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1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版1.2利用二分法求方程的近似解问题引航引航1.1.什么是二分法什么是二分法? ?用二分法求方程近似解的用二分法求方程近似解的过程是什么程是什么? ?2.2.适用二分法求函数零点的条件是什么适用二分法求函数零点的条件是什么? ?二分法的二分法的实质是是什么什么? ?如何借助二分法求方程的近似解如何借助二分法求方程的近似解? ?1.1.二分法的概念二分法的概念(1)(1)满足的条件：函数满足的条件：函数y=f(x)y=f(x)的图像在区间的图像在区间a,ba,b上连续不断上连续不断且且_._.(2)(2)过程：过程：每次取区间的每次取区间的_,_,将区间一分为二
2、将区间一分为二; ;再经比较再经比较, ,按需要留下其中一小区间按需要留下其中一小区间. .f(a)f(a)f(b)0f(b)0中点中点2.2.二分法求方程解的过程二分法求方程解的过程(1)(1)二分法求方程解的过程二分法求方程解的过程( (如图所示如图所示) )：中点函数中点函数值值(2)(2)请结合上述过程完成下列对应关系：请结合上述过程完成下列对应关系：1.1.判一判：判一判：( (正确的打正确的打“”, ,错误的打错误的打“”) )(1)(1)任何方程的近似解都可用二分法求出任何方程的近似解都可用二分法求出.(.() )(2)(2)二分法所求出的方程的近似解都不是精确的二分法所求出的方
3、程的近似解都不是精确的.(.() )(3)(3)“二分法二分法”求方程的近似解一定可将求方程的近似解一定可将f(x)=0f(x)=0在在a,ba,b内的所内的所有解都求出有解都求出.(.() )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)设函数设函数y=f(x)y=f(x)的图像在区间的图像在区间(a,b)(a,b)上是连续的上是连续的, ,且且f(a)f(b)f(a)f(b)0,0,取取x x0 0= ,= ,若若f(a)f(xf(a)f(x0 0)0,)0,则利用二分法求方程近似解时则利用二分法求方程近似解时取有解区间为取有解区间为. .
4、(2)(2)用二分法研究函数用二分法研究函数f(x)=xf(x)=x3 3+3x-1+3x-1的零点时的零点时, ,第一次经计算第一次经计算f(0)0,f(0)0,可得其中一个零点可得其中一个零点x x0 0, ,第二次第二次应计算应计算. .(3)(3)已知二次函数已知二次函数f(x)=xf(x)=x2 2-x-6-x-6在区间在区间1,41,4上的图像是一条连续上的图像是一条连续的曲线的曲线, ,且且f(1)=-60,f(1)=-60,由零点存在性定理可知函数在由零点存在性定理可知函数在1,41,4内有零点内有零点, ,用二分法求解时用二分法求解时, ,取取1,41,4的中点的中点a,a,
5、则则f(a)=f(a)=. .【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .如方程如方程(x-1)(x-1)2 2=0=0的近似解为的近似解为1,1,就不能用二分法求出就不能用二分法求出. .(2)(2)错误错误. .有时用二分法求出的值也是方程的精确值有时用二分法求出的值也是方程的精确值, ,如如x-1=0.x-1=0.(3)(3)错误错误. .若方程若方程f(x)=0f(x)=0在在a,ba,b内有多个解时内有多个解时, ,则用二分法求解则用二分法求解时时, ,只能求得其中一个近似值只能求得其中一个近似值. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.(1)2.(1)利用二分法求
