《高等数学C13.1.2函数的连续性改课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学C13.1.2函数的连续性改课件（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习求极限方法： 用极限运算法则；OM；无穷大与无穷小互倒；消去零因子；分母有理化；充要条件等。求极限类型： 高等数学C13.1.2函数的连续性(改 两个重要极限两个重要极限 一、第一个重要极限一、第一个重要极限二、第二个重要极限二、第二个重要极限高等数学C13.1.2函数的连续性(改常用的等价无穷小，当高等数学C13.1.2函数的连续性(改第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 一、函数的连续性 二、初等函数的连续性 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质 高等数学C13.1.2函数的连续性(改一一. 函数的连续性函数的连续性函数 f(x) 满足： 则称函数 f(x) 在 x0 处连续
2、，并称 x0为函数差值 u2-u1称为变量 u 在u1 处的增量, 记成定义，f(x) 的连续点增量变量 u 从初值 u1 变化到终值 u2, 则u, 即u=u2-u1变量 u 的增量可以是正数、负数或零 高等数学C13.1.2函数的连续性(改函数的增量函数的增量高等数学C13.1.2函数的连续性(改高等数学C13.1.2函数的连续性(改当自变量x在此邻域内的增量x (= x- x0)趋于零时, 函数的相应增量y无限逼近零,定义1 函数 f(x) 在x0的某一邻域内有定义, 即则称函数 f(x) 在点 x0 处连续连续.高等数学C13.1.2函数的连续性(改高等数学C13.1.2函数的连续性(
3、改高等数学C13.1.2函数的连续性(改单侧连续单侧连续高等数学C13.1.2函数的连续性(改定义若函数 f(x) 在 x0 处, 有 f(x0+)=f(x0)(或 f(x0-)=f(x0) )，则称函数 f(x)在x0处右右(左左)连续连续 函数f(x)在x0处连续的充要条件是 f(x)在 x0 处左连续且右连续如果函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内的每定义一点都连续, 则称函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续高等数学C13.1.2函数的连续性(改 如果函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续，且在 a 点右连续、在 b 点左连续，则称函数 f(x) 在闭区间 a,b 上连
4、续 函数f(x)在它的定义域内的每一点都连续, 则称f(x)为连续函数 从几何直观上看，区间上的连续函数的图象是一条不间断的曲线高等数学C13.1.2函数的连续性(改基本初等函数在其定义域内都连续。高等数学C13.1.2函数的连续性(改例1函数f（x）=x+1在x=2处的连续性 解 f（2）=3 高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例2 讨论函数 在 x=0 处的连续性 解解 因为所以 f(x) 在x=0处连续 高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例3 讨论函数 在 x= 处的连续性 高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例4 4解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,高等数学C13
5、.1.2函数的连续性(改二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 1.连续函数的和差积商的运算连续函数的和差积商的运算 若函数 f(x)、g(x) 都在 x0 处连续, 则定理1函数 f(x)g(x)、f(x)g(x) 也在 x0 处连续 若函数 f(x)、g(x) 都在 x0 处连续，定理2g(x0)0, 则在 x0 处函数 f(x)/g(x) 也连续高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例5 证明三角函数是连续函数 证证 我们只证cot x的连续性:任意x0R, x0k(kZ), 由cos x、sin x都在x0连续，且sin x00，据定理2, 在 x0 处连续，从而cot x为连续函
6、数 高等数学C13.1.2函数的连续性(改 2.复合函数的连续性复合函数的连续性 设函数 u=(x) 在 x0 处连续且定理3函数 y=f(u) 在 u0 处连续，则复合函数y=f(x)在x0处连续u0=(x0),注: 定理4中xx0换成x等其它情形，结论也成立定理4 设则:高等数学C13.1.2函数的连续性(改即极限符号“lim”与连续的函数符号“f ”可以交换次序函数 y=f(u) 在 u0 连续,推论设则:高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例6 求 解解 因为 , y=sin u在u= 处连续，由定理4的推论得 高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例7 求 解解 因为 y=co
7、s u在u=处连续，由定理4的推论得 = cos= -1 高等数学C13.1.2函数的连续性(改由基本初等函数的连续性，常值函数在任一区间内的连续性，以及本节定理1、定理2和定理3得到以下重要结论：一切初等函数在其定义区间内连续因此求初等函数f(x)在其定义区间内的点x0处的极限，直接可用来求 基本初等函数在其定义域内都连续.高等数学C13.1.2函数的连续性(改例8 计算高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例9 求 解解 由于x0时，此极限是“ 设法约去分子、分母的公共零因式，”型，因此要可用有理化分子的办法因为高等数学C13.1.2函数的连续性(改注意上式右端，x=0是初等函数 的定义
8、区间内的点，所以 高等数学C13.1.2函数的连续性(改小结 函数f(x)在x=0处连续的充要条件是 f(x)在 x=0 处左连续且右连续高等数学C13.1.2函数的连续性(改高等数学C13.1.2函数的连续性(改即极限符号“lim”与连续的函数符号“f ”可以交换次序函数 y=f(u) 在 u0 连续,推论设则:高等数学C13.1.2函数的连续性(改作业.P28.习题1-3 3.4(1.2.3.4.5).高等数学C13.1.2函数的连续性(改三、函数的间断点三、函数的间断点间断点至少属于下列三种情形之一:有定义, 且函数 f(x) 在 x0 处不连续，则称 x0定义设函数 f(x) 在 x0
