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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 第四章第四章 三角形三角形1 1 认识三角形认识三角形新知新知1 1 三角形的有关概念三角形的有关概念(1) 三角形的概念三角形的概念.由由不不在在同同一一条条直直线上上的的三三条条线段段首首尾尾顺次次相相接接所所组成的成的图形叫做三角形形叫做三角形.说明明：三三条条线段段；不不在在同同一一条条直直线上上；首首尾尾顺次相接次相接. 这三个条件缺一不可三个条件缺一不可.(2) 构成三角形的基本元素构成三角形的基本元素 (如如图411).顶点：三角形中，相点：三角形中，相邻两两线段段的公共端点叫做三角形的的公共端点叫做三角形的顶点，点，三角形有
2、三个三角形有三个顶点，点点，点A，点，点B，点点C.边：组成三角形的三条成三角形的三条线段段叫做三角形的叫做三角形的边，三角形有三条，三角形有三条边，AB，BC，CA.角角：三三角角形形的的内内角角：三三角角形形中中，每每相相邻两两边所所组成成的的角角叫叫三三角角形形的的内内角角；三三角角形形有有三三个个内内角角，ABC，BAC，ACB.(3) 三角形的表示方法三角形的表示方法.三三角角形形可可用用符符号号“”表表示示，三三角角形形ABC可可表表示示为“ABC”，读作作“三三角角形形ABC”. 其其中中直直角角三三角角形形用用“Rt”表示表示.【例例1】如如图412，图中有几个三角形？把它中有
3、几个三角形？把它们表示出来，并写出表示出来，并写出B的的对边.解解 图中的三角形有：中的三角形有：BED，AED，ADC，ABD，ABC；B的的对边有有DE，AD，AC.点点拨 此此题主要考主要考查了三角形的定了三角形的定义，根据三条，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面的平面图形叫做形叫做三角形得出所有三角形是解三角形得出所有三角形是解题关关键.解析解析 根据根据图形直接得出所有形直接得出所有的三角形的三角形进而得出答案而得出答案.举一反三举一反三1. 如如图413所示的所示的图形中共有三角形形中共有三角形( )A. 4个个 B. 5个个 C.
4、6个个 D. 8个个2. 如如图414所示，以所示，以AB为一一边的三角形共有的三角形共有 个个.D33. 如如图415所所示示，在在ABE中中，AE所所对的的角角是是 ，在在ADE中中，AD是是 的的对边，在在ADC中中，AD是是 的的对边.ABEAEDACD新知新知2 2 三角形的三边关系三角形的三边关系(1) 定理：三角形任意两定理：三角形任意两边之和大于第三之和大于第三边.如如图416，上上述述内内容容可可表表示示为abc，bca，acb.理理论根据：两点之根据：两点之间线段最短段最短.(2) 推推论：由由abc，根根据据不不等等式式的的性性质，得得cba. 即三角形任意两即三角形任意
5、两边之差小于第三之差小于第三边.(3) 利利用用三三角角形形三三边的的关关系系，可可以以确确定定在在已已知知两两边的的三三角角形形中中的的第第三三边的的取取值范范围，以以及及判判断断任任意意三三条条线段段能能否构成三角形否构成三角形.【例例2】一一个个三三角角形形的的两两边b4，c7，试确确定定第第三三边a的的范范围. 当当各各边均均为整整数数时，有有几几个个三三角角形形？有有等等腰三角形腰三角形吗？等腰三角形的各？等腰三角形的各边长各是多少？各是多少？解解析析 根根据据三三角角形形的的三三边关关系系“任任意意两两边之之和和大大于于第第三三边，任任意意两两边之之差差小小于于第第三三边”，求求得
