第一章数值分析.误差分析

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1、数数 值值 分分 析析2024/7/21第一章 绪论与误差分析2第一章第一章 绪论与误差分析绪论与误差分析1 1 计算数学研究的对象和内容计算数学研究的对象和内容2 2 误差的来源和分类误差的来源和分类3 3 误差的表示误差的表示4 4 误差的传播误差的传播5 5 算法设计的若干原则算法设计的若干原则2024/7/21第一章 绪论与误差分析3本章内容安排本章内容安排1.1.目的意义目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识差的基本知识2.2.重重 点点：误差来源、误差表示、误差传播：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则及算法设计原则3.3.难

2、难 点：点：有效数字有效数字4.4.内容分配：内容分配： 第第 1 1 次：次：1 1 计算数学研究的对象和内容计算数学研究的对象和内容 2 2 误差的来源和分类误差的来源和分类 第第 2 2 次：次：3 3 误差的表示误差的表示 4 4 误差的传播误差的传播 5 5 算法设计的若干原则算法设计的若干原则2024/7/21第一章 绪论与误差分析41 1 计算数学研究的对象和内容计算数学研究的对象和内容一、计算数学的产生与发展一、计算数学的产生与发展 数值分析数值分析是科学计算数研究领域的一门专业基础课，是科学计算数研究领域的一门专业基础课，是研究科学计算中各种数学问题数值计算方法的基础。是研究

3、科学计算中各种数学问题数值计算方法的基础。科学计算的兴起是二十世纪后半叶最重要的科技进步之科学计算的兴起是二十世纪后半叶最重要的科技进步之一，是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛一，是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新型交叉学科，是数学及计算机实现其在高科技应用的新型交叉学科，是数学及计算机实现其在高科技领域应用的必不可少的纽带和工具。领域应用的必不可少的纽带和工具。 许多重大的科学技术问题根本无法求得理论解，也难许多重大的科学技术问题根本无法求得理论解，也难以应用实验手段解决，但却可以借助于计算机进行计算。以应用实验手段解决，但却可以借助于计算机进行计算。科学计算科学

4、计算与与理论研究理论研究、科学实验科学实验并列，已成为当今世界并列，已成为当今世界科学活动的科学活动的第三种手段第三种手段。2024/7/21第一章 绪论与误差分析5 计算克服了理论分析及实验手段的局限，这是自伽利计算克服了理论分析及实验手段的局限，这是自伽利略、牛顿以来科学方法论的最伟大的进步，推动着科学实略、牛顿以来科学方法论的最伟大的进步，推动着科学实践中一场深刻的不可逆转的变革。践中一场深刻的不可逆转的变革。 在科学和工程的许多领域有了计算才能获得重大的研在科学和工程的许多领域有了计算才能获得重大的研究成果和完成高度复杂的工程设计。科学计算的方法和理究成果和完成高度复杂的工程设计。科学

5、计算的方法和理论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础，论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础，正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。 当前科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到当前科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到“全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟，的数值模拟，发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。 数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算物理、计算力学、计

6、算化学、计算生物、计算经济学等一物理、计算力学、计算化学、计算生物、计算经济学等一系列计算性的分支学科。系列计算性的分支学科。2024/7/21第一章 绪论与误差分析6 今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在，计算今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在，计算数学正是这许多交叉学科的纽带和共同基础。不同的学科、数学正是这许多交叉学科的纽带和共同基础。不同的学科、不同的工程应用会提出不同的实际问题，但他们往往又是不同的工程应用会提出不同的实际问题，但他们往往又是归结为若干类典型的数学问题。归结为若干类典型的数学问题。 不同的计算方法可能是用于解决不同类型的科学问题。不同的计算方法可能是用于解决

7、不同类型的科学问题。一方面要寻找更加有效更能发挥计算机功能的新型算法解一方面要寻找更加有效更能发挥计算机功能的新型算法解决老问题，另一方面，针对科学研究的和工程技术不断提决老问题，另一方面，针对科学研究的和工程技术不断提出的新问题需要设计新的高性能算法。出的新问题需要设计新的高性能算法。 各应用领域对科学计算的需求越来越多，要求越来越各应用领域对科学计算的需求越来越多，要求越来越高，计算机也在不断发展、更新换代，这些都要求不断地高，计算机也在不断发展、更新换代，这些都要求不断地发展计算方法。发展计算方法。 计算方法是科学和工程计算的核心，构造好的计算方计算方法是科学和工程计算的核心，构造好的计

8、算方法与研制高性能计算机及高效率软件同等重要，计算的功法与研制高性能计算机及高效率软件同等重要，计算的功效是计算机工具的能力与计算方法的效率之乘积。效是计算机工具的能力与计算方法的效率之乘积。2024/7/21第一章 绪论与误差分析7 计算数学计算数学一方面是数学一方面是数学，其研究手段包括数学推导、，其研究手段包括数学推导、分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。但分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。但另另一方面一方面，计算数学又有广泛的应用背景，其研究对象往往，计算数学又有广泛的应用背景，其研究对象往往涉及许多其它学科，其研究成果则可以应用于实际计算并涉及许多其它学科，其研

