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1、王 培 荣 Sunday, July 21, 2024n n(l)明确平面弯曲、纯弯曲和横力弯曲的概念，掌握推导梁弯曲正应力公式的方法。n n(2)熟练掌握弯曲正应力的计算：弯曲正应力强度条件及其应用。教学要求 本节主要介绍弯曲正应力和弯曲剪应力的计算方法，这是建立梁的强度条件和进行强度计算的基础。因此，要求同学们不但能够熟练地进行弯曲强度计算，而且要对基本概念和公式的推导方法有深刻的理解。第五章 弯曲应力 Chapter 5 Bending Stresses 51 纯弯曲 pure bending beam n n1.梁可能危险截面梁可能危险截面: :|Q|max和|M|max所在截面n n
2、2.应力与内力关系n n剪力Q与横截面相切合成,它只能由与横截面相切的分布内力系，即由剪应力合成；n n弯矩的作用面在梁的纵向对称平面内,它只能由垂直于横截面的内力系合成,由正应力合成。n n和纯弯曲n n横截面上既有剪力又有弯矩,这种弯曲变形称为横力弯曲。n n横截面上只有弯矩而没有剪力,且弯矩等于常数,这种弯曲变形称为纯弯曲。一、工程实例（一、工程实例（engineering example)火车车轴承火车车轴承受受车厢车厢传来传来的载荷的载荷对此，可以简化为如下的力学模型：对此，可以简化为如下的力学模型：车轴受力图：车轴受力图：简化为外伸梁简化为外伸梁如图：如图：横力弯曲横力弯曲AC B
3、DMQ-CDMQ=0=0纯弯曲纯弯曲Q图图M图图52 纯弯曲时的正应力 正应力分析方法正应力分析方法正应力分析方法正应力分析方法 正应力分析方法正应力分析方法1. 1. 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程2. 2. 应变分布与应力分布应变分布与应力分布4. 4. 正应力表达式正应力表达式3. 3. 应用静力学方程确定待定常数应用静力学方程确定待定常数 变变 形形 平平面面假假定定 物物性性关关系系应应力力分分布布 静静力力方方程程应应力力表表达达式式 正应力分析方法正应力分析方法 应应变变分分布布Bending stress in pure bending beamsDeformat
4、ion relationPhysics relationstatics relation1. 1. 变形几何关系变形几何关系Deformation relation变形观察与基本假设变形观察与基本假设（一）变形观察（一）变形观察Deformation observation and basic hypothesis2、在、在Me的作用下，的作用下，梁开始发生纯弯曲变梁开始发生纯弯曲变形，注意观察纵向线形，注意观察纵向线和横向线的变形情况。和横向线的变形情况。3、变形后变形后，纵向线，纵向线弯曲成为弧线，横向弯曲成为弧线，横向线仍保持为直线，且线仍保持为直线，且垂直与弯曲了的弧线。垂直与弯曲了的
5、弧线。1、变形前变形前在矩形梁在矩形梁表面画相互垂直的表面画相互垂直的纵向线和横向线，纵向线和横向线，mm和和nn为横截面，为横截面，间距为间距为dx.1、平面假设：平面假设： 横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线偏横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线偏转一个角度。转一个角度。（二）基本假设（二）基本假设假想梁由若干的纵向纤维构成，在变形时凹入一侧假想梁由若干的纵向纤维构成，在变形时凹入一侧纤维缩短，凸出一侧纤维伸长纤维缩短，凸出一侧纤维伸长2、假设纵向纤维之间无挤压应力、假设纵向纤维之间无挤压应力梁的一些特殊位置梁的一些特殊位置中性层中性层横截面横截面中性轴中性轴纵向对称面纵
6、向对称面纵向对称轴纵向对称轴变形几何关系变形几何关系讨论：距中性层为讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形处纵向纤维的变形2. 2. 物理关系物理关系Physics relation距中性层距中性层 y 处纵向纤维的正应力：处纵向纤维的正应力：3. 3. 静力学关系静力学关系statics relation凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力抗弯截抗弯截面系数面系数53Stress in shearing bending在横力弯曲的情况下，横截面上存在剪应在横力弯曲的情况下，横截面上存在剪应力，故横截面不能保持为平面，产生翘曲，力，故横截面不能保持为平面，产
7、生翘曲，这时除因弯矩产生的正应力，还将产生附这时除因弯矩产生的正应力，还将产生附加正应力。加正应力。但是对于细长梁（横截面但是对于细长梁（横截面h远小于跨度远小于跨度l的的梁）来说，附加正应力非常微小，可以忽梁）来说，附加正应力非常微小，可以忽略不计。略不计。n n适用于下述条件:n n(1)小变形；n n(2)材料处于比例极限范围内；n n(3)纯弯曲梁或l5h的横力平面弯曲的梁；n n(4)直梁或小曲率的曲梁(5h)。F FAYAYF FBYBYBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K例题受均布载荷作用简支梁如图所示，试求：2.C 截面上最大正应力截面上最大正应力3.
