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1、第五章矩阵的特征值和特征向量向量的内积和正交化矩阵的特征值与特征向量类似矩阵实对称矩阵的对角化 回想回想:1 向量的内向量的内积积和正交化和正交化推行到推行到实数域数域R R上的上的n n维实向量空向量空间定定义1 1内积内积阐明阐明 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推行，但是没有的推行，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义内积的运算性质内积的运算性质(施瓦兹不等式当当 时上式上式显然成立然成立当当 时，证毕定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量向量长度具有以下性度具有以下性质1非非负性性只需当只需当 时2齐次性次性3三角不等式三角不等式证明：明：根据内
2、根据内积的性的性质有有根据施瓦根据施瓦兹不等式，有不等式，有从而从而即即当当 时，即即定义定义3 3注：零向量与任何向量都正交注：零向量与任何向量都正交.定定义4 4定定义5 5 假假设一非零向量一非零向量组中的向量两两正交，那中的向量两两正交，那么称么称该向量向量组为正交向量正交向量组。定理定理1 1 假设假设 是正交向量是正交向量组，那么该向量组线性无关。组，那么该向量组线性无关。设由于由于对于恣意向量于恣意向量那么那么即即由于由于 是一正交向量是一正交向量组，故当故当 时，因此有因此有又由于又由于所以所以故故 线性无关性无关定义定义6 6 设设n n维向量维向量 是向量空是向量空间间 的
3、一组基，假设的一组基，假设 两两正交，且都是单位向量，那么称其为规范两两正交，且都是单位向量，那么称其为规范正交基。正交基。例如例如 同理可知同理可知基基 正交基正交基 规范正交基范正交基1正交化，取正交化，取 ，2单位化，取位化，取例例1 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组规范正交化规范正交化.解解 先正交化，先正交化，令令施密特正交化过程施密特正交化过程再再单位化，位化， 得得规范正交向量范正交向量组如下如下例例2解解把根底解系正交化，即把根底解系正交化，即为所求令所求令定定义7 7定理定理3 3 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列的列( (行行) )
4、向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交由此可知由此可知A的列向量的列向量组构成构成 的的 一个一个规范正交基。范正交基。同同样的方法，行向量的方法，行向量组也是。也是。例例3 3 判判别以下矩以下矩阵能否能否为正交矩正交矩阵解解 2由于由于所以它是正交矩所以它是正交矩阵定理定理2 2例例3 设都是都是阶正交矩正交矩阵，且，且，求，求 提示：此法提示：此法为 定定义法，利用定理法，利用定理3如何如何证明？明？解解 由由，可知，可知，于是，于是所以所以2 矩矩阵阵的特征的特征值值和特征向量和特征向量该当留意，根据定当留意，根据定义特征向量不能是零向量特征向量不能是零向量给定矩定矩阵A
5、，如何求，如何求A的特征的特征值和特征向量呢？和特征向量呢？设该齐次次线性方程性方程组的解空的解空间为中的任一非零向量都是中的任一非零向量都是 的属于的的属于的 特征向量。特征向量。 称称为关于关于 的的 属于特征属于特征值 的特征子空的特征子空间根据根据齐次次线性方程性方程组有非零解的条件可知，有非零解的条件可知， 中就含有非零解向量中就含有非零解向量 的特征方程的特征方程的特征多的特征多项式式特征多特征多项式展开式展开为 我们知道次复系数多次复系数多项式有式有 个且恰有个且恰有 个个根重根按重数根重根按重数计算，故算，故阶方方阵有有 个复特征个复特征值设 的的 个特征根重根按重数个特征根重