9、究成果则可以应用于实际计算并通常带有数值实验的结果。通常带有数值实验的结果。 推动纯粹数学发展的动力推动纯粹数学发展的动力主要来自自身提出的问题，而主要来自自身提出的问题，而计算数学发展的主要动力计算数学发展的主要动力则来自于解决科学和工程中的计算则来自于解决科学和工程中的计算问题的需要。计算数学的发展离不开计算机，计算方法的改问题的需要。计算数学的发展离不开计算机，计算方法的改进将能使计算机的作用得到充分的发展，而计算数学提出的进将能使计算机的作用得到充分的发展，而计算数学提出的要求也将对计算机的发展与更新换代提供新的推动力。要求也将对计算机的发展与更新换代提供新的推动力。 科学和工程计算的

10、能力与发展水平是一个国家综合国科学和工程计算的能力与发展水平是一个国家综合国力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域，力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域，并以大量资金投入加以支持。美国在此领域长期处于领先并以大量资金投入加以支持。美国在此领域长期处于领先地位，目前有每秒万亿次的计算机用于科学计算。地位，目前有每秒万亿次的计算机用于科学计算。 2024/7/21第一章 绪论与误差分析8二、计算数学研究的对象和任务二、计算数学研究的对象和任务 根根据据数数学学模模型型提提出出的的问问题题，建建立立求求解解问问题题的的数数值值计计算算方方法法并并进进行行方方法法的的理理论论分分

11、析析，再再编编制制出出算算法法程程序序上上机机计计算算并并对对计计算算结结果果进进行行分分析析，这这一一过过程程就就是是计计算算数数学学研研究究的的对对象象和和任任务务。因因此此，计计算算数数学学就就是是研研究究用用计计算算机机解解决决数数学学问问题的数值计算方法及其理论题的数值计算方法及其理论。 计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及其理论其

12、理论, ,具体地说，数值分析研究的内容包括：具体地说，数值分析研究的内容包括： 1.1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法 2.2.分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否可靠，与精确解之差是否很小，以确保计算解的有效性。可靠，与精确解之差是否很小，以确保计算解的有效性。2024/7/21第一章 绪论与误差分析9 3. 3.分析方法的效率。分析比较求解同一问题的各种方分析方法的效率。分析比较求解同一问题的各种方法的计算速度和存储量，以便使用者根据各自的情况采用法的计算速度和存储量，以便使用者根据各

13、自的情况采用高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分析是密切相关不可分割的。析是密切相关不可分割的。 例如：计算例如：计算3 3次多项式次多项式 的函数值的函数值 直接计算需要直接计算需要6 6次乘法，次乘法，3 3次加法。如果作如下改变：次加法。如果作如下改变： 只有只有3 3次乘法，次乘法，3 3次加法。这个算法称作：秦九绍算法。次加法。这个算法称作：秦九绍算法。2024/7/21第一章 绪论与误差分析10 对于给定的数学问题，常常

14、可以提出各种各样的数值对于给定的数学问题，常常可以提出各种各样的数值计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说，一个计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说，一个好的方法应具有如下的特点：好的方法应具有如下的特点： (1). (1).结构简单，易于计算机实现；结构简单，易于计算机实现； (2).(2).有可靠的理论分析，理论上可保证方法的收敛性和有可靠的理论分析，理论上可保证方法的收敛性和数值稳定性；数值稳定性； (3).(3).计算效率高，时间效率高是指计算速度快，节省时计算效率高，时间效率高是指计算速度快，节省时间，空间效率高是指节省存储量；间，空间效率高是指节省存储量； (4).(

15、4).经过数值试验检验，即一个算法除了理论上要满足经过数值试验检验，即一个算法除了理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。 在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外，还要通重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外，还要通过应用数值方法编程计算具体例子，以提高使用各种数值方过应用数值方法编程计算具体例子，以提高使用各种数值方

16、法解决实际问题的能力。法解决实际问题的能力。三、数值分析的学习内容三、数值分析的学习内容1 . 数值逼近数值逼近 (1). 代数插值：代数插值：Lagrange、Newton、Spline插值插值 (2). 最佳逼近：最佳逼近： 最佳一致逼近、最佳平方逼近最佳一致逼近、最佳平方逼近(最小二乘法最小二乘法) (3). 数值微积分：等距节点求积公式、数值微积分：等距节点求积公式、Gauss型求积公式型求积公式2 . 数值代数数值代数 (1). 线性方程组求解线性方程组求解 (2). 矩阵的特征值、特征向量计算矩阵的特征值、特征向量计算 (3). 非线性方程求根、非线性方程组求解非线性方程求根、非线

17、性方程组求解3 . 微分方程求解微分方程求解 (1). 常微分方程数值解：欧拉折线法和龙格库塔法常微分方程数值解：欧拉折线法和龙格库塔法 (2). 偏微分方程数值解偏微分方程数值解 ：差分法、有限元法：差分法、有限元法 2024/7/21第一章 绪论与误差分析12四、学习要求四、学习要求1.1.掌握构造算法的基本思想和方法掌握构造算法的基本思想和方法 2.2.掌握解决常见问题的基本算法掌握解决常见问题的基本算法 3.3.重视算法的误差分析、收敛性分析和稳定性分析重视算法的误差分析、收敛性分析和稳定性分析 4.4.注重在计算机上实现算法并用于解决实际计算问题注重在计算机上实现算法并用于解决实际计