6、方程近似解时利用二分法求方程近似解时, ,根据求方程的近似解的一般根据求方程的近似解的一般步骤步骤, ,由于由于f(a)f(xf(a)f(x0 0)0,)0,则取其对应的端点则取其对应的端点(a,x(a,x0 0) )为新的区间为新的区间. .答案：答案：(a,x(a,x0 0) )(2)(2)由由f(0)f(0)f(0.5)0,f(0.5)0,故其中一零点故其中一零点x x0 0(0,0.5),(0,0.5),第二次计算第二次计算时取区间时取区间(0,0.5)(0,0.5)的中点的中点0.25,0.25,故第二次计算故第二次计算f(0.25).f(0.25).答案：答案：(0,0.5)(0,
7、0.5)f(0.25)f(0.25)(3)1,4(3)1,4的中点为的中点为2.5,2.5,则则f(2.5)=2.5f(2.5)=2.52 2-2.5-6=-2.25.-2.5-6=-2.25.答案：答案：-2.25-2.25【要点探究要点探究】知识点知识点 二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解1.1.用二分法求方程实数解的近似值的应用原理用二分法求方程实数解的近似值的应用原理二分法就是通过不断地将所选区间一分为二二分法就是通过不断地将所选区间一分为二, ,使区间的两个端使区间的两个端点逐步逼近方程实数解点逐步逼近方程实数解, ,直至找到方程实数解附近足够小的区直至找到方程实数解附近足够小
8、的区间间, ,根据所要求的精度根据所要求的精度, ,用此区间的所有数值近似地表示真正的用此区间的所有数值近似地表示真正的方程实数解的方法方程实数解的方法. .2.2.使用使用“二分法二分法”求方程的近似解时要注意的两个方面求方程的近似解时要注意的两个方面(1)(1)选好计算的初始区间选好计算的初始区间, ,保证所选区间既要符合条件保证所选区间既要符合条件, ,又要使又要使其长度尽量小其长度尽量小. .(2)(2)计算时要注意依据给定的精度计算时要注意依据给定的精度, ,及时检验计算所得的区间是及时检验计算所得的区间是否满足这一精度否满足这一精度. .【知识拓展知识拓展】二分法的记忆口诀二分法的
9、记忆口诀函数连续值两端函数连续值两端, ,相乘为负有零点相乘为负有零点, ,区间之内有一数区间之内有一数, ,方程成立很显然方程成立很显然, ,要求方程近似解要求方程近似解, ,先看零点的区间先看零点的区间, ,每次区间分为二每次区间分为二, ,分后两端近零点分后两端近零点. .【微思考微思考】(1)(1)用二分法只能求方程的近似解吗用二分法只能求方程的近似解吗? ?提示：提示：不是不是. .在区间选择合适的条件下在区间选择合适的条件下, ,有时也可以用二分法求有时也可以用二分法求出方程的精确的解出方程的精确的解. .(2)(2)用二分法求方程零点的近似解时用二分法求方程零点的近似解时, ,结
10、果唯一吗结果唯一吗? ?提示：提示：求方程零点的近似解时求方程零点的近似解时, ,所要求的精度不同所要求的精度不同, ,得到的结果得到的结果也不相同也不相同. .【即时练即时练】已知方程已知方程lnx+2x-6=0.lnx+2x-6=0.按照要求按照要求, ,完成下列填空：完成下列填空：(1)f(2)f(3)(1)f(2)f(3)0,0,此时在区间此时在区间内有解内有解. .(2)f(2.5)f(3)(2)f(2.5)f(3)0,0,此时在区间此时在区间内有解内有解. .(3)f(2.5)f(2.75)(3)f(2.5)f(2.75)0,0,此时在区间此时在区间内有内有解解. .(4)f(2.
