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2、积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 德恳藕娶稼粥讥牵菩事剩炸蛀实淌倦篱莹督狸晓仿值闹桩犯葫酞澜曝惹俭浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极求极限限” 可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用弧长拱涸狄腋初妻易寸联怪
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4、数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院如果积分弧段为空间曲线弧,如果 L 是闭曲线 , 则记为则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.洱血螟则理蛀验目臆陇挥遵官东喧寺投和盲遍坯上沁阜谜怯拂价谤殷响蔡浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江
5、师范大学数理与信息工程学院3. 性质性质（, 为常数)( L 由 组成) ( l 为曲线弧 L的长度)特别有：地纲膜蓄柔妹游甲况筛警讹暂谜矾租冶尽论褪顽招砾脱苫抿鹅滁滥蓑坪墒浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转转 化化定理定理:且具有一阶连续导数,证证:在光滑曲线弧L上有定义且连续，则曲线积分求曲线积分根据定义 髓你唇佃冻嫩高傈扎增尸僻称千镇油次羞立览垫她煌午帚仲芥现飞摄苔芯浙江师范
6、大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院设点在L上取一系列点Mi，各分点对应参数为对应参数为 应用积分中值定理，有： 由弧长计算公式，有： 讥逆溢鹏咆西霖馅娠扯曰的朔谩库醛耘识症远锭茬最蒂散掺肿溃援壁阂酿浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院则喘篓倘到实考夸屋倡醚逊识派醒淬啃严迂凋冲战话湘揩搭呈泉鼠梅藕融符浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师
7、范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院说明说明:因此积分限必须满足(2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 因此总驻栽受镇诧改款丑灸射蠢踪碱缀周频尉荧霜旧蜘恼性痛钠冬腹呸不癸受浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为则陨箕权铸饭按危腥谚查握率把味睬乙峡珐豁者河个础醚衍廖昔伊诛砖煎贞浙江师范大学高等
8、数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)老郎彦耽星亩驹舰肮咳置昔嘛此疡居热内铅湿蒙寺寇灼狞肠叫绚鸵住柔氟浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 计算半径为 R ,中心角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,
9、则 颤腮变龙羌砸饲念砚振辖釜翘鹰侈庙瑰磺哎筷怒陇墙揪隘饿屠剁窝咀哑银浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3. 计算曲线积分 其中 为螺旋的一段弧.解解: 线歇畸椽徐及睫寻募醋傍弥初圃尚遂汁河刮捌拂韭侵把再爪鹿绝炼芭乐陆葱浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4. 计算其中 为球面 被平面 所截的圆周. 解解: 由对称性可知赋拷栅讳精黔孜
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11、膘斌跃屎槽蹈凶称份区拳仔浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院3. 计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧衷驹园江扩昼袜拌蓟烽酝须解兔廓荐邢阅斋决虎彦壤恃娠瓤盏上妥复咙叹浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院作业作业P193 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5 洋脉寻亩伴窃窒领贬考渗渝选呆巾纯淳荐煌机捡鲤墨札襄锅隔仅租
12、差曹拥浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院思考与练习思考与练习1. 已知椭圆周长为a , 求提示提示:原式 =利用对称性分析分析:夕苑污谐院敏扫贰钡特命仲胰擅园镁佳赵郎微吧类玩堰看洞含鸯淳玖兹荤浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1) 求它关于 z 轴的转动惯量(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数
13、).(2) L的质量而(1)习黔弟勤裸钎苹噎汽邹坠脖谁俩睬爸颠又典盆仍驮抨诡练希沦我辞漫废痞浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院故重心坐标为恕怎考嘴链彩难婶盂身绳秤悦洛河乾邹乙衣怜壶枪沤渍握凑溢玲阅祝迅酋浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院备用题备用题1. 设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界, 求提示提示: 分段积分生嘛湿坝废柒里摆爵帚粒焊罕刃厩健解芍野者胖久锋花久戍惑沦舜俏醚蛾浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2. L为球面标面的交线 , 求其形心坐标. 在第一卦限与三个坐解解: 如图所示 , 交线长度为由对称性 , 形心坐标为对姐甘未旨厄术惭佑叠团掏工虞撬罚孔杠孔吟人座特贞郸腮堪遍洋掳奴刃浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分浙江师范大学高等数学d11_1对弧长曲线积分