18、算问题五、计算实习报告写法五、计算实习报告写法 1.1.实习题目实习题目 2. 2. 班级姓名班级姓名 3. 3.目的意义目的意义 4. 4. 数学模型（数学公式）数学模型（数学公式） 5. 5.算法算法 6.6.（流程图）（流程图） 程序程序 7. 7.数值算例数值算例 8. 8. 对计算结果进行分析评价对计算结果进行分析评价 9. 9.参考文献参考文献2024/7/21第一章 绪论与误差分析132 2 误差的来源和分类误差的来源和分类 在科学和工程计算中在科学和工程计算中, ,估计计算结果的精确度是十分重要估计计算结果的精确度是十分重要的的, ,而影响精确度的是各种各样的误差。而影响精确度

19、的是各种各样的误差。所谓误差所谓误差就是一个就是一个物理量的真实值与近似值之间的差。误差按照它们的来源物理量的真实值与近似值之间的差。误差按照它们的来源可分为可分为模型误差模型误差、观测误差观测误差、截断误差截断误差和和舍入误差舍入误差四种。四种。1.1.模型误差模型误差 在在建建立立数数学学模模型型时时，往往往往要要忽忽略略许许多多次次要要因因素素，由由此此而而产生的误差称为模型误差。如忽略空气阻力、摩擦力等。产生的误差称为模型误差。如忽略空气阻力、摩擦力等。2.2.观测误差观测误差 数学模型中包含的一些物理参数，它们的值往往是通数学模型中包含的一些物理参数，它们的值往往是通过观测和试验得到

20、的，难免带有误差。这种观测数据与实过观测和试验得到的，难免带有误差。这种观测数据与实际数据之间的误差称为观测误差。如单摆运动的绳长际数据之间的误差称为观测误差。如单摆运动的绳长 l 及及重力加速度重力加速度 g等。等。2024/7/21第一章 绪论与误差分析14那么此近似公式的截断误差为那么此近似公式的截断误差为 求解数学模型所用的数值方法一般是一种近似方法，求解数学模型所用的数值方法一般是一种近似方法，只能得到数学模型的近似解。这种因近似方法的使用所产只能得到数学模型的近似解。这种因近似方法的使用所产生的误差称为截断误差或方法误差。例如，利用生的误差称为截断误差或方法误差。例如，利用Tayl

21、or公公式，函数式，函数ex 可表示为可表示为对给定的对给定的 x ，要计算函数值，要计算函数值 ex 时，可采用近似公式时，可采用近似公式3.3.截断误差（方法误差）截断误差（方法误差）2024/7/21第一章 绪论与误差分析15 由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差或计算误差。或计算误差。 4舍入误差（计算误差）舍入误差（计算误差）这里所

22、产生的误差就是计算舍入误差。这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，主要研究不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差截断误差和和舍入误舍入误差差对计算结果的影响。对计算结果的影响。这个结果是不准确的，准确的结果应是这个结果是不准确的，准确的结果应是例如，在十进制十位的限制下，会出现例如，在十进制十位的限制下，会出现(1.000002)2-1.000004=0(1.000002)2-1.000004=1.000004000004-1.000004=410-122024/7/21第一

23、章 绪论与误差分析16例例1.11.1求单摆角的变化规律求单摆角的变化规律解：解：(1).(1).建模：根据建模：根据Newton定律得到定律得到 (2). 测量测量 l 、g 的值的值 (3). 模型求解模型求解 ，令，令 得到：得到：再再 令令 得到得到解得：解得： (t)=Acos t+Bsin t非线性微分方程非线性微分方程(*)(*)的求解也可以采用数值解法。的求解也可以采用数值解法。2024/7/21第一章 绪论与误差分析17 以上内容介绍了误差的来源及分类，误差有四类：以上内容介绍了误差的来源及分类，误差有四类： （1）. 模型误差模型误差 （2）. 观测误差观测误差 （3）.

24、方法误差（截断误差）方法误差（截断误差） （4）. 计算误差（舍入误差）计算误差（舍入误差） 知道了误差产生的根源，在进行理论分析时，需要将知道了误差产生的根源，在进行理论分析时，需要将误差量化，以便于推理分析，因此下面我们将引入误差的误差量化，以便于推理分析，因此下面我们将引入误差的表示式。表示式。2024/7/21第一章 绪论与误差分析18 例如，例如，x=1.414 通常作为通常作为 无理数无理数 的一个近似值，的一个近似值，它的绝对误差是它的绝对误差是 。3 3 误差的表示误差的表示一、绝对误差一、绝对误差 如果存在如果存在使得使得|e|=|x-x*|, ,则称则称其为绝对误差限。其为