11、5)f(4)f(2.5)f()0,)0,此时在区间此时在区间内有解内有解. .【解析解析】(1)f(2)=ln2+4-6=ln2-20.(1)f(2)=ln2+4-6=ln2-20.于于是是f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,所以在区间所以在区间(2,3)(2,3)内有解内有解. .(2)(2)由于由于f(2.5)=ln2.5+5-6=ln2.5-10,f(2.5)=ln2.5+5-6=ln2.5-10,f(3)0,因此因此f(2.5)f(2.5)f(3)0,f(3)0,f(2.75)=ln2.75+5.5-6=ln2.75-0.50,所以所以f(2.5)f(2.5)f(2.75)0.f(
12、2.75)0,0.750,所以所以f(2.5)f(2.5)f(2.625)0,f(2.625)0,因此还会在区间因此还会在区间(2.5,2.625)(2.5,2.625)内有解内有解. .答案：答案：(1)(1)(2,3)(2,3)(2)(2)(2.5,3)(2.5,3)(3)(3)(2.5,2.75)(2.5,2.75)(4)2.625(4)2.625(2.5,2.625)(2.5,2.625)【题型示范题型示范】类型一类型一 二分法的概念及原理二分法的概念及原理【典例典例1 1】(1)(1)下面关于二分法的叙述下面关于二分法的叙述, ,正确的是正确的是( () )A.A.用二分法可求所有函
13、数零点的近似值用二分法可求所有函数零点的近似值B.B.用二分法求方程的近似解时用二分法求方程的近似解时, ,精度可以为小数点后的任一位精度可以为小数点后的任一位C.C.二分法无规律可循二分法无规律可循D.D.只有在求函数零点时才用二分法只有在求函数零点时才用二分法(2)(2)下列函数中能用二分法求零点的是下列函数中能用二分法求零点的是( () )【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中二分法的实质是什么中二分法的实质是什么? ?2.2.题题(2)(2)中能用二分法求零点的函数图像有什么特点中能用二分法求零点的函数图像有什么特点? ?【探究提示探究提示】1.1.二分法的实质就是通过不断选取
14、区间的中点二分法的实质就是通过不断选取区间的中点, ,将区间一分为二将区间一分为二, ,逐次逼近逐次逼近, ,从而获得零点近似值从而获得零点近似值. .2.2.能用二分法求零点的函数图像其特征为：图像经过能用二分法求零点的函数图像其特征为：图像经过x x轴轴, ,且与且与x x轴交点处两侧的函数值符号相反轴交点处两侧的函数值符号相反. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.AB.A错错, ,因为只有函数在零点附近是连续不因为只有函数在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号断且在该零点左右函数值异号, ,才可以用二分法求函数的零点才可以用二分法求函数的零点的近似值的近似值.C.C错错,
15、,因为二分法有规律可循因为二分法有规律可循, ,可以通过计算机来进行可以通过计算机来进行.D.D错错, ,因为实际生活中也可以用二分法因为实际生活中也可以用二分法. .(2)(2)选选C.C.在在A A中中, ,函数无零点函数无零点. .在在B B和和D D中中, ,函数有零点函数有零点, ,但它们在零但它们在零点左右的函数值符号相同点左右的函数值符号相同, ,因此它们都不能用二分法来求零点因此它们都不能用二分法来求零点. .而在而在C C中中, ,函数图像是连续不断的函数图像是连续不断的, ,且图像与且图像与x x轴有交点轴有交点, ,并且在并且在零点左右的函数值符号相反零点左右的函数值符号
16、相反, ,所以所以C C中的函数能用二分法求其零中的函数能用二分法求其零点点, ,故选故选C.C.【延伸探究延伸探究】若把本例若把本例(2)(2)的图像换成如图所示的图像的图像换成如图所示的图像, ,则零点则零点的个数为的个数为, ,可以用二分法求解的个数为可以用二分法求解的个数为. .【解析解析】题中图像与题中图像与x x轴有轴有4 4个交点个交点, ,所以零点的个数为所以零点的个数为4;4;左、左、右函数值异号的有右函数值异号的有3 3个零点个零点, ,所以可以用二分法求解的个数为所以可以用二分法求解的个数为3.3.答案：答案：4 43 3【方法技巧方法技巧】判定函数能否用二分法求零点的两
