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1、5.5 5.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程1课程章节5.5.1 勒让德变换勒让德变换广义动量拉氏函数(1)(2)由(2)解得(3)定义另外一个函数，称为哈密顿函数其中的 要用(3)代换。哈密顿函数的定义式哈密顿函数的定义式2课程章节5.5.1 勒让德变换勒让德变换哈密顿函数的物理含义哈密顿函数的物理含义若L不显含t, 则对于稳定约束系统，H即系统总能量对于不稳定约束系统，H是广义能量3课程章节5.5.1 勒让德变换勒让德变换勒让德变换的规则勒让德变换的规则以上从 到 的变换称为勒让德变换。规则：把要消去的变量( )乘以原函数(L)对该变量的偏导( )后，再减去原函数。4课程章节5.5.2 正
2、则方程正则方程正则方程的推导正则方程的推导(1)(2)(2)代入(1)可得(3)5课程章节5.5.2 正则方程正则方程正则方程的推导正则方程的推导(3)另一方面(4)(3)(4)比较可得哈密顿正则方程以及若L不显含t, 则H也不显含t.6课程章节5.5.2 正则方程正则方程相空间相空间s个广义坐标，和s个广义动量，统称为正则变量，它们作为相互独立的变量，张开一个2s维空间，称为相空间。相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态，称为相点。随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲线，代表系统状态的演化路径。7课程章节5.5.3 能量积分与循环积分能量积分与循环积分能量积分能量积分正则方程若H不显含
3、t, 则H守恒。8课程章节5.5.3 能量积分与循环积分能量积分与循环积分循环积分循环积分若H不显含某个广义坐标 ，则根据正则方程可得：即相应的广义动量守恒。注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的能量积分和循环积分，结果是一样的。9课程章节例题例题 15.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程解：以平衡位置(即弹簧原长位置)为原点，建立一维x轴。动能势能拉氏函数例例1 试用哈密顿正则方程建立图示一维弹簧振子的运动微分方程。平衡位置光滑水平面弹簧劲度系数为k广义动量10课程章节例题例题 15.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿函数正则方程(1)(2)(1)(2)联立可得即一维弹簧振子的运
4、动微分方程11课程章节例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程例例 2 用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场中的运动微分方程.解：采用球坐标 描述 质点的速度拉氏函数广义动量(1)位矢12课程章节例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿量(2)(1)代入(2)可得(3)正则方程(4)(5)(6)(7)(8)(9)13课程章节例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程另一方面计算可得可见(10)代表沿z方向的动量矩守恒。由(6)(9)可得(10)但是z轴的方向是任意选择的，故沿任何方向都有动量矩守恒，从而系统动量矩守恒，即分析：一、动量矩守恒14课程章节例题例题 25
5、.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程分析：二、平面运动现在选择一个特殊的z轴方向：使初速度v0躺在z轴和初位矢r0所确定的平面内。(10)则根据(10)式，可得初始时刻，以及后面任意时刻，都有这意味着质点将始终保持在z轴和初位矢r0所确定的平面内运动。z轴就是平面极坐标的极轴。15课程章节例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程分析：三、简化正则方程(4)(5)(6)(7)(8)(9)(4)(5)(7)(8)16课程章节例题例题 25.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程分析：四、最终的运动微分方程即在垂直于运动平面方向上的动量矩守恒。由(5)(8)可得(11)即径向运动微分方程对(11)求导即得到横向运动微分方程。由(4)(7)(11)可得(12)17课程章节5.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程18课程章节