8、全梁上最大正应力全梁上最大正应力4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径1.C 截面上截面上K点正应力点正应力F FAYAYF FBYBYBAl = 3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN1. 求支反力求支反力（压应力）（压应力）解：解：2. C 截面最大正应力C 截面弯矩C 截面惯性矩3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩梁的强度条件强度条件强度核核设计截面尺寸确定容许荷载校核强度计算步骤：n n危险截面、危险点,计算梁内的
9、最大工作应力max ；中性轴为对称轴时危险截面一个：max(|M+max|, |M-max|) ；中性轴为对非称轴时可能可能危险截面二个：M+max,M-maxn n2.比较max， 大小；n n3.结论。强度均满足强度要求。设计截面计算步骤n n危险截面,计算梁内的最大工作内力；n n2.由强度条件确定梁所需要横截面尺寸；n n3.进一步计算。确定许可载荷计算步骤：n n1.由截面法确定各梁的内力与F之间关系； n n2.由强度条件确定各梁能承受最大弯矩；n n3.由各梁能承受最大弯矩、各梁的内力与F之间关系，确定许可载荷Fi ； n n4.由Fi确定F: F=min(F1, F2,., F
10、n)中性轴为对非称轴中性轴为对非称轴梁可能的危险截面梁可能的危险截面:C C截面、截面、B B截面截面该梁的强度是足够的。讨 论 若将此T型截面倒置，即翼缘板放在下面成形，虽外力作用情况不变，但截面内的正应力数值将发生很大的变化。请读者再按后一种放置情况进行强度校校。经计算后你有什么体会？梁可能的危险截面梁可能的危险截面n n中性轴为截面对称轴的截面形状，梁可能的危险截面的位置：Max(|M+max|, |M-max|)发生截面。n n中性轴为截面非对称轴的截面形状，梁可能的危险截面的位置：M+max、M-max发生截面。作 业n54n55 n56 n512 变形现象平面假设假设n n1.平面
11、假设n n2.单向受力假设:纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维均处于单向受拉(压)的状态。n n3.线弹性材料假设n n4.拉压弹性模量相同假设中性层、中性轴 推导沿梁的高度方向纵向变形之间的几何关系n n1.纯弯时梁横截面上的正应力沿截面高度线性分布；n n2.在中性轴处正应力为零；n n3.在距中性轴最远的截面边缘分别受有最大拉应力与最大压应力；n n各点正应力相同。需要解决两个问题n n二.中性轴的位置未知。中曲率半径仍为未知；中性轴必须通过横截面形心。中性轴是横截面形心主惯性轴横截面上的正应力分布n n1.M、 y按规定的符号代入,应力计算结果正者为拉应力,负者为压应力。n n2. M、 y均按绝对值代入,该点的应力是拉应力还是压应力由该点所在的区域(受拉区或受压区)决定。最后在应力数字后面注上(拉或压)字即可。公式中正负号确定公式中正负号确定横截面上的最大正应力