17、个依据判定函数能否用二分法求零点的两个依据(1)(1)图像在零点附近是连续不断的图像在零点附近是连续不断的. .(2)(2)在零点左右的函数值符号相反在零点左右的函数值符号相反. .【变式训练变式训练】下列函数中不能用二分法求零点的是下列函数中不能用二分法求零点的是( () )A.f(x)=2x+3 B.f(x)=lnx+2x-6A.f(x)=2x+3 B.f(x)=lnx+2x-6C.f(x)=xC.f(x)=x2 2-2x+1 -2x+1 D.f(x)=2D.f(x)=2x x-1-1【解析解析】选选C.C.因为因为f(x)=xf(x)=x2 2-2x+1=(x-1)-2x+1=(x-1)
18、2 20,0,在零点的左右两侧在零点的左右两侧函数值同号函数值同号, ,故不能用二分法求其零点故不能用二分法求其零点, ,故应选故应选C.C.【误区警示误区警示】本题易因对二分法的定义理解不透彻而错选本题易因对二分法的定义理解不透彻而错选D.D.【补偿训练补偿训练】用用“二分法二分法”可求近似解可求近似解, ,对于精度对于精度说法正确说法正确的是的是( () )A.A.越大越大, ,零点的精度越高零点的精度越高B.B.越大越大, ,零点的精度越低零点的精度越低C.C.重复计算次数就是重复计算次数就是D.D.重复计算次数与重复计算次数与无关无关【解析解析】选选B.B.精度精度决定计算的次数决定计
19、算的次数, ,其直接影响零点的精度其直接影响零点的精度,越大越大, ,零点的精度越低零点的精度越低,越小越小, ,零点的精度越高零点的精度越高. .类型二类型二 求函数零点的近似值求函数零点的近似值【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014重庆高一检测重庆高一检测) )根据下表根据下表, ,用二分法求函数用二分法求函数f(x)=xf(x)=x3 3- -3x+13x+1在区间在区间(1,2)(1,2)上的零点的近似值上的零点的近似值( (精度精度0.1)0.1)是是. .(2)(2)求函数求函数f(x)=xf(x)=x3 3+2x+2x2 2-3x-6-3x-6的一个正数零点的一个正数
20、零点.(.(精度为精度为0.04).0.04).f(1)=-1f(1)=-1f(2)=3f(2)=3f(1.5)=-0.125f(1.5)=-0.125f(1.75)f(1.75)=1.109 375=1.109 375f(1.625)f(1.625)=0.416 015 62=0.416 015 62f(1.562 5)f(1.562 5)=0.127 197 27=0.127 197 27【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中精度中精度0.10.1说明了什么说明了什么? ?2.2.题题(2)(2)中求函数零点应怎样确定零点所在的初始区间中求函数零点应怎样确定零点所在的初始区间? ?
21、【探究提示探究提示】1.1.题题(1)(1)中精度中精度0.10.1说明了说明了“二分法二分法”计算的终止计算的终止条件条件. .2.2.题题(2)(2)中求函数零点的初始区间可通过取几个特殊值中求函数零点的初始区间可通过取几个特殊值, ,通过函通过函数值的正负来确定数值的正负来确定. .【自主解答自主解答】(1)(1)由上表可知由上表可知f(1.5)f(1.5)f(1.5625)0,f(1.5625)0,且且|1.5625-1.5|=|0.0625|0.1|1.5625-1.5|=|0.0625|0.1故函数故函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x+1-3x+1在区间在区间(1,2)(1,
22、2)上的零点的近似值为上的零点的近似值为1.56.1.56.答案：答案：1.561.56(2)(2)由于由于f(1)=-60,f(1)=-60,可取区间可取区间1,21,2作为计算的初始作为计算的初始区间区间, ,用二分法逐次计算用二分法逐次计算, ,列表如下：列表如下：区间区间中点中点中点函数值中点函数值区间长度区间长度1,21,21.51.5-2.625-2.6251 11.5,21.5,21.751.750.234 40.234 40.50.51.5,1.751.5,1.751.6251.625-1.302 7-1.302 70.250.251.625,1.751.625,1.751.6
23、87 51.687 5-0.561 8-0.561 80.1250.1251.687 5,1.751.687 5,1.751.718 751.718 75-0.170 7-0.170 70.062 50.062 51.718 75,1.751.718 75,1.750.031 250.031 25由于由于1.75-1.71875=0.031250.04,1.75-1.71875=0.031250.04,因此可以取因此可以取(1.71875,1.75)(1.71875,1.75)内的任意一个数作为函数零点的近内的任意一个数作为函数零点的近似值似值. .我们不妨取我们不妨取1.741.74作为函数