6、得第第三三边a的的取取值范范围，即可得出，即可得出结果果.解解 当当一一个个三三角角形形的的两两边b4，c7时，第第三三边a的的范范围为74a74，即，即3a11.当当各各边均均为整整数数时，第第三三边可可能能为：4,5,6,7,8,9,10. 因因此共有此共有7个三角形个三角形.当当a4或或a7时，这个个三三角角形形为等等腰腰三三角角形形.其其各各边长分分别为：4,7,4；4,7,7.举一反三举一反三1. 以下列各以下列各组线段段为边，能，能组成三角形的是成三角形的是( ) A. 2 cm,2 cm,4 cm B. 2 cm,6 cm,3 cmC. 8 cm,6 cm,3 cm D. 11
7、cm,4 cm,6 cm2. 下列下列长度的三条度的三条线段，能段，能组成三角形的是成三角形的是( )A. 4 cm,5 cm,6 cm B. 6 cm,8 cm,15 cmC. 7 cm,5 cm,12 cm D. 3 cm,7 cm,13 cmCA3. 若若三三角角形形中中的的两两边长分分别为9和和2，第第三三边长为偶偶数，求三角形的周数，求三角形的周长.解：解：设第三第三边长为x，则7x11.因因为x为偶数，所以偶数，所以x8或或10.当当x8时，三角形周，三角形周长为92819；当当x10时，三角形周，三角形周长为921021.新知新知3 3 三角形的内角三角形的内角(1) 定定义：三
8、三角角形形中中相相邻两两边组成成的的角角，叫叫做做三三角角形形的内角的内角.(2) 性性质：三角形三个内角的和等于：三角形三个内角的和等于180.注注意意：三三角角形形内内角角和和定定理理的的证明明方方法法很很多多. 证明明的的基基本本思思路路是是通通过添添加加辅助助线，把把三三角角形形的的三三个个内内角角移移到到一一处，组成成一一个个平平角角. 通通过构构造造平平角角 (如如图417所所示示)，构造，构造邻补角角 (如如图417所示所示)，构造同旁内角，构造同旁内角 (如如图417所示所示) 等方法，等方法，实现问题的的转化；化；三三角角形形内内角角和和定定理理的的作作用用：一一是是已已知知
9、三三角角形形中中任任意意两两个个角角的的度度数数可可以以求求出出第第三三个个角角的的度度数数；二二是是已已知知三三角角形形三三个个内内角角的的关关系系，可可以以求求出出其其内内角角度度数数；三三是是求一个三角形中各角之求一个三角形中各角之间的关系的关系.【例例3】如如图418，在在ABC中中，ADBC，AE平分平分BAC，B70，C30.(1) 求求BAE的度数；的度数；(2) 求求DAE的度数；的度数；(3) 探探究究：小小明明认为如如果果只只知知道道BC40，也也能能得得出出DAE的的度度数数？你你认为可可以以吗？若若能能，请你你写写出求解出求解过程；若不能，程；若不能，请说明理由明理由.
10、解解析析 (1) 利利用用三三角角形形的的内内角角和和定定理理求求出出BAC，再再利利用角平分用角平分线定定义求求BAE.(2) 先求出先求出BAD，就可知道，就可知道DAE的度数的度数.(3) 用用B，C表示表示DAE即可即可.解解 (1) 因因为B70，C30，所以所以BAC180703080.因因为AE平分平分BAC，所以，所以BAE40；(2) 因因为ADBC，B70，所以所以BAD90B907020.而而BAE40，所以，所以DAE20；(3) 可以可以. 理由如下：理由如下：因因为AE为角平分角平分线，若若BC40，则DAE20.举一反三举一反三1.1.如如图419，的度数分的度数
11、分别为( )A. 30，50 B. 40，80C. 50，40 D. 60，40C2. 在在 ABC中中 ， ABC 3 4 5， 则 C等等 于于 ( )A. 45 B. 60 C. 75 D. 903. 下列下列说法中正确的是法中正确的是( )A. 三角形的内角中至少有两个三角形的内角中至少有两个锐角角B. 三角形的内角中至少有两个三角形的内角中至少有两个钝角角C. 三角形的内角中至少有一个直角三角形的内角中至少有一个直角D. 三角形的内角中至少有一个三角形的内角中至少有一个钝角角CA新知新知4 4 三角形的分类三角形的分类三角形分三角形分类有两种方法：有两种方法：(1) 按按角角分分类分
