不等关系与不等式实用教案

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1、主要(zhyo)内容3.比较代数式大小(dxio)的方法2.不等式的性质(xngzh)及其证明4.不等式的应用实例1. 不等关系第1页/共45页第一页，共46页。1. 不等关系(gun x)第2页/共45页第二页，共46页。最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽车限速范围(fnwi)60kmv120km/h第3页/共45页第三页，共46页。问题(wnt)1 设点A与平面M的距离为d，B为平面M上的任意(rny)一点，则d|AB|AMBd第4页/共45页第四页，共46页。问题(wnt)2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场(shchng

2、)调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元. 那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式第5页/共45页第五页，共46页。问题(wnt)3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样(znyng)写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根. 由题意，应有以下的不等关系(gun x)：（1）

3、截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.第6页/共45页第六页，共46页。 要同时满足上述三个不等关系，可以(ky)用下面的不等式组来表示：第7页/共45页第七页，共46页。2.不等式的性质(xngzh)及其证明第8页/共45页第八页，共46页。事实上，实数(shsh)与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数(shsh)比左边的点表示的实数(shsh)大 譬如图中，设点A 表示实数a，点B 表示实数b,点A 在点B 右边(yu bian)，那么ab BAab回忆(huy)两

4、个实数的大小是如何确定的？第9页/共45页第九页，共46页。 从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究(ynji)不等关系的一个出发点. 基本(jbn)事实作差比较法第10页/共45页第十页，共46页。1.不等式的性质(xngzh)性质(xngzh)1如果(rgu)ab,那么ba; 如果(rgu)bb证明：由于ab, 可得a-b0所以 -（a-b）0即b-a0所以 ba.同理可证得：如果bb说明：此性质可称为不等式的自反性第11页/共45页第十一页，共46页。性质(xngzh)2如果(rgu)ab, bc, 那么ac.证明(zhngmng)：由于ab,

5、得a-b0；又bc，得b-c0;所以a-c=(a-b)+(b-c)0即a-c0所以 ac.说明：此性质可称为不等式的传递性。第12页/共45页第十二页，共46页。性质(xngzh)3如果(rgu)ab, 那么a+cb+c证明(zhngmng)：由于ab, 得a-b0；所以（a+c）-（b+c）=a-b0即(a+c)-(b+c)0所以 a+cb+c.说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.第13页/共45页第十三页，共46页。性质(xngzh)4如果(rgu)ab, c0,那么acbc; 证明(zhngmng)：由于ab, 得a-b0；a

6、c-bc=c(a-b)0所以 acbc.说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.如果ab, c0,那么ac0时ac-bc=c(a-b)0所以 acbc.当cb, cd,那么a+cb+d; 证明(zhngmng)：由于ab, 得a-b0又cd,得c-d0；说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0所以 a+cb0, cd0,那么acbd; 证明(zhngmng)：由于ab, 得a-b0,又cd,得c-

7、d0ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d)+d(a-b)说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.所以 ac-bd0即 acbd.由题意知a0,d0, 且c-d0,a-b0第16页/共45页第十六页，共46页。性质(xngzh)7如果(rgu)ab0, 那么anbn(nN,n2); 证明：由于(yuy)ab0, 根据性质6，自乘得；aabb即 a2b2.说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.继续用性质6，可得 a3b3.显然 a2b20,继续下去可得anbn(nN

8、,n2); 第17页/共45页第十七页，共46页。性质(xngzh)8如果(rgu)ab0, 那么 (nN,n2); 证明(zhngmng)：用反证法证明(zhngmng)，假设结论不成立则；说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.则得a=b，与已知ab矛盾若若 则由性质7,两边n次幂得ab矛盾.第18页/共45页第十八页，共46页。证明命题(mng t)的方法简介 在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论题，我们把证明命题的方法分为直接证明(zh ji zhn mn)和间接证明.直接证明(zhngmng)就是由论据按照推理

9、规则直接推出论题的证明(zhngmng). 其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明(zhngmng)理由.直接证明(zhngmng)是最常见的证明(zhngmng)方法.间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实性的证明，就是说，用这种证明方法证明的论题不是由论据按照推理规则直接推得，而是通过间接的方法得到证明的. 间接证明分为反证法和选言证法. 第19页/共45页第十九页，共46页。 直接证明(zhngmng)是相对于间接证明(zhngmng)说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明(zhngmng). 综合法: 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过(jng