6、根按重数计算算为 那么有那么有将将该式展开，然后与上式比式展开，然后与上式比较系数，即可得：系数，即可得： 从上式可看出：，从上式可看出：，有特征有特征值的充分必要条件是的充分必要条件是 另外从特征另外从特征值的定的定义可知，可知，对角矩角矩阵的特征的特征值就是它的主就是它的主对角角线上上的一切元素的一切元素假设假设 的特征值是的特征值是 ， 是是 的属于的属于 的特征向的特征向量，那么量，那么的特征值是的特征值是是恣意常数是恣意常数)的特征值是的特征值是是正整数是正整数)假设假设 可逆，那么可逆，那么 的特征值的特征值是是的特征值是的特征值是且且 依然是矩阵依然是矩阵 分别对应于分别对应于
7、的特征向量。的特征向量。特征特征特征特征值还值还有如下性有如下性有如下性有如下性质质：？为为x的多项式，那么的多项式，那么 的特征值为的特征值为 (5) 方阵方阵 的属于不同特征值的特征向量线性的属于不同特征值的特征向量线性无关。无关。 (6)矩阵矩阵 和和 的特征值一样。的特征值一样。求特征求特征值、特征向量的步、特征向量的步骤：求齐次线性方程组求齐次线性方程组的一个根底解系的一个根底解系即可求出特征即可求出特征值 ;写出特征方程写出特征方程求其一切的求其一切的 根，根，所以，所以，A的特征值为的特征值为按照同按照同样的方法：的方法：特点：特点：1 是代数方程，复数内有个根，是代数方程，复数
8、内有个根， 有有实有虚。有虚。实根根对应实向量，虚根向量，虚根对应复向量。复向量。(2) 的特征向量只属于一个特征的特征向量只属于一个特征值 ，而而 属于属于 的的 特征向量却有无数更多个。特征向量却有无数更多个。3 类类似矩似矩阵阵矩矩阵的的类似有以下关系：似有以下关系：1反身性；反身性；2对称性；称性；3传送性。送性。矩矩阵类似的性似的性质：4假假设 与与 类似，那么似，那么注：注：1定理定理5的的 条件必要但不充分。条件必要但不充分。2假假设两个矩两个矩阵特征特征值不不 一一样时，那么其一定不，那么其一定不类似。似。3设为他他们的的 某个特征某个特征值，为 关于关于 的特征向量，的特征向
9、量，那么那么 为 的的 关于关于 的特征向量的特征向量.利用上述结论可以很方便地计算矩阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的的多项式多项式 .证明：明：证毕。阐明明 假设假设 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，那么那么 与对角阵类似与对角阵类似推论推论A能否对角化？假设能对角能否对角化？假设能对角例例1所以，所以，A的特征值为的特征值为所以所以 可对角化可对角化.留意留意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应问 为何何值时，矩，矩阵 能能对角化？角化？例例有有2个个线性无关的特征向量性无关的特征向量时，矩矩阵
10、能能对角化。角化。解解例例且且 与与 类似，求似，求 的的值。由于由于 与与 类似，似，所以它所以它们有有 一一样的的 特征特征值2，2，b，解解把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在实际和运用上都有意义。简化，而且在实际和运用上都有意义。1. 由特征由特征值、特征向量求矩、特征向量求矩阵例例2：知方阵：知方阵 的特征值是的特征值是相应的特征向量是相应的特征向量是令令分析：分析：2. 求方求方阵的的幂例例4：设：设 求求解：解：定理定理实对称矩称矩阵的特征的特征值为实数数. .4 实对称矩阵的对角化证明明于是于是证明明它们的重数分别为它
11、们的重数分别为设设 的互不一样的特征值为的互不一样的特征值为又又对应于不同特征于不同特征值的特征向量正交，的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，那么，那么例例 设设求正交矩阵，使求正交矩阵，使-1为对角矩阵。为对角矩阵。解解 显然然A=A。故一定存在正交矩。故一定存在正交矩阵，使，使-1A为对角矩角矩阵。求得一根底解系求得一根底解系为正交化，令正交化，令再再单位化，令位化，令求得一根底解系求得一根底解系为只需一个向量，只需只需一个向量，只需单位化，得位化，得，那么，那么有有例例2设3阶实对称矩称矩阵 的特征的特征值为 对应 的特征向量依次的特征向量依次为求求与与 正交正交 单位化，位化， 得正交得正交阵那那么么解解
