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1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 在过去的学习中我们已经掌握了一在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标地得出坐标x,y所要适合的条件，即参所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)0。1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面5
2、00m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时时机呢？时时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点1、参数方程的概念：、参数方程的概念：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反
3、方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？AxyoM(x,y)5001、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的
4、地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？AxyoM(x,y)500三、三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对 （x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。一、一、方程组有方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量表示点的坐标，变量t叫叫 做参变量，而且做参变量，而且x,y分别是分别是t的函数。的函数。二、二、由物理知识可知，物体的位置由时间由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从唯一决定，从 数学角度看，这就是点数学角度看，这就是点M的坐标的
5、坐标x,y由由t唯一确定，这唯一确定，这 样当样当t在允许值范围内连续变化时，在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续的值也随之连续 地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(2) 所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(2) 就叫做这条曲线就叫做这条曲线的的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数, 简称参简称参数数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间
6、关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明也可以没有明显意义。显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的
7、函数的函数例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上上, 求求a的值。的值。 一架救援飞机以一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.在离在离灾区指定目标灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到？（精确到1m）变式变式:2、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一
8、点的坐标是（ ） 练习1A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、BD思考题：思考题：动点动点M作等速直线运动作等速直线运动, 它在它在x轴和轴和y轴方向轴方向的速度分别为的速度分别为5和和12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2), 求点求点M的轨迹参数方程。的轨迹参数方程。解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y) （
9、2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程yxorM(x,y)2、圆的参数方程、圆的参数方程圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式由于选取的参数不同，圆有不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式参数方程也可以有不同的形式
10、，形式不同的参数方程，它们表示不同的参数方程，它们表示 的曲线可的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值数参数时，要注明参数及参数的取值范围。范围。例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周运动时，求点作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ思考：思考：这里定点这里定点Q在圆在圆O外，你能判断这个外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在在
11、圆圆O上，轨迹是什么？如果定点上，轨迹是什么？如果定点Q在在圆圆O内，轨迹是什么？内，轨迹是什么？3、参数方程和普通方程的互化、参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程，如果知道变数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数中的一个与参数t的关系，例如的关系，例如x=f(t),把把它代入普通方程，求出另一个变数与参数它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系的关系y=g(t)，那么，那么这就是曲线的参数方程。这就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x,y的取值范围保持一致。的取值范围保持一致。注意：注意：小节小节：1、参数方程的概念、参数方程的概念作业：作业：27页页1、2、4、54、将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程的方法注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使使x,y的取值范围保持一致。的取值范围保持一致。3、圆的参数方程的表达式圆的参数方程的表达式2、能够解决一些简单的参数方程、能够解决一些简单的参数方程5、将普通方程化为参数方程的方法将普通方程化为参数方程的方法