10、gu)一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，逐步(zhb)寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法. 第20页/共45页第二十页，共46页。 反证法是属于(shy)“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得. 法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的

11、结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明. 反证法简介(jin ji)第21页/共45页第二十一页，共46页。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导(tudo)出矛盾 结论成立. 反证法的证题模式(msh)第22页/共45页第二十二页，共46页。反证法证明(zhng

12、mng)命题的一般步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反(xingfn)的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确(zhngqu)推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.第23页/共45页第二十三页，共46页。 用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种(y zhn)，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”； 如果结论的方面情况有多种，那么必须(bx)将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种反证法又叫“穷举法”归谬法和穷举法反证法的类型(lixng)第24页/共45页第二十四页，共46页。 在数学解题中经常使用反证

13、法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当(jngdng)的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有： 2. 具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变(gibin)其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆. 1. 命题(mng t)的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题(mng t)；或者否定结论更明显. 反证法的适用范围第25页/共45页第二十五页，共46页。不等式的常见(chn jin)证明方法1.直接证法(zhn f)2. 1）比较法（作差、或作商）3. 2） 综合法4. 3） 分析法5. 4） 其它换元法、放缩法等2.

14、 间接(jin ji)证法 反证法第26页/共45页第二十六页，共46页。例1.如果(rgu)ab0, cb0, 得a-b0,ab0, 又cb 与同时(tngsh)成立的充要条件解答(jid)： ab0一方面，若ab0a0， b0b0， 求求 证证 (qizhng)(qizhng)：a3+b3a2b+ab2a3+b3a2b+ab2即即a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .证明(zhngmng)(zhngmng)一：比较法（作差）（a a3 3+b+b3 3）- -（a a2 2b+abb+ab2 2）= =（a a3 3- a- a2 2b b）+ +（b b3 3-

15、ab-ab2 2）=a=a2 2(a-b)+b(a-b)+b2 2(b-a)(b-a)a0a0，b0b0，( a-b)( a-b)2 2(a+b)0.(a+b)0.故（a a3 3+b+b3 3）- -（a a2 2b+abb+ab2 2）0,0,a+b0a+b0，而( a-b)( a-b)2 20.0.=( a-b)=( a-b)2 2(a+b).(a+b).=(a-b)(a=(a-b)(a2 2-b-b2 2) )第29页/共45页第二十九页，共46页。故故a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .证明(zhngmng)(zhngmng)二：比较法（作商）aa2 2+

16、b+b2 22ab2ab，又a0a0，b0b0，所以(suy)ab0(suy)ab0，第30页/共45页第三十页，共46页。所所以以(suy)(suy)有有a3+b3a2b+ab2.a3+b3a2b+ab2.证明(zhngmng)(zhngmng)三：分析法欲证a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2，只需证明(zhngmng)(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).(zhngmng)(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).由于a0a0，b0b0，所以a+b0a+b0，故只要证明a a2 2+b+b2 2-abab-abab即可。即证明a a2 2+b+b2 22

17、ab.2ab.而a a2 2+b+b2 22ab 2ab 显然是成立的第31页/共45页第三十一页，共46页。即即a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .证明(zhngmng)(zhngmng)四：综合法aa2 2+b+b2 22ab2ab，aa2 2+b+b2 2-abab.-abab.又a0a0，b0b0，a+b0a+b0，故(a+b)(a(a+b)(a2 2+b+b2 2-ab)ab(a+b).-ab)ab(a+b).第32页/共45页第三十二页，共46页。3.比较(bjio)代数式大小的方法第33页/共45页第三十三页，共46页。例3.比较(bjio) 与 的大

18、小 分析：此题属于两个代数式比较大小，可以作差，判断差值正负，从而(cng r)得出两个代数式的大小.当 时，所以当 时，所以2.比较代数式大小(dxio)的方法第34页/共45页第三十四页，共46页。例4.已知 ，比较与 的大小解：作差比较(bjio)因为(yn wi)a0， 所以-a2bn(nN,n2)。所以假设不成立，原结论成立。(nN,n2).。在数学解题中经常使用(shyng)反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。1）比较法（作差、或作商）。故只要证明a2+b2-abab即可。a2+b2-abab.。1).如果ab0，则下列不等式中不成立的是（ ）。谢谢大家观赏第四十六页，共46页。