《高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人教A版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人教A版选修22（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数主题主题 函数的最值函数的最值1 1观观察察图图中中在在a,ba,b上上函函数数y yf(xf(x) )的的图图象象，找找出出它它们的极大值和极小值们的极大值和极小值. .提示：提示：f(c),f(ef(c),f(e) )是函数是函数y yf(xf(x) )的极小值，的极小值，f(d),f(gf(d),f(g) )是函数是函数y yf(xf(x) )的极大值的极大值. .2.2.观察观察1 1中函数中函数y=y=f(xf(x) )的图象，你能找出函数的图象，你能找出函数f(xf(x) )在区在区间间a a，b b上的最大值、最小值吗？若将区间改为上的最大值、
2、最小值吗？若将区间改为(a(a，b)b)，f(xf(x) )在在(a(a，b)b)上还有最值吗？上还有最值吗？ 提示：提示：函数函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间a a，b b上的最大值是上的最大值是f(gf(g) )，最小值是，最小值是f(bf(b).).若区间改为若区间改为(a(a，b)b)，则，则f(xf(x) )有最大值有最大值f(gf(g) )，无最小值，无最小值. .3.3.观察如图所示函数观察如图所示函数y=y=f(xf(x) )的图象，该函数有最大值的图象，该函数有最大值吗？吗？提示：提示：由图可见在最高点处图象是间断的，因此该函由图可见在最高点处图象是间断的，因此该函
3、数没有最大值数没有最大值. .结论：函数有最值的条件结论：函数有最值的条件如如果果在在闭闭区区间间a,ba,b上上函函数数y=y=f(xf(x) )的的图图象象是是一一条条连连续续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. .【微思考微思考】1.1.函函数数在在某某一一区区间间上上的的最最大大值值一一定定是是这这个个区区间间上上所所有有函数值中的最大值吗？函数值中的最大值吗？提示：提示：是是. .2.2.极值能在区间端点处取得吗？最值呢？极值能在区间端点处取得吗？最值呢？提提示示：极极值值只只能能在在区区间间内内取取得得，但但是是最最值值可可以以在在区区间间端点
4、处取得端点处取得. .3.3.函数最值和函数最值和“恒成立恒成立”问题有什么联系？问题有什么联系？提提示示：解解决决“恒恒成成立立”问问题题，可可将将问问题题转转化化为为函函数数的的最最值值问问题题. .如如f(xf(x)0)0恒恒成成立立，只只要要f(xf(x) )的的最最小小值值大大于于0 0即即可可. .对对含含参参不不等等式式恒恒成成立立问问题题，求求参参数数范范围围时时，可可先先分离参数分离参数. .【预习自测预习自测】1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( )( )A.A.函函数数在在其其定定义义域域内内若若有有最最值值与与极极值值，则则其其极极大大值值便便是最大值，极小值便是
5、最小值是最大值，极小值便是最小值B.B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C.C.若若函函数数在在其其定定义义域域上上有有最最值值，则则一一定定有有极极值值；反反之之，若有极值，则一定有最值若有极值，则一定有最值D.D.若若函函数数在在给给定定区区间间上上有有最最值值，则则有有且且仅仅有有一一个个最最大大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值【解析解析】选选D.D.由极值与最值的区别知选由极值与最值的区别知选D.D.2.2.连连续续函函数数f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )上上有有最最大
