称之为导模的称之为导模的“ “远远 离截止条件离截止条件 。 24刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华
12、中科技大学光电子工程系光电子工程系横向传播常数横向传播常数25刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系相速度与群速度相速度与群速度 在光纤中在光纤中,Vp,Vp大于光速大于光速c/n1c/n1而而VgVg小于光速小于光速c/n1,c/n1,并有如下关系式并有如下关系式: : V Vp p c/(nc/(n1 1coscosz z ) c /n ) c /n1 1 V Vg g(c/ n(c/ n1 1)cos)cosz z c /n c /n1 1 其中其中zz是波矢是波矢K K与与z z轴夹角。仅当轴夹角。仅当 z z0 0时才有时才有V Vp pV
13、Vg gc/nc/n1 1。 不同的不同的zz角相应于不同的导模角相应于不同的导模, ,对应于不同的相速对应于不同的相速VpVp和群速和群速VgVg。 26刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系群延时与色散群延时与色散27刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系模式的其它特性模式的其它特性28刘德明：光纤光学刘德明：光纤光学华中科技大学华中科技大学光电子工程系光电子工程系课堂测验课堂测验(1)n设计一种光波导结构，其传光波导层为平板形状，设计一种光波导结构，其传光波导层为平板形状，标出折射率结构。标出折射率结构。n从数学上证明，在均匀折射率介质中，光纤轨迹从数学上证明，在均匀折射率介质中，光纤轨迹为直线传播。为直线传播。n如果已经知道光纤中只允许如果已经知道光纤中只允许1个模式存在，能否通个模式存在，能否通过外界激励获得过外界激励获得2个模式传播？个模式传播？n“纵横关系式纵横关系式”有何作用？有何作用？n光场分量的哪一个分量总是独立满足波导场方程光场分量的哪一个分量总是独立满足波导场方程？写出该波导场方程式。？写出该波导场方程式。29
