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1、8.8立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离第八章立体几何与空间向量基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，求法cos _2.直线与平面所成角的求法直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos | .1.两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).3.
2、求二面角的大小求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 .|cosn1，n2|利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，【知识拓展】(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4
3、)两异面直线夹角的范围是 ，直线与平面所成角的范围是 ，二面角的范围是0，.()(5)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()基础自测124563题组二教材改编题组二教材改编2.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为 A.45 B.135C.45或135 D.9012456解析3答案两平面所成二面角为45.12456答案3.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 ，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_.3解析题组三易错自纠题组三易错自纠4.在直三棱柱ABCA1B1C1
4、中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为 解析12456答案3090，30.5.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为_.12456答案3解析306.(2018马鞍山月考)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的角为_.解析124563答案45题型分类深度剖析典典例例 如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；题型一
5、求异面直线所成的角师生共研师生共研证明(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解答用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.思维升华思维升华证明证明四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.跟跟踪踪训训练练 (2017广东五校诊断)如图所示，菱形ABCD中，ABC 60， AC与 BD相 交 于
6、点 O， AE平 面 ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；证明(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小.解答典典例例 (2016全国)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；证明题型二求直线与平面所成的角师生共研师生共研(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解答利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来
7、求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练 如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；证明(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.解答题型三求二面角师生共研师生共研典典例例 (2017全国)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BADABC90，E是PD的中点.(1)证明：直线CE平面PAB；证明证明取PA的中点F，连接EF，BF.证明所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF
8、，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值.解答利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练 (2017天津)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱
9、PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；证明(2)求平面CEM与平面EMN夹角的正弦值；解答解答题型四求空间距离(供选用)师生共研师生共研典典例例 (2018株洲模拟)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 ，求点A到平面MBC的距离.解答求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练 (2018武昌质检)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PA
10、D底面ABCD，侧棱PAPD ，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；解答(2)求B点到平面PCD的距离；解答解答典典例例 (12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值.利用空间向量求解空间角答题模板答题模板规范解答答题模板课时作业1.(2018抚顺调研)在正方体A1B1C1D1ABCD中
11、，AC与B1D所成角的大小为 基础保分练12345678910111213141516解析答案答案12345678910111213141516解析123456789101112131415163.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为 答案解析4.(2017西安调研)已知六面体ABCA1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为 A.45 B.60C.90 D.30解析答案123456789101112131415165.(2018大同模拟)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为
12、2，则点D1到平面A1BD的距离是 解析答案123456789101112131415166.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 ，则该二面角的大小为 A.150 B.45C.60 D.120解析答案12345678910111213141516解析123456789101112131415167.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.答案60123456789101112131415168.
13、在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为_.解析答案9.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的正切值为_.12345678910111213141516答案解析10.(2017河北石家庄二模)设二面角CD的大小为45，A点在平面内，B点在CD上，且ABC45，则AB与平面所成角的大小为_.12345678910111213141516答案30解析11.(2017洛阳二模)已知三棱锥ABCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2 ，E，F分别是A
14、C，BC的中点，P为线段BC上一点，且CP2PB.(1)求证：APDE；12345678910111213141516证明(2)求直线AC与平面DEF所成角的正弦值.12345678910111213141516解答12.(2017河南质检)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC ，点E在AD上，且AE2ED.(1)已知点F在BC上，且CF2FB，求证：平面PEF平面PAC；12345678910111213141516证明(2)平面APB与平面PBE夹角的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45？1234567
15、8910111213141516解答13.(2017全国)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 技能提升练12345678910111213141516答案解析14.(2018长春一检 )已知三棱锥 SABC中 ， SA，SB，SC两两垂直，且SASBSC2，Q是三棱锥 SABC外接球上一动点，则点 Q到平面ABC的距离的最大值为_.解析12345678910111213141516答案解解析析将三棱锥SABC放入棱长为2的正方体中，则到平面ABC的距离最大的点应在过球心且和平面ABC垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，15.(2017安徽皖南八校联考)已知三棱锥PABC的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上，AC为球O的直径.当三棱锥PABC的体积最大时，二面角PABC的大小为，则sin 等于 拓展冲刺练12345678910111213141516答案解析12345678910111213141516答案解析本课结束