25、绝对误差限。例如：例如： 定义定义1.11.1 设设x 是精确值，是精确值，x* 是是x 的一个近似值的一个近似值 。记。记则称其为近似值则称其为近似值 x* 的绝对误差，简称误差。的绝对误差，简称误差。 e =x - x*2024/7/21第一章 绪论与误差分析19 用用绝绝对对误误差差来来刻刻画画近近似似值值的的精精确确程程度度是是有有限限的的，因因为为它它没没有有反反映映出出它它相相对对于于精精确确值值的的大大小小或或它它占占精精确确值值的的比比例。例如两个数例。例如两个数 x 、 y 与它们的近似值与它们的近似值 x* 、 y *分别为分别为则有误差限则有误差限虽然虽然y是是x 的的3

26、 3倍，但在倍，但在10001000内差内差3 3显然比显然比1010内差内差1 1更精确更精确些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差来比较这两个近似数的准确度。来比较这两个近似数的准确度。二、相对误差二、相对误差x=10, x*=101; y=1000, y*=1000 3|x-x*|1= x , | y-y*|3 =y .2024/7/21第一章 绪论与误差分析20则称其为近似值则称其为近似值 x *的相对误差。的相对误差。定义定义1 .

27、2 记记如果如果由于由于 x 未知未知， 实际使用时总是将实际使用时总是将 x * 的相对误差取为的相对误差取为则称则称 为为 x* 的相对误差限的相对误差限。的相对误差限分别为的相对误差限分别为可见，测量值可见，测量值 y 比比 x 精确精确。这时这时 x=10, x*=101; y=1000, y*=1000 3.2024/7/21第一章 绪论与误差分析21 例例1-2 1-2 设设 x*=2.18是由精确值是由精确值x 经过四舍五入得到的经过四舍五入得到的近似值。问近似值。问 x的绝对误差限的绝对误差限和相对误差限和相对误差限各是多少？各是多少？解：因为解：因为 x=x * 0.005

28、， 关于近似数误差的大小除了用绝对误差、相对误差度关于近似数误差的大小除了用绝对误差、相对误差度量以外，还可以用有效数字度量，下面给出有效数字的概量以外，还可以用有效数字度量，下面给出有效数字的概念。念。 所以绝对误差限为所以绝对误差限为=0.005相对误差限为相对误差限为2024/7/21第一章 绪论与误差分析22三、有效数字三、有效数字一个数的近似数往往是通过四舍五入的原则求得，例如一个数的近似数往往是通过四舍五入的原则求得，例如取以下近似数取以下近似数 可可以以发发现现每每一一个个近近似似数数的的绝绝对对误误差差限限都都不不超超过过近近似似数数末末尾尾数数的的半半个个单单位位。如如果果一

29、一个个近近似似数数满满足足这这个个条条件件，就就把把这这个个近近似似数数从从末末尾尾到到第第一一位位非非零零数数字字之之间间的的所所有有数数字字叫叫做做有效数字有效数字。则分别得到这些近似数的绝对误差则分别得到这些近似数的绝对误差2024/7/21第一章 绪论与误差分析23则称近似数则称近似数 x* 具有具有 n 位位有效数字有效数字。定义定义1.3 设数设数 x 的近似值可以表示为的近似值可以表示为其中其中 m 是整数是整数,i (i=1,2, , n) 是是0到到9 中的一个数中的一个数字，而字，而1 0. 如果其绝对误差限为如果其绝对误差限为例如近似数例如近似数 x*=2.0004 ，其

30、绝对误差限为其绝对误差限为由科学计数法由科学计数法 x* = 0.20004101 得到得到故，该近似数有五位有效数字。故，该近似数有五位有效数字。2024/7/21第一章 绪论与误差分析24 例例1-3 1-3 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：判定它们各有几位有效数字： 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。也可以通过绝对误差限来判断。有有5 5位有效数字。同理可以写出位有效数字。同理可以写出可以得出可以得出 x2 , x3 , x4

31、 各具有各具有4、3、4 位有效数字位有效数字。 x1* =87540，x2*=875410, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 10-2已知已知2024/7/21第一章 绪论与误差分析25 例例1-4 已知已知 e =2.718281828, 试判断下面两个近似试判断下面两个近似数各有几位有效数字数各有几位有效数字？解解：由于：由于而而所以所以 e1有有7 7位有效数字位有效数字。同理：。同理：e2 只有只有6 6位有效数字位有效数字。2024/7/21第一章 绪论与误差分析26三、绝对误差、相对误差、有效数字的关系三、绝对误差、相对误差、有效数字的关系2 2、绝对误差与有效

32、数字的关系、绝对误差与有效数字的关系得到：得到：1 1、绝对误差与相对误差的关系、绝对误差与相对误差的关系 可以知道：有效数字位数可以知道：有效数字位数越多越多，绝对误差绝对误差限限越小越小。由关系式：由关系式：2024/7/21第一章 绪论与误差分析273 3、相对误差与有效数字的关系、相对误差与有效数字的关系由近似数由近似数得到相对误差限得到相对误差限 可以看出：有效数字位数可以看出：有效数字位数越多越多，相对误差相对误差限限越小越小。及及2024/7/21第一章 绪论与误差分析28 解解：由于：由于 ，则近似值，则近似值 x* 可写为可写为 例例 1-5为了使为了使 的近似值的相对误差小