6、大值值是是有有极极大大值值的的( ( ) )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解解析析】选选A.A.因因为为区区间间( (a,ba,b) )为为开开区区间间，所所以以连连续续函函数数f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )上上有有最最大大值值能能推推出出函函数数有有极极大大值值，但但有有极极大值函数不一定有最大值大值函数不一定有最大值. .3.3.函函数数f(xf(x) )x x24x4x1 1在在1,51,5上上的的最最小小值值和和最最大大值为值为( )( )A.A.2,62
7、,6B.B.3 3，2 2C.2,6C.2,6D.D.3,63,6【解析解析】选选D. D. f(xf(x) )2x2x4.4.当当x(1,2)x(1,2)时，时，f(xf(x) )0 0，当，当x(2,5)x(2,5)时，时，f(xf(x) )0 0，又因为，又因为f(1)f(1)1 124 41 11 12 2，f(5)f(5)5 524 45 51 16.6.所以所以f(xf(x) )x x24x4x1 1在在1,51,5上的最小值为上的最小值为f(2)f(2)2 224 42 21 13,3,最大值为最大值为6.6.4.4.已知函数已知函数y=-xy=-x2-2x+3-2x+3在区间在
8、区间a,2a,2上的最大值上的最大值为为 ，则，则a a等于等于 . .【解析解析】当当a a-1-1时，最大值为时，最大值为4 4，不合题意；，不合题意；当当-1a2-1a2时，时，f(xf(x) )在在a,2a,2上是减函数，上是减函数，f(af(a) )最大，最大， ，解得解得 或或 ( (舍舍).).答案：答案：5.5.求函数求函数 ，xx-3,1-3,1的最大值的最大值与最小值与最小值.(.(仿照教材仿照教材P97P97例例5 5的解析过程的解析过程) )【解析解析】因为因为f(xf(x)=x)=x3+2x+2x2-4x+5-4x+5，所以所以f(xf(x)=3x)=3x2+4x-4
9、.+4x-4.令令f(xf(x)=0)=0，得，得x x1 1=-2=-2，x x2= .= .因为因为f(-2)=13f(-2)=13， ，f(-3)=8f(-3)=8，f(1)=4f(1)=4，所以函数所以函数f(xf(x) )在在-3,1-3,1上的最大值为上的最大值为1313，最小值为最小值为 . .类型一类型一 求函数的最值求函数的最值【典典例例1 1】求求函函数数y=5-36x+3xy=5-36x+3x2+4x+4x3在在区区间间-2-2，+)+)上上的最大值与最小值的最大值与最小值. .【解解题题指指南南】求求函函数数的的最最值值与与求求函函数数的的极极值值相相似似( (但但最最
10、值值与与极极值值不不一一定定相相同同) )，先先列列出出表表格格，再再进进行行判判断断，从从而求出最值而求出最值. .【解析解析】y=12xy=12x2+6x-36,+6x-36,令令y=0y=0，x x1 1=-2=-2，x x2= .= .列表：列表：x x x x-2-2-2-2yyyy0 0 0 0- - - -0 0 0 0+ + + +y y y y57575757 极小值极小值极小值极小值由于当由于当 时，时，yy0 0，所以，所以y y在在 上为增函上为增函数，因此，函数数，因此，函数y y在在-2,+)-2,+)上只有最小值上只有最小值 ，无最大值无最大值. .【方法总结方法
11、总结】闭区间闭区间a a，b b上连续的函数上连续的函数f(xf(x) )必有必有最值最值(1)(1)给定的区间必须是闭区间，给定的区间必须是闭区间，f(xf(x) )在开区间上虽然连在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值续但不能保证有最大值或最小值. .如如 ，x(0,1)x(0,1)，f(xf(x) )在区间在区间(0,1)(0,1)连续，但没有最大值和最连续，但没有最大值和最小值小值( (如图如图).).(2)(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点，也不能保证间断点，也不能保证f(xf(x) )有最大值和最小值，如函数有最大