9、 的某一个去心邻域内为函数 f(x) 的间断点 (1) f(x)在x0处无定义；(2) 极限 不存在；(3) 函数f(x)在x0处有定义且极限 存在但高等数学C13.1.2函数的连续性(改高等数学C13.1.2函数的连续性(改解解 因为 x1时, f(x) =x+1, 在x1处连续,例例10 讨论函数 的连续性并求它的间断点 所以函数f(x)有连续区间 (-,1)、(1, +) 由于 因此 x=1是函数f(x) 的间断点.高等数学C13.1.2函数的连续性(改其定义域D=(-,0)(0,+)，例例11 求函数 的间断点 解解 因为函数 是初等函数，因此函数 f(x)有间断点x=0 高等数学C1
10、3.1.2函数的连续性(改例例12 求函数 的间断点 解解 x1时，g(x)=x是连续的；x1时，g(x)=x-2也是连续的由于 所以 不存在x=1为函数g(x)的间断点高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例13 求正切函数y=tan x的间断点 解解 正切函数为基本初等函数，在定义域(kZ)处，内处处连续在x=k+tan x无意义且因此 k+ (kZ) 为tan x的间断点 高等数学C13.1.2函数的连续性(改例例1414解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.高等数学C13.1.2函数的连续性(改1.跳跃间断点跳跃间断点例例1515解解
11、高等数学C13.1.2函数的连续性(改2.可去间断点可去间断点例例1616高等数学C13.1.2函数的连续性(改解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.高等数学C13.1.2函数的连续性(改如例如例16中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点高等数学C13.1.2函数的连续性(改3.第二类间断点第二类间断点例例1717解解高等数学C13.1.2函数的连续性(改 若函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一
12、类间断点，其余的间断点(即左、右极限至少有一个不存在)称为函数的第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等的点称为函数的可去间断点；左、右极限不等的点称为函数的跳跃间断点在第二类间断点中，左、右极限至少有一个为无穷大的点称为函数的无穷间断点 高等数学C13.1.2函数的连续性(改间间断断点点类类型型第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点(左右极限都存在左右极限都存在) (左右极限至少左右极限至少有一个不存在有一个不存在)可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点(左右极限相等左右极限相等)(左右极限不等左右极限不等)无穷间断点无穷间断点(左、右极限至少左、右极限至少有一个为无穷大有一
13、个为无穷大)其他其他高等数学C13.1.2函数的连续性(改内容小结内容小结左连续右连续2. 连续函数的运算及初等函数的连续性 在点间断点的类型在点连续的等价形式高等数学C13.1.2函数的连续性(改2.讨论函数间断点的类型。1.设，当 a =_ 时,f(x) 为连续函数.高等数学C13.1.2函数的连续性(改四四.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理5 (最值定理) 闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值 高等数学C13.1.2函数的连续性(改注：注：定理5中的“闭区间”和“连续”的条件不具备时，结论可能不成立既无最大值也无最小值例如函数y=x在开区间(0, 1)内连续, 但
14、它又如:高等数学C13.1.2函数的连续性(改(有界定理) 闭区间上的连续函数有界 推论推论(介值定理)定理定理6取到介于最大值和最小值之间的一切值.闭区间上的连续函数必能高等数学C13.1.2函数的连续性(改至少有一个零值点 定理定理7(零值定理) 函数f(x)在闭区间a,b上连续，f(a)与f(b)异号，则函数f(x)在(a,b)内例例18 证明方程 x5-3x+1=0 在开区间 (0,1)内至少有一个根高等数学C13.1.2函数的连续性(改 小结1.1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件; ;3.3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别; ;2.2.区间上的
15、连续函数区间上的连续函数; ;第一类间断点第一类间断点: :可去型可去型, ,跳跃型跳跃型. .第二类间断点第二类间断点: :无穷型无穷型, ,振荡型振荡型. .间断点间断点( (见下图见下图) )高等数学C13.1.2函数的连续性(改第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyx可去型可去型oyx高等数学C13.1.2函数的连续性(改间间断断点点类类型型第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点(左右极限都存在左右极限都存在) (左右极限至少左右极限至少有一个不存在有一个不存在)可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点(左右极限相
16、等左右极限相等)(左右极限不等左右极限不等)无穷间断点无穷间断点(左、右极限至少左、右极限至少有一个为无穷大有一个为无穷大)其他其他高等数学C13.1.2函数的连续性(改连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.高等数学C13.1.2函数的连续性(改至少有一个零值点 定理定理7(零值定理) 函数f(x)在闭区间a,b上连续，f(a)与f(b)异号，则函数f(x)在(a,b)内高等数学C13.1.2函数的连续性(改 作业 P28. 习题1-3. 2.5(1.3).6. 高等数学C13.1.2函数的连续性(改