33、于的近似值的相对误差小于 10-3，问应取几位有效数字？问应取几位有效数字？ 根据根据只要只要即可即可。解得：解得：n4 ， 故只要取故只要取 n=4 , 就可满足要求。就可满足要求。即应取即应取 4 4 位有效数字位有效数字，准确数为准确数为：此时此时 x =4.472 .2024/7/21第一章 绪论与误差分析29 练练习习1.1: 判判断断下下列列近近似似数数个个有有几几位位有有效效数数字字，用用绝绝对误差限表示。对误差限表示。注意注意：精确值的有效数字可以认为有无限多位。如：精确值的有效数字可以认为有无限多位。如：x1*=24.67x2*=385010 3x3*=0.674210 -2

34、x4*=0.000374x5*=0.84002024/7/21第一章 绪论与误差分析304 4误差的传播误差的传播 当当我我们们在在计计算算函函数数值值时时，由由于于自自变变量量的的值值往往往往带带有有误误差差，这这样样便便会会使使函函数数值值产产生生一一定定的的误误差差，这这时时，也也需需要要对对这种误差做出估计。这种误差做出估计。 对对于于n元元函函数数：y = f( x1 , x2 , xn )，若若 x1*, x2*, xn* 为为的的 x1 , x2 , xn 近近似似值值，则则由由Taylor 展展式得到绝对误差估计的近似式：式得到绝对误差估计的近似式：e(y) = f( x1 ,

35、 x2 , xn )-f(x1*, x2*, xn* )2024/7/21第一章 绪论与误差分析31即绝对误差为即绝对误差为：此时，得相对误差为：此时，得相对误差为：例如：对于一元函数例如：对于一元函数 y= f(x)其中，其中，2024/7/21第一章 绪论与误差分析32 例例 1-6 测得直角三角形的斜边测得直角三角形的斜边 c 及一直角边及一直角边 a 的近的近似值为似值为c*=75cm,a*=32cm，而且测量误差为而且测量误差为如果计算边如果计算边 a 对应的角对应的角 A 时会产生多大的误差？时会产生多大的误差？解：由解：由a=c sinA得到得到则由绝对误差估计式：则由绝对误差估

36、计式：及及2024/7/21第一章 绪论与误差分析33于是：于是：从而：从而：即即，由由于于对对边边的的测测量量产产生生的的误误差差，影影响响到到角角的的计计算算将将产生产生9 9分的误差。分的误差。2024/7/21第一章 绪论与误差分析34 例例 1-7 周长为周长为 10cm 的圆，在计算面积时，欲使其误的圆，在计算面积时，欲使其误差不差不 超过超过0.1 cm2， 问测量半径时误差应控制在什么范问测量半径时误差应控制在什么范围以内？围以内？解：首先给出面积的计算公式解：首先给出面积的计算公式其绝对误差为其绝对误差为于是于是应有应有e(s)= s (r) e(r)= 2r e(r)202

37、4/7/21第一章 绪论与误差分析355 算法设计的若干原则算法设计的若干原则 在在计计算算机机上上进进行行数数值值运运算算时时，由由于于计计算算机机的的字字长长有有限限，只只能能保保留留有有限限位位有有效效数数字字，因因而而每每一一步步计计算算都都可可能能产产生生误误差差，比比如如计计算算舍舍入入误误差差。在在反反复复多多次次的的计计算算过过程程中中，将将产产生生误误差差的的传传播播和和积积累累。当当误误差差积积累累过过大大时时，会会导导致致计计算算结结果果失失真真。因因而而，为为减减少少舍舍入入误误差差的的影影响响，设设计算法时应遵循如下一些原则。计算法时应遵循如下一些原则。一、避免两个相

38、近的数相减一、避免两个相近的数相减 在在数数值值计计算算中中，两两个个相相近近的的数数相相减减会会使使有有效效数数字字受受到损失，有效数位减少。例如到损失，有效数位减少。例如都有四位有效数字，都有四位有效数字， 但但 x-y=0.005 却仅有一位有效数字。却仅有一位有效数字。x=5.143 , y=5.1382024/7/21第一章 绪论与误差分析36事实上，如果事实上，如果 x、y 的近似值分别的近似值分别为为 x*、y* ，则两数的则两数的差为：差为：z= x-y, z* = x* - y*.可可见见，当当 x*与与y* 非非常常接接近近时时， x* - y* 作作为为 x-y 的的近近

39、似似值值其相对误差有可能很大。其相对误差有可能很大。2024/7/21第一章 绪论与误差分析37当当 x 接近零时，可有接近零时，可有当当 x 0 很大时，可有很大时，可有如果找不到适当方法，可考虑在计算机上采用双倍字长计如果找不到适当方法，可考虑在计算机上采用双倍字长计算，以增加有效数字，提高精度。算，以增加有效数字，提高精度。 在在数数值值计计算算中中，如如果果遇遇到到两两个个近近似似的的数数相相减减运运算算，可考虑能否改变一下算法以避免两数相减。例如：可考虑能否改变一下算法以避免两数相减。例如： 当当 x1 x2 接近时，可有接近时，可有2024/7/21第一章 绪论与误差分析38 例如