12、值和最小值，如函数在在-1,1-1,1上有间断点，没有最小值上有间断点，没有最小值( (如图如图).).(3)(3)若连续函数在区间若连续函数在区间(a(a，b)b)内只有一个极值，那么极内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值大值就是最大值，极小值就是最小值. .【巩固训练巩固训练】函数函数 在在0,20,2上的最大值是上的最大值是( )( )A A当当x x1 1时，时， B B当当x x2 2时，时，C C当当x x0 0时，时，y y0 D0 D当当 时，时，【解析解析】选选A. A. ，令，令yy0,0,得得x x1.1.因为因为x x0 0时，时，y y0 0，x x
13、1 1时，时， ，x x2 2时，时， ，所以最大值为所以最大值为 (x(x1 1时取得时取得) )类型二类型二 与参数有关的最值问题与参数有关的最值问题【典典例例2 2】(1)(1)已已知知函函数数f(xf(x)=2x)=2x3-6x-6x2+a+a在在-2,2-2,2上上有有最最小小值值-37-37，求求a a的的值值，并并求求f(xf(x) )在在-2-2，2 2上上的的最最大大值值. .(2)(2017(2)(2017秦皇岛高二检测秦皇岛高二检测) )设函数设函数 ,0,0a a1.1.若若xx0,3a0,3a，试求函数试求函数f(xf(x) )的最值的最值. .【解解题题指指南南】(
14、1)(1)按按求求函函数数最最值值的的步步骤骤求求出出最最小小值值，再再结结合合已已知知求求得得a a，进进而而求求出出f(xf(x) )在在-2-2，2 2上上的的最最大大值值. .(2)(2)先先求求导导数数，求求出出极极值值点点，通通过过列列表表确确定定函函数数的的单单调调区间，进而求函数的最值区间，进而求函数的最值. .【解析解析】(1)f(x)=6x(1)f(x)=6x2 2-12x=6x(x-2)-12x=6x(x-2)，令令f(xf(x)=0,)=0,得得x=0x=0或或x=2.x=2.又又f(0)=a,f(2)=a-8f(0)=a,f(2)=a-8，f(-2)=a-40.f(-
15、2)=a-40.f(0)f(0)f(2)f(2)f(-2)f(-2)，所以当所以当x=-2x=-2时时, ,f(x)f(x)minmin=a-40=-37=a-40=-37，得，得a=3.a=3.所以当所以当x=0x=0时，时，f(x)f(x)maxmax=3.=3.(2)f(x)=-x(2)f(x)=-x2 2+4ax-3a+4ax-3a2 2. .令令f(xf(x)=0)=0，解得解得x=ax=a或或x=3ax=3a，xx0,3a0,3a，列表如下：，列表如下：x x x x0 0 0 0(0,a)(0,a)(0,a)(0,a)a a a a0,3a0,3a0,3a0,3a3a3a3a3a
16、f(xf(xf(xf(x) ) ) )- - - -0 0 0 0+ + + +0 0 0 0f(xf(xf(xf(x) ) ) )b b b b递减递减递减递减递增递增递增递增b b b b由表知：当由表知：当x(0x(0，a)a)时，函数时，函数f(xf(x) )为减函数；为减函数；当当x(a,3a)x(a,3a)时，函数时，函数f(xf(x) )为增函数为增函数. .所以当所以当x=ax=a时，时，f(xf(x) )的最小值为的最小值为 ；当当x=0x=0或或x=3ax=3a时，时，f(xf(x) )的最大值为的最大值为b.b.【方法总结方法总结】已知函数最值求参数的步骤已知函数最值求参
17、数的步骤(1)(1)求求出出函函数数在在给给定定区区间间上上的的极极值值及及函函数数在在区区间间端端点点处处的函数值的函数值. .(2)(2)通通过过比比较较它它们们的的大大小小，判判断断出出哪哪个个是是最最大大值值，哪哪个个是最小值是最小值. .(3)(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决结合已知求出参数，进而使问题得以解决【巩固训练巩固训练】(2017(2017包头高一检测包头高一检测) )若函数若函数f(xf(x)=(x-1)(x+2)(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)+ax+b)的图象关于的图象关于x=0x=0对称，对称，则则f(xf(x) )的最小值为的最小值为( )
