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1、函数的图象 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, 以函数以函数 y=f(x) 中的中的 x 为横坐标为横坐标, 函数函数值值 y 为纵坐标的点为纵坐标的点 (x, y) 的集合的集合, 叫做函数叫做函数 y=f(x) 的图象的图象. 一、函数的图象一、函数的图象 注注: 图图象象上上每每一一点点的的坐坐标标 (x, y) 均均满满足足函函数数关关系系 y=f(x), 反反过过来来, 满满足足 y=f(x) 的的每每一一组组对对应应值值 x, y 为为坐坐标标的的点点 (x, y), 均均在在其其图图象上象上. 二、基本步骤二、基本步骤1.讨论函数的定义域及函数的基本性质；讨论函数的定义域及函
2、数的基本性质； 2.如果函数的图象与图象变换有关如果函数的图象与图象变换有关, 应考虑用图象变换作应考虑用图象变换作出图象；出图象； 3.作函数的图象必须准确描出关键的点线作函数的图象必须准确描出关键的点线( (如图象与如图象与 x, y 轴轴的交点的交点, 极值点极值点, 对称轴对称轴, 渐近线等渐近线等) ). 描点法作函数图象是根据函数解析式描点法作函数图象是根据函数解析式, 列出函数中列出函数中 x, y 的的一些对应值表一些对应值表, 在坐标系内描出点在坐标系内描出点, 然后用平滑的曲线将这些然后用平滑的曲线将这些点连接起来点连接起来. 利用这种方法作图时利用这种方法作图时, 要与研
3、究函数的性质结合要与研究函数的性质结合起来起来. 1.描点法描点法 常用变换方法有三种常用变换方法有三种: 平移变换平移变换; 伸缩变换伸缩变换; 对称变换对称变换.2.图象变换法图象变换法 函函数数图图象象的的画画法法有有两两种种常常见见的的方方法法: 一一是是描描点点法法; 二二是是图图象象变换法变换法.三、函数图象的画法三、函数图象的画法(1)平移变换平移变换: 由由 y=f(x) 的图象变换得的图象变换得 y=f(x+a)+b 的图象的图象.沿沿 x 轴向左平移轴向左平移 (a0) 或或 向右平移向右平移 (a0) 或或 向下平移向下平移 (b0, A 1, 0, 1) )的的图图象象
4、.y=f(x) y=f( x); 纵坐标伸长纵坐标伸长( (A1) )或或 缩短缩短( (0A1) )或或 伸长伸长( (0 1) )到原来的到原来的 ( ( y 不变不变) ) 1 y=f(x) 与与 y=f(- -x) y=f(x) 与与 y= - -f(x) y=f(x) 与与 y= - -f(- -x)关于关于 y 轴对称轴对称关于关于 x 轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称 y=f(x) 与与 y=f - -1(x)关于直线关于直线 y=x 对称对称 y=f(x) 与与 y=f(|x|) y=f(x) 与与 y=|f(x)| y=f(x) 与与 y= - -f - -1(- -x)
5、关于直线关于直线 y=- -x 对称对称 保留保留 y 轴右边图象轴右边图象, 去掉左边图象去掉左边图象, 再作关于再作关于 y 轴的对称图象轴的对称图象. 保留保留 x 轴上方图象轴上方图象, 将将 x 轴下方图轴下方图象翻折上去象翻折上去.四、函数图象的对称性四、函数图象的对称性对于函数对于函数 y=f(x), 若对定义域内的任意若对定义域内的任意 x 都有：都有： f(a- -x)=f(a+x)( (或或 f(x)=f(2a- -x) ), 则则 f(x) 的图象关于的图象关于直线直线 x=a 对称对称; f(a- -x)+f(a+x)=2b( (或或 f(x)+f(2a- -x)=2b
6、) ), 则则 f(x) 的图象关的图象关于于点点 (a, b) 对称对称.课堂练习1.函数函数 y=2- -x 的图象向左平移的图象向左平移 2 个单位得函数个单位得函数 的图象的图象. 2.将函数将函数 y=tan|x| 的图象向右平移的图象向右平移 2 个单位得函数个单位得函数_的图象的图象. 3.函数函数y=log2(3x- -1)的图象左移的图象左移2个单位得函数个单位得函数_ 的图象的图象. 4.将函数将函数 y=(x- -2)3 的图象各点的横坐标伸长到原来的的图象各点的横坐标伸长到原来的 3 倍倍( (纵纵坐标不变坐标不变) )得到函数得到函数_的图象的图象.y=2- -(x+
7、2)y=tan|x- -2|y=log2(3x+5)y=( x- -2)3 13 5.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的的两城间旅行的函数图象两城间旅行的函数图象.123456ot( (小时小时) ) S 10 20 30 40 60 70 80 50 由图可知骑自行车者用了由图可知骑自行车者用了6小时小时( (含含途途中休息中休息1小时小时) ), 骑摩托车者用了骑摩托车者用了2小时小时. 有人根据这个函数图有人根据这个函数图象提出关于这两个旅行者的如下信息象提出关于这两个旅行者的如下信息:骑自行车者比骑摩托车者早骑自行车者比骑
