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1、一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法第五节矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵三、满秩矩阵 第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换第四节我们发现，矩阵经过有限次初等行变换化成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型化成的阶梯型矩阵不唯一，但是与其等价的阶梯型矩阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩阵非零行行数一样，台阶的形状相同。这反映了矩阵什么性质呢？矩阵什么性质呢？1优讲课堂1. k 阶子式阶子式定义定义1 设设在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉称为称为A的一个的一个k 阶子式。阶子式。阶阶行列式行列式，处元素按原相对位置组成的处元素按原相对位
2、置组成的一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念设设，例如例如矩阵矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为所构成的二阶子式为2优讲课堂设设， 共有共有个二阶子式，有个二阶子式，有个三阶子式。个三阶子式。例如例如而为为 A 的一个三阶子式。的一个三阶子式。显然，显然，矩阵矩阵 A 共有共有个个 k 阶子式。阶子式。3优讲课堂2. 矩阵的秩矩阵的秩设，有有r 阶子式不为阶子式不为0 0，任何任何r+1阶阶记作记作R( (A) )或秩或秩( (A) )。 子式子式(如果存在如果存在的话的话)全为全为0 ,定义定义2称称r为矩阵为矩阵A的秩，的秩，
3、二、矩阵秩的二、矩阵秩的求法求法1、子式判别法、子式判别法(定义定义)。 例例1为阶梯形矩阵，为阶梯形矩阵，求R(B)。解解，由于由于二阶子式不为二阶子式不为0， 所以所以 R(B) = 2. .4优讲课堂例例2求R(A)。5解：解：存在一个三阶子式不为存在一个三阶子式不为0，所以所以 R(A) = 3. .A没有没有4阶子式，阶子式，5优讲课堂例如例如一般地，一般地， 行阶梯形矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数台阶数”非零行的行数。非零行的行数。6优讲课堂如果求 a .解解或例例3 设设分析：R（A)3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。7优讲课堂则例例3A有非零的1阶子式，
4、但A所有的2阶子式都为0，所以R（A）=1舍去K=1。得K=-3。分析：R（A)=34,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为零。8优讲课堂2、用初等变换法求矩阵的秩、用初等变换法求矩阵的秩定理定理1 矩阵初等变换不改变矩阵的秩矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即则则注：注：只改变子行列式的符号。只改变子行列式的符号。是是 A 中对应子式的中对应子式的 k 倍。倍。是行列式运算的性质。是行列式运算的性质。第二种求矩阵第二种求矩阵A的秩方法：的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行数，）等于非零行行数，9优讲课堂例例4解解R(A) = 2 ，求10优讲课堂求矩阵求矩阵的秩。的秩。解解所以所以R（A）=
5、2 。例例511优讲课堂例例612优讲课堂Ex1. 求矩阵求矩阵A 的秩，并求的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。解解先求先求A 的秩，对的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：作初等行变换化为行阶梯形：故故R（A）= 3 。13优讲课堂再求再求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。因因R（A）= 3 ，知，知A 的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为 3 阶，阶，返回易计算易计算A 的前三行构成的子式的前三行构成的子式因此这个子式便是因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。的一个最高阶子式。14优讲课堂三、满秩矩阵三、满秩矩阵称称 A 是是满秩阵满秩阵，（，（非奇异
6、矩阵非奇异矩阵）称称 A 是是降秩阵降秩阵，（，（奇异矩阵奇异矩阵）可见可见：A 为为 n 阶方阵时，阶方阵时，定义定义3对于满秩方阵对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：又根据初等阵的作用：每对每对A施行一次初等行变换，施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的由此得到下面的定理定理.定理定理2设设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵是满秩方阵，则存在一系列初等方阵使得使得15优讲课堂例例7A为满秩方阵。为满秩方阵。此过程相当于此过程相当于16优讲课堂17关于秩的一些结论（熟记）：关于
7、秩的一些结论（熟记）：规定：规定： 零矩阵的秩为零矩阵的秩为 0 .(1) 根据行列式的性质，根据行列式的性质，(2) A为mn矩阵, 0 R(A) min m , n .定理定理3 3 R(AB)R(A), R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。设设A是是矩阵，矩阵， B是是矩阵，矩阵，定理定理4 4推论推论1 1 如果如果 A B = 0 则则推论推论2 2 如果如果 R(A)= n, A B = 0 则则 B = 0。推论推论3 3 若若A,B均为均为 矩阵，则矩阵，则17优讲课堂设设A为为n n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n证：证： R（A+E
8、）+ R（ E-A ） R(A+E)-(A-E) =R（2E）=n R（A+E）+R（A-E）n例例8推论推论3 3 若若A,B均为均为 矩阵，则矩阵，则18优讲课堂作业作业P109 1 2 319优讲课堂性质性质1 1证明：证明：因为因为所以所以20优讲课堂定理定理5 5 21优讲课堂22定理 A是一个sn矩阵,如果P是ss可逆矩阵,Q是nn可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)证明:由定理定理2有秩(A)=秩(P-1PA)秩(PA)秩(A)即 秩(A)秩(PA)同理可证秩(A)=秩(AQQ-1）秩(AQ)秩(A) 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)22优讲课堂