24、作为函数f(x)=xf(x)=x3 3+2x+2x2 2-3x-6-3x-6的一个正数零的一个正数零点的近似值点的近似值. .【方法技巧方法技巧】1.1.在给定精度在给定精度下下, ,用二分法求方程用二分法求方程f(x)=0f(x)=0近似解的四个步骤近似解的四个步骤(1)(1)定区间：确定有解区间定区间：确定有解区间a,b,a,b,验证验证f(a)f(a)f(b)0.f(b)0.(2)(2)取中点：求区间取中点：求区间(a,b)(a,b)的中点的中点x x1 1= .= .(3)(3)计算计算f(xf(x1 1) )：若若f(xf(x1 1)=0,)=0,则则x x1 1就是方程就是方程f(
25、x)=0f(x)=0的解的解, ,计算终止计算终止; ;若若f(a)f(a)f(xf(x1 1)0,)0,则令则令b=xb=x1 1( (此时实数解此时实数解x x0 0(a,x(a,x1 1););若若f(xf(x1 1) )f(b)0,f(b)0,则令则令a=xa=x1 1( (此时实数解此时实数解x x0 0(x(x1 1,b).,b).(4)(4)判断是否达到精度判断是否达到精度：即若即若|a-b|,|a-b|,则则(a,b)(a,b)内任意一个数都是满足精度内任意一个数都是满足精度的近似的近似解解, ,否则重复否则重复(2)(2)(4).(4).2.2.应用二分法需注意的问题应用二分
26、法需注意的问题(1)(1)精度：要看清题目要求的精度精度：要看清题目要求的精度, ,它决定着二分法步骤的结束它决定着二分法步骤的结束. .(2)(2)初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间, ,在精度给定在精度给定的情况下的情况下, ,不同的初始区间结果是相同的不同的初始区间结果是相同的. .(3)(3)方程根的选取：当区间长度符合方程根的选取：当区间长度符合“精度精度”的要求后正确的要求后正确选取方程的根选取方程的根. .当区间当区间aan n,b,bn n 的长度的长度|a|an n-b-bn n|时时, ,这个近似值可以是区间这个近似值可以是区间
27、(a(an n,b,bn n) )内任意一个数内任意一个数. .【变式训练变式训练】(2014(2014合肥高一检测合肥高一检测) )若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x-2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, ,其参考数据如下：其参考数据如下：那么方程那么方程x x3 3+x+x2 2-2x-2=0-2x-2=0的一个近似解为的一个近似解为( (精度为精度为0.1).0.1).f(1)=-2f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.25)=-0.984f(1.
28、375)=f(1.375)=-0.260-0.260f(1.437 5)f(1.437 5)=0.162=0.162f(1.406 25)f(1.406 25)=-0.054=-0.054【解题指南解题指南】借助表格中的数据直接检验精度是否满足借助表格中的数据直接检验精度是否满足0.1,0.1,然然后给出答案便可后给出答案便可. .【解析解析】由表中数据知由表中数据知|1.4375-1.375|=0.06250.1,|1.4375-1.375|=0.06250.1,所以方程所以方程x x3 3+x+x2 2-2x-2=0-2x-2=0的一个近似解为的一个近似解为1.4375.1.4375.答案
29、：答案：1.4375(1.4375(答案不唯一答案不唯一) )【补偿训练补偿训练】求函数求函数f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x-3+3x-3的一个近似零点的一个近似零点( (精度精度0.1).0.1).【解析解析】经计算经计算,f(0)=-30,f(0)=-30,所以函数在所以函数在(0,1)(0,1)内存在零点内存在零点, ,取取(0,1)(0,1)的中点的中点0.5,0.5,经计算经计算f(0.5)0,f(0.5)0,f(1)0,所以方程所以方程2x2x3 3+3x-3=0,+3x-3=0,在在(0.5,1)(0.5,1)内有实数根内有实数根. .如此继续下去如此继续下去, ,得到