8、摩托车者早出发出发3小时小时, 晚到晚到1小时小时;骑自行车者是变速运动骑自行车者是变速运动, 骑骑摩托车者是匀速运动摩托车者是匀速运动;骑摩托车者在出发骑摩托车者在出发1.5小时小时后追上了骑自行车者后追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是其中正确信息的序号是 . 6.方程方程 lgx=sinx 的实根的个数是的实根的个数是 .3 52oyx7.设奇函数设奇函数 f(x) 的定义域为的定义域为 - -5, 5 , 若当若当x 0, 5 时时, f(x)的图象如右图所示的图象如右图所示. 则不等则不等式式 f(x)1 时时, 在同一坐标系中在同一坐标系中, 函数函数 y=a- -x 与与 y=
9、logax 的图象的图象是是( )A B C D 12.向高为向高为 H 的水瓶中注水的水瓶中注水, 注满为止注满为止, 如果注水量如果注水量 V 与水与水深深h 的函数关系的图象如右图所示的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是那么水瓶的形状是( )hVHA B C D B A 15.作出下列函数的图象作出下列函数的图象:(1)y=|x2- -2x|+1; (2)y=|log2(|x|- -1)|;(3)y= ; (4)y=lg . x- -3 2- -x 2- -x 1 14.在下列图象中在下列图象中, 二次二次函数函数 y=ax2+bx 与指数函数与指数函数 y=( ( ) ) 的
10、的图象只可能是图象只可能是( )abxA B C D xoyxoyxoy- -1xoy- -111A 16.对于正整数对于正整数 k, 若关于若关于 x 的方程的方程 (x- -2k)2=ax 在区间在区间 ( (2k- -1, 2k+1 上有两个不相等的实根上有两个不相等的实根, 求求 a 的取值范围的取值范围.解解: 设设 f(x)=(x - -2k)2 ( (x(2k - -1, 2k+1 ) ), f(x) 的图象是以的图象是以 A(2k - -1, 1) 及及 B(2k+1, 1) 为端点为端点, 顶点顶点为为 (2k, 0) 的一段抛物线的一段抛物线.f(2k - -1)=f(2k
11、+1)=1, 设设 g(x)=ax, 它表示过原点且斜率它表示过原点且斜率 k=a 的直线的直线.则命命题等价于等价于: 求使求使 f(x) 与与 g(x) 的的图象有两个交点的象有两个交点的 a 的取的取值范范围.0a , k N*. 2k+11等价于等价于 0 - -x- -1. 解解: 令令 y= 4- -x2 , 它的图象是以原点它的图象是以原点为圆心为圆心, 2 为半径的半圆为半径的半圆. 画出直线画出直线 y=- -x- -1, 与半圆交于点与半圆交于点A. 解方程解方程 4- -x2 =- -x- -1( (- -2x- -1) )得得: 则不等式的解集为满足则不等式的解集为满足
12、 y= 4- -x2 的图象在的图象在直线直线 y=- -x- -1 上方的上方的 x 的取值集合的取值集合, 为为 (xA, 2 .如图所示如图所示: xA= . - -1- -27故原不等式的解集为故原不等式的解集为 ( , 2 . - -1- -27 18.已知函数已知函数 y=f(x) 的图象与的图象与 x 轴有三个不同的交点轴有三个不同的交点 (m, 0), (n, 0), (p, 0). 试分别就下列情况求试分别就下列情况求 m+n+p 的值的值: (1) y=f(x)为奇为奇函数函数; (2) y=f(x) 的图象关于直线的图象关于直线 x=2 对称对称.解解: (1)由于由于
13、f(x) 为奇函数为奇函数, 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称, 因而因而f(x)的的图象与图象与 x 轴轴的的三个不同交点中三个不同交点中, 有一个为原点有一个为原点, 另两个另两个关于原点对称关于原点对称.m, n, p 中中有一个为有一个为 0, 另两个互为相反数另两个互为相反数.m+n+p=0. (2)由于由于 y=f(x) 的图象关于直线的图象关于直线 x=2 对称对称. 因而因而 f(x) 的的图图象与象与 x 轴轴的的三个不同交点中三个不同交点中, 有一个为有一个为(2, 0), 另两个关于点另两个关于点 (2, 0) 对称对称. m+n+p=2+2 2=6. 即即 m+
14、n+p 的值为的值为 0. 即即 m+n+p 的值为的值为 6. m, n, p 中中有一个为有一个为 2, 另两个之和为另两个之和为 2 的的 2 倍倍. 19.设函数设函数 f(x)=x3+2x2, 若函数若函数 g(x) 的图象与的图象与 f(x) 的图象关于的图象关于点点 (2, 1) 对称对称, 求求 g(x) 的解析式的解析式.解解: 设设 P(x, y) 是是 g(x) 图象上任意一点图象上任意一点, P 关于点关于点 (2, 1) 的对的对称称 点为点为 Q(u, v), 则由已知则由已知 v=u3+2u2 , 且有且有:代入代入得得 2- -y=(4- -x)3+2(4- -