40、，在八位十进制计算机上计算例如，在八位十进制计算机上计算 A=63281312+0.1+0. 9二二. . 防止大数防止大数“吃掉吃掉”小数小数 参加计算的数，有时数量级相差很大，如果不注意采取参加计算的数，有时数量级相差很大，如果不注意采取相应措施，在它们的加、减法运算中，绝对值很小的数往往相应措施，在它们的加、减法运算中，绝对值很小的数往往被绝对值较大的数被绝对值较大的数“吃掉吃掉”，不能发挥其作用，造成计算结，不能发挥其作用，造成计算结果失真。果失真。此时，按照加法浮点运算的对阶规则，应有此时，按照加法浮点运算的对阶规则，应有 由于计算机只能存放八位十进制数，上式中后两个数在计由于计算机

41、只能存放八位十进制数，上式中后两个数在计算机上变成算机上变成“机器零机器零”，计算结果为，计算结果为A=0.63281312108+0.000000001108+0.000000009108A= 0.63281312108 = 63281312即相对小数即相对小数0.1和和0.9已被大数已被大数63281312吃掉吃掉,计算结果失真。计算结果失真。2024/7/21第一章 绪论与误差分析39 一一般般情情况况下下：当当一一组组数数进进行行相相加加运运算算时时，应应按按照照由由小到大的次序小到大的次序进行相加。进行相加。 如果改变计算次序，现将两个小数相加得到整数如果改变计算次序，现将两个小数相

42、加得到整数1 1，再，再进行整数加法运算，就可以比避免上述现象。此时进行整数加法运算，就可以比避免上述现象。此时 A=(0.1+0.9) + 63281312=1 + 63281312=632813132024/7/21第一章 绪论与误差分析40三三. . 绝对值太小的数不宜作除数绝对值太小的数不宜作除数 在在计计算算过过程程中中，用用绝绝对对值值很很小小的的数数作作除除数数会会使使商商的的数量级增加。假设数量级增加。假设 x 、 y 的近似值分别是的近似值分别是 x *、 y* ，则则 的近似值是的近似值是可见，当可见，当|y| 很小时，很小时， z 的绝对误差可能很大。的绝对误差可能很大。

43、 此外，当商过大时，或者其数值超出计算机表示的此外，当商过大时，或者其数值超出计算机表示的范围而范围而引发引发“溢出溢出”现象现象，或者作为一个大数它将吃掉，或者作为一个大数它将吃掉参与运算的一些小数。参与运算的一些小数。2024/7/21第一章 绪论与误差分析41的值。如果采用逐项计算然后相加的算法：的值。如果采用逐项计算然后相加的算法：四四. .注意简化计算程序，减少计算次数注意简化计算程序，减少计算次数 同一个问题的计算，可以有不同的计算方法。若方法同一个问题的计算，可以有不同的计算方法。若方法选取得当能减少计算次数，则不仅可提高计算速度，也可选取得当能减少计算次数，则不仅可提高计算速度

44、，也可减少误差积累。例如，对给定的，计算多项式减少误差积累。例如，对给定的，计算多项式所需的乘法次数为所需的乘法次数为 加法次数为加法次数为 n 次次。 2024/7/21第一章 绪论与误差分析42如果把如果把 pn(x) 改写为改写为采用如下算法：秦九韶算法采用如下算法：秦九韶算法这时，只有这时，只有 n 次乘法，加法次数为次乘法，加法次数为 n 次次。 2024/7/21第一章 绪论与误差分析43五、选用数值稳定性好的算法五、选用数值稳定性好的算法利用分部积分法可得到递推公式利用分部积分法可得到递推公式如果求得初始值的近似值如果求得初始值的近似值 一种数值算法，如果其计算舍入误差积累是可控

45、制的，一种数值算法，如果其计算舍入误差积累是可控制的，则称其为数值稳定的，反之称为数值不稳定的。数值不稳则称其为数值稳定的，反之称为数值不稳定的。数值不稳定的算法没有实用价值。考虑积分计算定的算法没有实用价值。考虑积分计算则可求得所有积分的近似值：则可求得所有积分的近似值：2024/7/21第一章 绪论与误差分析44并且得到误差为：并且得到误差为：如果按照此算法计算，当如果按照此算法计算，当n=20时，误差将会很大，因此时，误差将会很大，因此该方法需要改进。将积分递推式该方法需要改进。将积分递推式改写如下改写如下：再估计第一项再估计第一项根据根据2024/7/21第一章 绪论与误差分析45可得

46、可得取取这时的误差为：这时的误差为：于是得到改变后的算法于是得到改变后的算法当当n=20，19，1，0 时，误差将会越来越小。因此改时，误差将会越来越小。因此改进后的算法是一个稳定的算法。进后的算法是一个稳定的算法。2024/7/21第一章 绪论与误差分析46 习习 题题 一一 1-1 1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值。试分别下列各数都是经过四舍五入得到的近似值。试分别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。 a=0.0315, b=0.3015, c=31.50, d=5000 1-2 下列近似值的绝对误差限都是下列近似

