31函数与方程

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1、3.1.13.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点（1 1） 讨论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.方程方程x2 2-2-2x-3=0-3=0与函数与函数y=x2 2-2-2x-3-3xyO3 3-2-2-1-1-1-11 1 2 21 12 2-3-3-4-4图图3.1-1(1)3

2、.1-1(1) 可以看出，方程x2-2x-3=0有两个实根x1=-1,x2=3；函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点 (-1,0),(3,0). 这样，方程x2-2x-3=0的两个实数根就是函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.方程方程x2 2-2-2x+1=0+1=0与函数与函数y=x2 2-2-2x+1+1xyO-1-11 1 2 21 12 2图图3.1-1(2)3.1-1(2) 可以看出，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根 x1=x2=1；函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0). 这样，方程x2-2x+1=0的实数根就是函数y=x2-2x+1的

3、图象与x轴交点的横坐标.方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3图3.1-1(3)xyO35-11 21234 方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点. 上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及其相应的二次函数y=ax2+bx+c (a0)也成立. 设判别式=b2-4ac，我们有： （1）当0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)； （2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)； （3）当0时，一元二次

4、方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.换言之： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两不同根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根； （2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个重根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根； （3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与x轴没有交点； 总之，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与x轴的交

5、点的横坐标.一、函数的零点 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）. 显然，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标. 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.课堂例题课堂例题例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：解：（1）方程-x2+3x+5=0与函数y=-x2+3x+5图例图例1(1)1(1)xyO3 36 65 5-1-11 1 2 21 12 23 34 45 58 87 74 4-2-2 由图知，相应的二次函数

6、y=-x2+3x+5的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程-x2+3x+5=0有两个不等的实数根.解：（2）方程2x(x-2)=-3与函数y=2x(x-2)+3图例图例1(2)1(2)xyO3 35 5-1-11 1 2 21 12 23 34 4 由图知，相应的二次函数y=2x(x-2)+3的图象与x轴没有交点，所以一元二次方程2x(x-2)=-3没有实数根.课堂练习课堂练习 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：课后作业课后作业 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：3.1.13.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点（2 2）复习导入复习导入问：方程的根与函数的零点

7、之间具有怎样的关系？答：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点. 问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？ 参与讨论并阅读课本第91页中外历史上的方程求解探究观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间-2,1上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？xyO3 3-2-2-1-1-1-11 1 2 21 12 2-3-3-4-4图图3.1-23.1-2新课新课 经过讨论，可以发现：f(-2)f(1)0，函数f(x)=x2-2

8、x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1， 它是方程x2-2x-3=0的一个根. 同样地，f(2)f(4)0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3，它是方程x2-2x-3=0的另一个根.课堂练习课堂练习 画出二次函数f(x)=-x2-x+2的图象，观察函数f(x)=-x2-x+2在区间-5,0上是否有零点.计算f(-5)与f(0)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间0,4上是否也具有这种特点呢？图图3.1-33.1-3xyO3 33 3-1-1-1-11 1 2 21 12 24 4-3-3-2-2-4-4-5-5 经过讨论，可以发现：f(-5)f(0)0，函数f(

9、x)=-x2-x+2在区间(-5,0)内有零点x=-2， 它是方程-x2-x+2=0的一个根. 同样地，f(0)f(4)0，函数f(x)=-x2-x+2在区间(0,4)内有零点x=1，它是方程-x2-x+2=0的另一个根. 一般地，我们有： 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.课堂例题课堂例题例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.解：作出x、f(x)的对应值表：x1 12 23 34 45 56 67 78

10、89 9f( (x) ) -4-4-1.3069-1.30691.09861.09863.338633.338635.60945.60947.79187.79189.94599.945912.079412.079414.197214.1972再作出y=f(x)的图象：图3.1-4 由以上表格和图象可知，f(2)0，即f(2)f(3)0， f(2)0，即 f(1)f(2)0, 说明这个函数在区间(1,2)内有零点.由于f(x)在定义域R内是减函数， 所以，它仅有一个零点.图3.1-5（2）由以上表格和图象可知，f(3)0，即f(3)f(4)0.说明这个函数在区间(3,4)内有零点.由于f(x)在

11、定义域(2,+)内是增函数，所以，它仅有一个零点.2已知函数f(x)=x3-3x+1，问该函数在区间(-2,-1)内是否有零点？解：因为f(-2)=-10， 所以f(-2)f(-1)0， 又函数f(x)=x3-3x+1是连续的曲线， 所以f(x)在区间(-2,-1)内有零点.课堂小结课堂小结 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.课后作业课后作业 课本第92页习题3.1A组第1、2题；课本第112页复习参考题A组第1题.3.