18、( )A. A. B. B. C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.因为函数因为函数f(xf(x)=(x-1)(x+2)(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)+ax+b)的图象关于的图象关于x=0x=0对称，所以对称，所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),即即-2(1-a+b)=0-2(1-a+b)=0，0=4(4+2a+b)0=4(4+2a+b)，求得，求得b=-2b=-2，a=-1a=-1，所以所以f(xf(x)=(x-1)(x+2)(x)=(x-1)(x+2)(x2-x-2)=x-x-2)=x4-5x-5x2+4+4，所以所
19、以显然，在显然，在 上上, ,f(xf(x) )0 0，f(xf(x) )为减函为减函数，在数，在 上，上，f(xf(x) )0 0，f(xf(x) )为增函为增函数，故当数，故当x= x= 时，时， ，当，当 时，时， , ,所以函数所以函数f(xf(x) )取最小值取最小值 . .类型三类型三 与最值有关的恒成立问题与最值有关的恒成立问题【典例典例3 3】(2017(2017潍坊高二检测潍坊高二检测) )已知函数已知函数f(xf(x) )x x3axax2bxbxc c在在 与与x x1 1处都取得极值处都取得极值(1)(1)求求a a，b b的值及函数的值及函数f(xf(x) )的单调区
20、间的单调区间. .(2)(2)若对若对xx1,21,2，不等式，不等式f(xf(x) )c c2恒成立，求恒成立，求c c的取值范围的取值范围【解题指南解题指南】(1)(1)由已知条件求由已知条件求a a，b b的值并确定函数的值并确定函数f(xf(x) )的单调区间的单调区间.(2).(2)对对xx1,21,2，不等式，不等式f(xf(x) )c c2恒成立应进行转化恒成立应进行转化. .【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)x x3 3axax2 2bxbxc c，f(xf(x) )3x3x2 22ax2axb b，因为因为f(1)f(1)3 32a2ab b0 0， ，解得解得 ，b
21、b2 2，所以，所以f(xf(x) )3x3x2x x2 2(3x(3x2)(x2)(x1)1)，当当x x变化时，变化时，f(xf(x) )，f(xf(x) )的变化情况如表：的变化情况如表：x x1 1(1(1，) )f(xf(x) )0 00 0f(xf(x) )极大值极大值极小值极小值所以函数所以函数f(xf(x) )的递增区间为的递增区间为 和和(1(1，) )；递减区间为递减区间为 (2)(2)由由(1)(1)知，知， ，xx1,21,2，当当 时，时， 为极大值，为极大值，因为因为f(2)f(2)2 2c c，所以，所以f(2)f(2)2 2c c为最大值为最大值要使要使f(xf
22、(x) )c c2 2(x(x1,21,2) )恒成立，只需恒成立，只需c c2 2f(2)f(2)2 2c c，解得，解得c c1 1或或c c2.2. 【延伸探究延伸探究】1.1.若若典典例例(1)(1)中中条条件件不不变变, ,问问法法改改为为求求函函数数f(xf(x) )在在区区间间-1-1，2 2上的最值，结果如何上的最值，结果如何. .【解解析析】f(xf(x)=(3x+2)(x-1)=(3x+2)(x-1)，当当x x变变化化时时, ,f(xf(x) )，f(xf(x) )变化情况如表：变化情况如表：x x x x-1-1-1-11 1 1 1(1,2(1,2(1,2(1,2)
23、) ) )2 2 2 2f(xf(xf(xf(x) ) ) )+ + + +0 0 0 0- - - -0 0 0 0+ + + +f(xf(xf(xf(x) ) ) )2+c2+c2+c2+c由于由于2+c ,2+c ,所以所以f(xf(x) )在区间在区间-1-1，2 2上的最大值为上的最大值为2+c,2+c,最小值为最小值为 . .2.2.若典例若典例(2)(2)中条件不变中条件不变, ,问法问法“若对若对xx1,21,2，不等式不等式f(xf(x) )c c2恒成立恒成立”改为改为“若存在若存在xx1,21,2，不等式不等式f(xf(x) )c c2成立成立”, ,结果如何？结果如何？