12、分为：锐角角三三角角形形、直直角角三三角角形形和和钝角三角形角三角形.(2) 按按边分分类分分为：不不等等边三三角角形形、等等腰腰三三角角形形和和等等边三角形三角形.【例例4】下列下列说法正确的是法正确的是( )A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形一个直角三角形一定不是等腰三角形B. 一个等腰三角形一定不是一个等腰三角形一定不是锐角三角形角三角形C. 一个一个钝角三角形一定不是等腰三角形角三角形一定不是等腰三角形D. 一个等一个等边三角形一定不是三角形一定不是钝角三角形角三角形解解析析 如如等等腰腰直直角角三三角角形形，既既是是直直角角三三角角形形，也也是是等等腰腰三三角角形形，故故A选项错
13、误；如如等等边三三角角形形，既既是是等等腰腰三三角角形形，也也是是锐角角三三角角形形，故故B选项错误；如如顶角角是是120的的等等腰腰三三角角形形，是是钝角角三三角角形形，也也是是等等腰腰三三角角形形，故故C选项错误；一一个个等等边三三角角形形的的三三个个角角都都是是60. 故故D选项正确正确.答案答案 D举一反三举一反三1. 在在ABC中中，ABC2 3 5，则此此三三角角形形按角分按角分类应为 .2. 三角形中最大的内角不能小于三角形中最大的内角不能小于( )A. 60 B. 70 C. 80 D. 90直角三角形直角三角形A3. 下列下列说法正确的是法正确的是( )A. 一一个个钝角角三
14、三角角形形一一定定不不是是等等腰腰三三角角形形，也也不不是是等等边三角形三角形B. 一一个个等等腰腰三三角角形形一一定定是是锐角角三三角角形形，或或直直角角三三角角形形C. 一一个个直直角角三三角角形形一一定定不不是是等等腰腰三三角角形形，也也不不是是等等边三角形三角形D. 一一个个等等边三三角角形形一一定定不不是是钝角角三三角角形形，也也不不是是直直角三角形角三角形D新知新知5 5 三角形的三条重要线段三角形的三条重要线段(1) 三角形的中三角形的中线.在在三三角角形形中中，连接接一一个个顶点点和和它它的的对边中中点点的的线段段叫做三角形的中叫做三角形的中线.说明明：三三角角形形的的中中线是
15、是线段段；它它在在三三角角形形内内；一一个个三三角角形形有有三三条条中中线，它它们交交于于一一点点，且且这一一点点一定在三角形内，称一定在三角形内，称为三角形的重心三角形的重心.(2) 三角形的角平分三角形的角平分线.三三角角形形的的一一个个内内角角的的平平分分线与与这个个角角的的对边相相交交，这个个角角的的顶点点和和交交点点之之间的的线段段叫叫做做三三角角形形的的角角平平分分线.说明明：三三角角形形的的角角平平分分线不不同同于于角角的的平平分分线，前前者者是是线段段，后后者者是是射射线；三三角角形形的的角角平平分分线在在三三角角形形内内部部；一一个个三三角角形形有有三三条条角角平平分分线，它
16、它们交交于于一一点，点，这一点一定在三角形内一点一定在三角形内.(3) 三角形的高三角形的高.从从三三角角形形的的一一个个顶点点向向它它的的对边所所在在的的直直线作作垂垂线，顶点点和和垂垂足足间的的线段段叫叫做做三三角角形形的的高高线，简称称三三角角形形的高的高.说明明：三三角角形形的的高高是是线段段；它它不不一一定定在在三三角角形形的的内内部部；一一个个三三角角形形有有三三条条高高； 在在锐角角三三角角形形中中，三三条条高高在在三三角角形形内内，因因而而交交点点也也在在三三角角形形内内 (如如图4110)；在在直直角角三三角角形形中中，一一条条高高在在三三角角形形内内，另另外外两两条条高高恰