30、方程的一个实数根所在的区间得到方程的一个实数根所在的区间, ,如表：如表：因为因为|0.6875-0.75|=0.06250.1,|0.6875-0.75|=0.06250.1,所以函数所以函数f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x-3+3x-3的的一个近似零点可取为一个近似零点可取为0.75.0.75.(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)的中点的中点f(a)f(a)f(b)f(b)(0,1)(0,1)0.50.5f(0)0f(0)0f(1)0f(0.5)0f(0.5)0(0.5,1)(0.5,1)0.750.75f(0.5)0f(0.5)0f(1)0f(0.75)0f(0.75)0(0
31、.5,0.75)(0.5,0.75)0.6250.625f(0.5)0f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)f(0.625)00(0.625,(0.625,0.75)0.75)0.687 50.687 5f(0.625)f(0.625)00f(0.75)0f(0.687 5)f(0.687 5)00)(a0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为 则下列说法中正确的是则下列说法中正确的是( )( )A A函数函数f(x)f(x)在区间在区间 内一定有零点内一定有零点B B函数函数f(x)f(x)在区间在区间 或或
32、内有零点内有零点C C函数函数f(x)f(x)在在 内无零点内无零点D D函数函数f(x)f(x)在区间在区间 或或 内有零点，或零点是内有零点，或零点是【解析解析】选选D.D.根据二分法原理，依次根据二分法原理，依次“二分二分”区间后，零点应区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在存在于更小的区间，因此，零点应在故应选故应选D.D.【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选A A在阴影处在阴影处, ,受思维定式的影响错选受思维定式的影响错选A A选选B B在阴影处在阴影处, ,因忘记端点因忘记端点“ ”也可能为零点也可能为零点, ,而而导致错选导致错选B B【防范措施防范措施】注
33、意二分法的求解原理注意二分法的求解原理(1)(1)二分法是不断把区间一分为二逐渐逼近零点的方法二分法是不断把区间一分为二逐渐逼近零点的方法. .有时中有时中点值会恰好为函数的零点点值会恰好为函数的零点. .如本例中如本例中“f f 0 0”有可能成立有可能成立. .(2)(2)要注意区间的取舍要注意区间的取舍. .区间每次一分为二，均可把原区间的长区间每次一分为二，均可把原区间的长度减半，从而保留端点值异号的区间，而该区间在检验之前并度减半，从而保留端点值异号的区间，而该区间在检验之前并不知道舍弃哪个区间，如本例中在检验之前并不知道区间不知道舍弃哪个区间，如本例中在检验之前并不知道区间 和和
34、哪一个会被舍弃哪一个会被舍弃. .【类题试解类题试解】对于函数对于函数f(x)f(x)在定义域内用二分法的求解过程在定义域内用二分法的求解过程如下：如下：f(2011)0,f(2012)0,f(2011)0,f(2012)0,则下列叙述正确的则下列叙述正确的是是( () )A.A.函数函数f(x)f(x)在在(2011,2012)(2011,2012)内不存在零点内不存在零点B.B.函数函数f(x)f(x)在在(2012,2013)(2012,2013)内不存在零点内不存在零点C.C.函数函数f(x)f(x)在在(2012,2013)(2012,2013)内存在零点内存在零点, ,并且仅有一个并且仅有一个D.D.函数函数f(x)f(x)在在(2011,2012)(2011,2012)内可能存在零点内可能存在零点【解析解析】选选D.D.由于二分法只适合求解连续函数且在零点左右的由于二分法只适合求解连续函数且在零点左右的函数值的符号相反的零点函数值的符号相反的零点, ,对于在零点左右函数值的符号相同对于在零点左右函数值的符号相同的函数则无法求解的函数则无法求解, ,故尽管故尽管f(2011)0,f(2012)0,f(2011)0,f(2012)0,但函数但函数f(x)f(x)在在(2011,2012)(2011,2012)内可能存在零点内可能存在零点, ,故故D D正确正确. .