24、【解析解析】 ，xx1,21,2，当当x x1 1时，时， 为极小值，为极小值，又又 , ,所以所以 为最小值为最小值因为存在因为存在xx1,21,2，不等式，不等式f(xf(x) )c c2成立，成立，所以只需所以只需 ，解得，解得cRcR. .【方法总结方法总结】1.1.证证明明不不等等式式，研研究究方方程程根根的的个个数数、两两函函数数图图象象的的交交点点个个数数、图图象象的的分分布布范范围围等等问问题题，导导数数和和数数形形结结合合是是一一种种很很有有效效的的工工具具，经经常常通通过过分分析析函函数数的的变变化化情情况况，结合图形分析求解结合图形分析求解2 2恒成立问题向最值转化也是一
25、种常见题型恒成立问题向最值转化也是一种常见题型(1)(1)要要使使不不等等式式f(xf(x) )h h在在区区间间m m，n n上上恒恒成成立立，可可先先在在区区间间m m，n n上上求求出出函函数数的的最最大大值值f(x)f(x)max，只只要要h hf(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立，则上面的不等式恒成立(2)(2)要要使使不不等等式式f(xf(x) )h h在在区区间间m m，n n上上恒恒成成立立，可可先先在在区区间间m m，n n上上求求出出函函数数f(xf(x) )的的最最小小值值f(x)f(x)min，只要只要f(x)f(x)minh h，则不等式，则不等式f(xf(x
26、) )h h恒成立恒成立【补偿训练补偿训练】设函数设函数f(xf(x)=2x)=2x3+3ax+3ax2+3bx+8c+3bx+8c在在x=1x=1及及x=2x=2时取得极值时取得极值. .(1)(1)求求a,ba,b的值的值. .(2)(2)若对于任意的若对于任意的xx0,30,3，都有，都有f(xf(x) )c c2成立，成立，求求c c的取值范围的取值范围. .【解析解析】(1)f(x)=6x(1)f(x)=6x2 2+6ax+3b+6ax+3b，因为函数因为函数f(xf(x) )在在x=1x=1及及x=2x=2时取得极值，时取得极值，所以所以f(1)=0f(1)=0，f(2)=0,f(
27、2)=0,即即 ，解得，解得(2)(2)由由(1)(1)可知可知, ,f(xf(x)=2x)=2x3-9x-9x2+12x+8c+12x+8c，f(xf(x)=6x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).-18x+12=6(x-1)(x-2).当当x(0,1)x(0,1)时，时，f(xf(x) )0 0；当当x(1,2)x(1,2)时，时，f(xf(x) )0 0；当当x(2,3)x(2,3)时，时，f(xf(x) )0.0.所以，当所以，当x=1x=1时，时，f(xf(x) )取极大值取极大值f(1)=5+8c,f(1)=5+8c,又又f(0)=8cf(0)=8c，f(3)=9+8
28、c.f(3)=9+8c.所以当所以当xx0,30,3时时, ,f(xf(x) )的最大值为的最大值为f(3)=9+8c.f(3)=9+8c.因为对于任意的因为对于任意的xx0,30,3, ,都有都有f(xf(x) )c c2恒成立，恒成立，所以所以9+8c9+8cc c2，解得，解得c c-1-1或或c c9.9.因此因此c c的取值范围为的取值范围为(-,-1)(9,+).(-,-1)(9,+).【课堂小结课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结求最值的方法求最值的方法(1)(1)极极值值法法：对对开开区区间间上上的的连连续续函函数数，最最值值一一定定是是其其极极值值. .(2)(2)比比较较法法：对对于于闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数，通通过过比比较较极极值值与端点的函数值的大小求最值与端点的函数值的大小求最值. .
