《集合与函数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合与函数课件（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微微 积积 分分(calculus)数学是科学的大门和钥匙. 培根2集 合(set)小结 思考题 作业函 数(function)1.1 集合与函数第1章 函 数第第1 1章章 函函 数数具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该一、集合 集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否则记记作或若a是A的元素,则说a属于A,1.1 集合与函数空集.不含任何元素的集合称为1. 集合(set)的概念34集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法 把集合的全部元素一一列出来, 例 考察
2、由下列元素 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9可以用列举法将其表示成列举法有很大的局限性.组成的集合A,外加花括号.1.1 集合与函数1.1 集合与函数5如:由不超过1010的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合, 其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的, 更常用的是列出规定这个集合特定性质P 就是 描述法.花括号中竖线前的x而竖线后是 M 中元素的通用符号,则是 x 所具有的性质. 的办法来表示集合,可用列举法表示为的根组成的集合也可用描述法表示为例 由方程62. 区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的
3、全体实数.称为称为这两个实数叫做区间的端点.开区间,闭区间,1.1 集合与函数7称为有限区间无限区间半开半闭区间.全体实数的集合R 也可记作是无限区间.1.1 集合与函数83. 邻域(neighborhood) 数集即 邻域, 记作几何表示1.1 集合与函数9 有时简记为去心(空心) 即点a的称为a的称为a的1.1 集合与函数104. 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“ ”表示 “任取 ”, 或“任意给定”.“ ”表示 或“能够找到”. 如 实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:Any(每一个
4、)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的 字头E的倒写叙述的:1.1 集合与函数“存在 ”, “至少存在一个”,111.常量(constant quantity)与变量(variable)注二、函数(function)而是相对“过程”而言的.常量; 变量.在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常量还是变量, 不是绝对的,常量与变量的表示方法:通常用字母 a, b, c等表示常量,用字母 x, y, t等表示变量.1.1 集合与函数12 初等数学,变量的数学 “常量的数学”,从现在开始,进入就其总体来说是微积分.1.1 集合与函数13 定义 设有两个变量x
5、和y,自变量因变量定义域(domain)记作变量y的取值的集合称为函数的值域(range), 即变量x的变域为D,如果对于D中的每一个x值, 按照一定的法则, 变量y总有唯一的数值与之对应, 则称变量y为变量x的函数(function),2. 函数概念1.1 集合与函数14注(1) 函数的记号: 除常用的f 外,可任意选取,如相应地,函数可记作:等,等,也可记作:在同一个问题中, 讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数, 以示区别.1.1 集合与函数15(2) 对应的函数值y总是唯一的,否则称为如是多值函数,它的两个单值支是:单值函数,多值函数.约定:今后无特别说明时, 函
6、数是指单值函数.这种函数称为(3) 构成函数的是两个不同的函数.(因为定义域不同).如定义域Df与对应法则 f .两个要素:1.1 集合与函数16 函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即简称函数表示法的(4)而与用什么字母无关,无关特性.1.1 集合与函数17定义域一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义的一切定义区间.由问题的实际意义所确定.(2)函数的定义域常用区间来表示,又可称为:实际问题(几何或物理问题);在纯数学的研究中 (函数由一个公式实数组成的集合, 这种定义域称为 自然定义域.表示的).1.1 集合与函数18例 求下列函数的定义域:解定义域是定义域是1.1 集合与函数19
7、常用的函数关系表示法是多种多样的. 公式法(解析法);主要有三种形式表格法.各种表示法, 都有其优点和不足. 图形法;公式法(解析法)图形法表格法今后以公式法为主, 便于进行理论分析和计算;形象直观, 富有启发性, 便于记忆;便于查找函数值, 但它常常是不完全的.也可用语言描述.配合使用图形法和表格法. 需特别指出的是, 公式法不一定仅用一个公式表示函数. 1.1 集合与函数20例 某商店对一种商品的售价规定如下: 购买量有些函数分段函数.称为函数关系也不同,除了可用一个数学式子表示函数外,随着自变量取不同的值,这种函数不超过5千克时, 每千克0.8元; 购买量大于5千克而不超过10千克时,
8、若购买 x 千克的费用记为 f (x), 则购买量大于10千克时, 超过10千克部分每千克0.4元,元;在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形.其中超过5千克部分优惠价每千克0.61.1 集合与函数21 用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:即注而不是几个函数!13.并画出其图形.1.1 集合与函数22几个今后常引用的函数绝对值函数例 定义域值域1.1 集合与函数23符号函数(克罗内克函数) 定义域值域对例有或克罗内克Kronecker L. 1823 1891, 德国数学家1.1 集合与函数24 取整函数如例阶梯曲线 定义域值域表示不超过 x 的最大整
9、数W = 整数.1.1 集合与函数25例 狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859(x为有理函数)(x为无理函数) 定义域值域由于有理数和无理数在实数集中稠密,因此只能画出它的象征性的图像.有理数点无理数点1.1 集合与函数26有界性 (bounded)设函数y = f (x)在区间I上有定义,则说 f (x) 在区间I上有上 界.(下)使得对所有若存在常数A都有(B),3. 函数的几种特性1.1 集合与函数27 若存在常数使得对所有则称 f (x) 在I上有界. 在 I上无界;都有 若这样的M 不存在, 则称 f (x)即为对于任何 总存在使则称 f (x) 在 I