12、1.23.1.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 讨论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？新课导入新课导入 上节课我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.下面介绍一种求近似解的方法. 我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，利用上节课学过的函数零点存在

13、的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解. 1在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5； 2用计算器计算f(2.5)-0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内； 3再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.512，因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内. 4重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出 区间区间中点的值中

14、点的值中点函数近似值中点函数近似值(2,3)(2,3)2.52.5-0.084-0.084(2.5,3)(2.5,3)2.752.750.5120.512(2.5,2.75)(2.5,2.75)2.6252.6250.2150.215(2.5,2.625)(2.5,2.625)2.56252.56250.0660.066(2.5,2.5625)(2.5,2.5625)2.531252.53125-0.009-0.009(2.53125,2.5625)(2.53125,2.5625)2.5468752.5468750.0290.029(2.53125,2.546875)(2.53125,2.54

15、6875)2.53906252.53906250.0100.010(2.53125,2.5390625(2.53125,2.5390625) )2.535156252.535156250.0010.001表3-2 当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.00781250.01， 所以，我们可将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.二分法 ： 对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点

16、近似值的方法叫做二分法（bisection）.二分法的计算步骤 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： 1.确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精确度； 2.求区间(a,b)的中点c； 3.计算f(c)；二分法的计算步骤 4.判断：(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令b=c（此时零点x0(a,c)）；(3)若f(c)f(b)0，则令a=c（此时零点x0(c,b)）. 5.判断：区间长度是否达到精确度？即若|a-b|，则得到零点近似值；否则重复25. 说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于都是重复

17、性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算. 阅读课本第93页借助信息技术求方程的近似解.课堂例题课堂例题例1. 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表x0 01 12 23 34 45 56 67 78 8y=2x+3x-7-6-6-2-23 31010212140407575142142273273表3-3再作出函数f(x)=2x+3x-7的图象图3.1-5 根据所列的对应值表和图象可知，f(1)f(2)0，说明这

18、个函数在区间(1,2)内有零点x0. 取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器可算得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5). 再取(1,1.5)的中点x2=1.25，用计算器可算得f(1.25)-0.87.因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5). 同理可得，x0(1.375,1.5)，x0(1.375,1.4375). 由于|1.375-1.4375|=0.06250.1，此时，区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4. 所以，原方程精确到0.1的近似解为1.4.例2. 求方程2x3+3x-3=0的一

19、个近似解（误差不超过0.1).解：原方程即2x3+3x-3=0，令f(x)=2x3+3x-3，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x3+3x-3的对应值表x-2-2-1-10 01 12 23 34 45 56 6y=2x3+3x-3-22-22-8-8-3-32 21919 6060 137137 262262447447表3-3再作出函数再作出函数f( (x)=2)=2x3 3+3+3x-3-3的图象的图象图图3.1-63.1-6xyO2 21 1-1-11 1-8-8-2-24 43 32 2-5-5-4-4-6-6-7-7-1-1-2-2-3-3 根据所列的对应值表和图象可知，f(0

20、)f(1)0，说明这个函数在区间(0,1)内有零点x0. 取区间(0,1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=-1.25.因为f(0.5)f(1)0，所以x0(0.5,1). 再取(0.5,1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)0.09.因为f(0.5)f(0.75)0，所以x0(0.5,0.75). 同理可得，x0(0.625,0.75)，x0(0.6875,0.75)， x0(0.71875,0.75)，x0(0.734375,0.75) ， x0(0.734375,0.7421875) . 由于|0.734375-0.7421875|=0.00781250.1

21、，此时，区间(0.734375,0.7421875)的两个端点精确到0.1的近似值都是0.7. 所以，原方程精确到0.1的近似解为0.7.课堂练习课堂练习 1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0,1)内的零点(精确度0.1). 2. 借助计算器或计算机，用二分法求函数x=3-lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1).课堂小结课堂小结 1二分法的理论依据是什么？ 二分法的理论依据是：如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续不断，且f(a)f(b)0，那么一定存在c(a,b)，使得f(c)=0.2二分法的实施要点是什么？ 二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间a,b平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，通过n次的平分、判断，使零点存在于一个长度 的小区间.当n适当大时，l满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值.课后作业课后作业 课本第92页习题3.1A组3、4、5题；课本第92页习题3.1B组1、2、3题