47、值的绝对误差限都是0.005, a=-1.00031 , b=0.042 , c=-0.00032试指出它们有几位有效数字。试指出它们有几位有效数字。 1-3 为了使为了使 的近似值的相对误差小于的近似值的相对误差小于0.01%，试，试问应取几位有效数字？问应取几位有效数字？ 1-4 求方程求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四位的两个根，使它们至少具有四位有效数字有效数字 2024/7/21第一章 绪论与误差分析47 1-6 设设 ,假定假定 g 是精确的，而对时间是精确的，而对时间 t 的测的测量有量有 0.1s 的误差。证明：当的误差。证明：当t 增大时增大时，S 的绝

48、对误差的绝对误差增大而相对误差减小增大而相对误差减小. .1-5 若取若取 及初始值及初始值 y0=28 ,按递推公式按递推公式 计算计算 y100，试估计试估计y100 有多大误差有多大误差。2024/7/21第一章 绪论与误差分析48（一）中国科学计算的发展状况（一）中国科学计算的发展状况 我国在我国在19561956年制定科学规划时已将计算数学列为重点年制定科学规划时已将计算数学列为重点, ,从从5050年代末我国有了电子计算机以来，科学计算一直处于计年代末我国有了电子计算机以来，科学计算一直处于计算及应用的主导地位。算及应用的主导地位。19911991年年“大规模科学与工程计算的方大规

49、模科学与工程计算的方法和理论法和理论”被列入首批国家基础研究重大关键项目即被列入首批国家基础研究重大关键项目即“攀登攀登计划计划”项目。项目。19971997年这一项目又被国家列入年这一项目又被国家列入“九五九五”“攀登攀登计划计划”预选项目。预选项目。19991999年年“大规模科学计算研究大规模科学计算研究”被列入被列入“国家重点基础研究发展规划国家重点基础研究发展规划”，即，即“973973”项目。项目。 大规模科学计算问题大规模科学计算问题是当今国家急待解决的重要问题之是当今国家急待解决的重要问题之一，例如，我国生态环境先天脆弱，水土流失、污染严重，一，例如，我国生态环境先天脆弱，水土

50、流失、污染严重，经常蒙受多种自然灾害，如长江流域严重洪灾等等。加强经常蒙受多种自然灾害，如长江流域严重洪灾等等。加强大气、海洋和环境的数值模拟和预测，将可找到更多有效大气、海洋和环境的数值模拟和预测，将可找到更多有效的措施减灾防灾。的措施减灾防灾。附附 录：录：2024/7/21第一章 绪论与误差分析49 在高技术与基础工业中也有许多急待解决的复杂流动在高技术与基础工业中也有许多急待解决的复杂流动和控制的计算问题。又如，石油勘探开发是高风险产业，和控制的计算问题。又如，石油勘探开发是高风险产业，需要精细了解地下结构、确定油藏规模，定量掌握地下油需要精细了解地下结构、确定油藏规模，定量掌握地下油

51、气流动过程，以制定合理的开发方案。计算将节省数以亿气流动过程，以制定合理的开发方案。计算将节省数以亿计的经费，形成强有力的高新技术，转化为巨大的生产力。计的经费，形成强有力的高新技术，转化为巨大的生产力。在其他许多领域都存在着同样的例子。在其他许多领域都存在着同样的例子。 在计算数学与科学工程计算研究领域，我国学者做出在计算数学与科学工程计算研究领域，我国学者做出了许多杰出的贡献，他们不仅为我国科学计算和工程计算了许多杰出的贡献，他们不仅为我国科学计算和工程计算的众多实际问题提供了许多有效的算法，进行了大量有实的众多实际问题提供了许多有效的算法，进行了大量有实际应用价值的计算，而且极大的丰富了

52、计算数学的理论宝际应用价值的计算，而且极大的丰富了计算数学的理论宝库，有一批成果还在国际上有很高的地位，使我国计算数库，有一批成果还在国际上有很高的地位，使我国计算数学和科学工程计算领域在国际上占有重要的一席之地。学和科学工程计算领域在国际上占有重要的一席之地。2024/7/21第一章 绪论与误差分析50 从从5050年代开始，我国形成了一支活跃的、高水平的计年代开始，我国形成了一支活跃的、高水平的计算数学与科学工程计算研究队伍，分布在中国科学院、高算数学与科学工程计算研究队伍，分布在中国科学院、高等院校和各产业部门。近半个世纪来，这支队伍在中国计等院校和各产业部门。近半个世纪来，这支队伍在中

53、国计算机硬件设备长期落后于国际先进水平的条件下，发挥着算机硬件设备长期落后于国际先进水平的条件下，发挥着自己的智力优势，创造性的解决了国家经济和国防建设中自己的智力优势，创造性的解决了国家经济和国防建设中的许多问题，为原子弹氢弹的研制、人造卫星上天、远程的许多问题，为原子弹氢弹的研制、人造卫星上天、远程运载火箭的发射以及在石油勘探、气象预报、机械制造、运载火箭的发射以及在石油勘探、气象预报、机械制造、水利工程、土木建筑、生态环境、生化医学等许多领域做水利工程、土木建筑、生态环境、生化医学等许多领域做出了贡献。出了贡献。 例如核武器的研制只靠试验和理论不能完全解决问题，例如核武器的研制只靠试验和