10、上无界.有界无界1.1 集合与函数28在定义域上有界的函数叫做例是有界函数;是无界函数, 但它在区间 在区间 注 一定要把区间明确出来!不是有界函数, 就是无界函数.显然,(bounded function)有界函数.有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界. 若f (x) 在I上有界,不是唯一的.则它在I上的上界和下界均1.1 集合与函数29A. 有上界无下界B. 有下界无上界C. 有界, D. 有界且解C解题提示将函数取绝对值, 然后用不等式放缩法.1.1 集合与函数30单调性(monotonicity)单调增加;如果对恒有 monotone increasing 设函数 f (x)的定义
11、域为D, 区间则称函数 f (x)在区间I上是1.1 集合与函数31 注 应指明单调区间, 否则会产生错误. 单调减少.如果对恒有monotone decreasing 设函数 f (x)的定义域为D, 区间则称函数 f (x)在区间I上是1.1 集合与函数32奇偶性偶函数的图形称 f (x)为偶函数 (even function); 设D关于原点对称,1.1 集合与函数33奇函数的图形称f (x)为奇函数 (odd function). 设D关于原点对称,1.1 集合与函数34周期性(periodicity)的周期.周期函数(period function).如果存在一个正数l,且总有l 称
12、为f (x)通常称周期函数的周期是指最小正周期.周期为 l 的周期函数设函数 f (x)的定义域为D,则称f (x)是1.1 集合与函数354. 生成新函数的几种运算设函数 f (x), g(x)的定义域分别为D1, D2,则可定义这两个函数的下列运算和(差)积商且线性组合为实数,1.1 集合与函数而生成新的函数:365. 反函数与复合函数设函数 y = f (x)的值域为W,则称变量x为变量y的函数,记为(1)定义反函数(inverse function)如果对于W中任一 y值,从关系式 y = f (x)中可确定唯一的一个称为函数y =f (x)的反函数,习惯上 y = f (x) 的反函
13、数记为x值,1.1 集合与函数37求反函数的步骤求函数的反函数 y = f -1(x).(1) 把x从方程 y = f (x)中解出;(2) 把刚才所得的表达式中的x与y对换,即得所注意(1) y = f (x)的图形与其反函数 x = f -1(y)的图形y = f (x)的图形与其反函数 y = f -1(x)的图形关直线对称.(2) 只有一一对应的函数才有反函数.重合;于存在反函数吗?问: yx1.1 集合与函数38 直接函数与反函数的图形直线对称.关于1.1 集合与函数39如其反函数为指数函数定义域为值域为写成注并不是所有函数都存在反函数.如 函数定义域为值域为但对都有两个和与之对应,
14、 x不是y 的函数,不存在反函数.并称为对数函数.1.1 集合与函数404. 反函数与复合函数(2)复合函数 (compound function )设某企业经营者每年收入S 与该年利润L有关,得到把构成的复合函数.例其函数关系为而利润L则与该企业产品的产量Q有关, 其关系为称为由1.1 集合与函数41 定义 设函数 y =f (u) 的定义域为Df , 而函数若则称函数u = g(x)的值域为Wg , y =f g(x)为 x 的复合函数. x为自变量, u为中间变量, y为因变量.1.1 集合与函数 也可记作:1.1 集合与函数42(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数;(2) 复合
15、函数可以由两个以上的函数经过复合注因为不能构成复合函数.的定义域Df 是(3) 反过来,一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合.的值域Wg是构成.设函数 y =f (u) 的定义域为Df ,而函数u = g(x)则称函数y = f g(x)的值域为Wg ,为 x 的复合函数.43 复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最里边, 切不可漏层.如u,v 都是中间变量.复合函数的定义域是即而不是的定义域剥皮法1.1 集合与函数441) 幂函数(power function) 定义域与 的取值有关.5. 初等函数(elementary function
16、)(basic elementary function)(1) 基本初等函数1.1 集合与函数452) 指数函数(exponential function)定义域为值域为1.1 集合与函数463) 对数函数(logarithm function)定义域为值域为1.1 集合与函数474) 三角函数(trigonometric function)正弦函数定义域为值域为1.1 集合与函数48余弦函数定义域为值域为1.1 集合与函数49正切函数余切函数定义域值域定义域值域1.1 集合与函数505) 反三角函数(inverse trigonometric function)定义域值域 主值反正弦函数反三
17、角函数都是多值函数.但是,可以选取这些函数的单值支.1.1 集合与函数51定义域值域 主值反余弦函数1.1 集合与函数52 主值定义域值域反正切函数反余切函数 主值定义域值域 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.1.1 集合与函数53(2) 初等函数(elementary function)初等函数.如都是初等函数.不是初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为1.1 集合与函数54注一般分段函数不叫初等函数, 可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?答:故又可看作是初等函数.
18、是!由于它不是用一个式子表达出来的.因为1.1 集合与函数55奇函数.偶函数.1) 双曲函数 叠加法(3) 双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲余弦1.1 集合与函数56奇函数,有界函数,双曲正切双曲余切1.1 集合与函数57双曲函数常用公式1.1 集合与函数582) 反双曲函数奇函数,可得 反双曲正弦的反函数,单调增加.1.1 集合与函数59 反双曲余弦单调增加.1.1 集合与函数60奇函数, 反双曲正切单调增加.1.1 集合与函数61三、小结复合函数, 初等函数.函数函数的几种特性反函数,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性.集合集合概念, 区间, 邻域.函数的定义,定义域对应法则函数的两要素1.1 集合与函数62思考题考研数学一, 5分及其定义域. 解题思路此题是复合函数问题,可设从题目条件分析u和x的关系.解 令则于是,1.1 集合与函数63作 业习题1.1(11页)1.1 集合与函数