15、x)2. 整理得整理得 y=x3- -14x2+64x- -94.y+v 2=1. x+u 2=2, u=4- -x, v=2- -y. 即即 g(x)=x3- -14x2+64x- -94.o12xy- -2 - -1- -11 20.已知函数已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的的图图象象 如如图图所示所示, 则则 ( ) A. b (- -, 0) B. b (0, 1) C. b (1, 2) D. b (2, +) A 解析解析: 根据图象提供的信息根据图象提供的信息, 可以发现以下关系及规律可以发现以下关系及规律: f(0)=0, 即即 d=0; f(1)=0, 即即 a
16、+b+c=0; f(2)=0, 即即 8a+4b+2c=0; f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x- -1)(x- -2); 当当 x (-, 0)(1, 2) 时时, f(x)0, 有有 f(- -1)0, 即即 - -a+b- -c0, 有有 f(3)0, 得得 a0. 法一法一: 由由 , 解得解得: b=- -3a, 又由又由 知知: a0, b0. 法二法二: + 得得: 2b0, b0, b0.法四法四: 由由, 取特殊函数取特殊函数: f(x)=x(x- -1)(x- -2), 得得: b=- -30. 21.若定义在区间若定义在区间 - - , 上的函数上的函数 y=f
17、(x) 的图象关于直线的图象关于直线 x= 对称对称, 当当 x 时时, 函数函数 f(x)=sinx. (1)求求 f(- - ), f(- - )的的值值; (2)求求 y=f(x) 的函数表达式的函数表达式; (3)如果关于如果关于 x 的方程的方程 f(x)=a 有解有解, 将方程在将方程在 a 取某一确定值时求得所有解的和记为取某一确定值时求得所有解的和记为 Ma, 求求 Ma 的所有可能取值及相对应的的所有可能取值及相对应的 a 的取值范围的取值范围.2 4 4 2 4 2 解解: (1) f(- - )=f( )=sin =0, f(- - )=f( )=sin = ; 4 34
18、3422(2) 当当 - - x 时时, f(x)=f( - -x) 4 2 2 =sin( - -x)=cosx, 2 sinx, x , . 4 cosx, x - - , ), 4 2 f(x)=解解: (3) 作出函数作出函数 f(x) 的图象的图象, 显然显然, 若若 f(x)=a 有解有解, 则则 a 0, 1, 0a 时时, f(x)=a 有两解有两解, Ma= ; 222 a= 时时, f(x)=a 有三解有三解, Ma= ; 2234 a1时时, f(x)=a 有四解有四解, Ma= ; 22 a=1 时时, f(x)=a 有两解有两解, Ma= .2 xyo 2 4 - -
19、 21.若定义在区间若定义在区间 - - , 上的函数上的函数 y=f(x) 的图象关于直线的图象关于直线 x= 对称对称, 当当 x 时时, 函数函数 f(x)=sinx. (1)求求 f(- - ), f(- - )的的值值; (2)求求 y=f(x) 的函数表达式的函数表达式; (3)如果关于如果关于 x 的方程的方程 f(x)=a 有解有解, 将方程在将方程在 a 取某一确定值时求得所有解的和记为取某一确定值时求得所有解的和记为 Ma, 求求 Ma 的所有可能取值及相对应的的所有可能取值及相对应的 a 的取值范围的取值范围.2 4 4 2 4 22.若若 1x3, a 为何值时为何值时
20、, x2- -5x+3+a=0 有两解有两解, 一解一解, 无解无解? 解解: 原方程即为原方程即为 a=- -x2+5x- -3 (1) 作出函数作出函数 y=- -x2+5x- -3( (1x3) )的图象的图象, 显然该显然该图象与直线图象与直线 x=a 的交点的横坐标是方程的交点的横坐标是方程 (1) 的解的解. 由由图象知图象知: 当当 3a 时时, 原方程有两解原方程有两解; 413当当 1 时时, 原方程无解原方程无解. 413123xy13o413y=a 23.已知函数已知函数 y=f(x)= ( (a, b, c R, a0, b0) )是奇函数是奇函数, 当当 x0时时,
21、f(x) 有最小值有最小值 2, 其中其中b N*且且 f(1)0, b0, f(x)= bx ax2+1 = x+ bx 1ba2 , b2 a当且仅当当且仅当 x= 时时, 等号成立等号成立. a12 =2, b2 af(x)有最小值有最小值 2, a=b2. 由由 f(1) 得得,52b a+1 , 52b b2+1 , 52即即2b2- -5b+20, 解得解得b0, b0) )是奇函数是奇函数, 当当 x0时时, f(x) 有最小值有最小值 2, 其中其中b N*且且 f(1) , (1)试求函数试求函数y=f(x) 的解析式的解析式; (2)问函数问函数 f(x) 图象上是否存在关于点图象上是否存在关于点 (1, 0) 对称的两点对称的两点? 若存在若存在, 求出点的坐标求出点的坐标; 若不存在若不存在, 说明理由说明理由.52bx+c ax2+1