54、理论不能完全解决问题，做一次试验便要付出非常巨大的代价，必须采用计算的方做一次试验便要付出非常巨大的代价，必须采用计算的方法。计算数学工作者对我国成功地独立自主开发核武器做法。计算数学工作者对我国成功地独立自主开发核武器做出了历史性的贡献。出了历史性的贡献。2024/7/21第一章 绪论与误差分析51 又如我国独立于西方创始了又如我国独立于西方创始了有限元方法有限元方法，这一方法特，这一方法特别适用于大型工程计算，早已转化为生产力。它在水坝、别适用于大型工程计算，早已转化为生产力。它在水坝、桥梁、飞机、船舶的设计、油田开发和核武器研制等方面桥梁、飞机、船舶的设计、油田开发和核武器研制等方面得到

55、了广泛应用，为国民经济和国防建设做出了突出的贡得到了广泛应用，为国民经济和国防建设做出了突出的贡献，再如在我国导弹与航天技术研究方面，也正是计算数献，再如在我国导弹与航天技术研究方面，也正是计算数学工作者对飞行器头部气动力和烧蚀、飞行控制和结构分学工作者对飞行器头部气动力和烧蚀、飞行控制和结构分析等问题发展了一系列有效算法，较好的解决了计算问题，析等问题发展了一系列有效算法，较好的解决了计算问题，在技术上满足了航天事业发展的需要。在技术上满足了航天事业发展的需要。 近年来科学计算在大气海洋环境科学的研究中也取得近年来科学计算在大气海洋环境科学的研究中也取得了令人瞩目的成绩。由于应用了辛几何格式

56、、平方守恒了令人瞩目的成绩。由于应用了辛几何格式、平方守恒格式以及并行计算等技术，其数值模拟的效果获得了大格式以及并行计算等技术，其数值模拟的效果获得了大幅度的提高。幅度的提高。2024/7/21第一章 绪论与误差分析52（二）中国的计算数学工作者介绍（二）中国的计算数学工作者介绍 4040余年，我国的计算数学家取得了许多既有国际领余年，我国的计算数学家取得了许多既有国际领先的理论水平、又有非常广阔的应用前景的研究成果，先的理论水平、又有非常广阔的应用前景的研究成果，开辟了一些新的研究方向，为世界计算数学的发展做出开辟了一些新的研究方向，为世界计算数学的发展做出了创造性的贡献，其中冯康院士优其

57、成绩卓著了创造性的贡献，其中冯康院士优其成绩卓著. . 冯康冯康等独立于西方创始的等独立于西方创始的有限元方法有限元方法是当代计算数学是当代计算数学和科学工程计算的一项重大成就。它形成了标准的算法形和科学工程计算的一项重大成就。它形成了标准的算法形态，编制了通用的有限元程序，及时解决了许多重大的计态，编制了通用的有限元程序，及时解决了许多重大的计算问题。有限元的创始是当代计算方法进展的一个里程碑，算问题。有限元的创始是当代计算方法进展的一个里程碑，意义重大、影响深远，近意义重大、影响深远，近4040年来这一方法已发展成为一个年来这一方法已发展成为一个独立的学科分支，在科学和工程计算及其广泛的领

58、域得到独立的学科分支，在科学和工程计算及其广泛的领域得到重要应用。重要应用。2024/7/21第一章 绪论与误差分析53 除了冯康院士的杰出贡献外，还有周毓麟、石钟慈、除了冯康院士的杰出贡献外，还有周毓麟、石钟慈、林群、陈传淼、朱起定、吕涛、应隆安、郭本瑜、余德林群、陈传淼、朱起定、吕涛、应隆安、郭本瑜、余德浩、韩厚德、周天孝、袁益让、孙家昶等大批科学家都浩、韩厚德、周天孝、袁益让、孙家昶等大批科学家都在计算数学的不同领域做出了巨大的贡献。在计算数学的不同领域做出了巨大的贡献。（三）（三）计算机解决实际问题的步骤计算机解决实际问题的步骤 利用电子计算机解决实际问题并进行科学计算，其利用电子计算

59、机解决实际问题并进行科学计算，其基本过程如下：基本过程如下：实际实际问题问题数学数学建模建模算法算法构造构造程序程序设计设计上机计算上机计算解决问题解决问题 其中其中算法构造算法构造、程序设计程序设计两步是本学科主要解决的问两步是本学科主要解决的问题。题。2024/7/21第一章 绪论与误差分析54 例例1.11.1：在一天：在一天2424小时内，从零点开始每隔小时内，从零点开始每隔2 2小时测得小时测得环境温度数据分别为环境温度数据分别为(): (): 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,1312,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13试推测中午试推测中午1 1点（即点（即1313点）时的温度。点）时的温度。 该问题是只知道在偶数点该问题是只知道在偶数点0 0，2 2， 4 4，6 6，8 8，1010，1212，1414，1616，1818，2020，2222，24 24 的温度值，如何计算在其它点的温度值，如何计算在其它点的温度，需要构造算法，再进行计算。的温度，需要构造算法，再进行计算。 最简单的算法就是代数插值：可以用拉格朗日、三最简单的算法就是代数插值：可以用拉格朗日、三次样条、分段线性等插值方法计算。次样条、分段线性等插值方法计算。