17、恰好好在在三三角角形形的的两两条条直直角角边上上，因因而而交交点点为直直角角顶点点 (如如图4110)；在在钝角角三三角角形形中中，一一条条高高在在三三角角形形内内，另另外外两两条条高高在在三三角角形形外外，三三条条高高的的延延长线交交于于三角形外一点三角形外一点 (如如图4110).【例例5】如如图4111，在在ABC中中E是是BC上上的的一一点点，EC2BE，点点D是是AC的的中中点点，设ABC，ADF，BEF的的面面积分分别为SABC，SADF，SBEF，且且SABC12，则SADFSBEF( )A.1 B. 2 C. 3 D. 4解解析析 本本题需需先先分分别求求出出SABD，SABE
18、，再再根根据据SADFSBEFSABDSABE即可求出即可求出结果果.解解 因因为SABC12，EC2BE，点点D是是AC的中点，的中点，所以所以SABDSABESADFSBEF642.答案答案 B点点拨 本本题主主要要考考查了了三三角角形形的的面面积计算算，在在解解题时要要能能根根据据已已知知条条件件求求出出三三角角形形的的面面积并并对要要求求的的两两个个三三角角形的面形的面积之差之差进行行变化是本化是本题的关的关键.举一反三举一反三1.1.如如 图 4 1 12， BD DE EF FC， 那那 么么ABE的中的中线是是( )A. AD B. AE C. AF D. 以上都是以上都是A2.
19、 如如图4113，AD是是ABC的的高高线，AE是是ABC的的角角 平平 分分 线 ， AF是是 ABC的的 中中 线 ， 图 中中 相相 等等 的的 线 段段 是是 ，相等的角是，相等的角是 .3. 如如图4114，当当 时，AD是是ABC的的中中线；当；当 时，AD是是ABC的角平分的角平分线.BAECAE，ADBADC90BFCFBDCDBADCAD2. (3分分)如如图KT411，若若D，E为ABC的的边AC上上除除A，C以外的任意两点，以外的任意两点，则图中共有三角形中共有三角形 个个.( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7C5. (3分分)如如图KT412，ABC中，中，B
20、O，CO分分别是是ABC，ACB的平分的平分线，A50，则BOC等于等于( ) A. 110 B. 115 C. 120 D. 130B6. (3分分)如如图KT413，在在ABC中中，点点D是是BC上上任任意意一一点点，点点E，F分分别是是AD，CE的的中中点点，且且SBEF4 cm2，则SABC的的值为( )A. 1 cm2 B. 2 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2D7. (6分分)如如图KT414，在在ABC中中，ADBC，AE平平分分BAC，B70，C30. 求求BAE和和DAE的度数的度数.解：因解：因为B70，C30，所以所以BAC180703080，又因又因为AE平
21、分平分BAC，所以，所以BAE40.因因为ADBC，B70，所以所以BAD90B907020.所以所以DAEBAEBAD402020.8. (6分分)(1)在在ABC中中，ABC的的平平分分线与与ACB的的平平分分线相相交交于于点点O，如如图KT415，小小明明经过探探究究发现：BOC90 A，请你你说明理由；明理由；解：解：在在ABC中，中，BOC180OBCOCB，因因为ABC的平分的平分线与与ACB的平分的平分线相交于点相交于点O，所以所以OBC ABC，OCB ACB，所以所以BOC180OBCOCB 180 ABCACB)，因因为ABCACB180A，所以所以BOC180 180A)，所以所以BOC90 A.(2)当当ABC的的平平分分线和和ACB的的外外角角平平分分线相相交交于于点点O，如如图KT415，上上面面结论还成成立立吗？若若成成立立说明明为什么；若不成立，什么；若不成立，请你直接写出新的你直接写出新的结论.解解: 不成立，理由如下：不成立，理由如下：因因为AACDABC2OCD2OBC2(OCDOBC)，OOCDOBC，所以所以2OA，所以所以BOC A.
