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1、第第8课时棱柱与棱棱柱与棱锥1棱柱、棱棱柱、棱锥的定的定义棱柱棱柱棱棱锥定定义有两个面互相有两个面互相 ，其余，其余各面都是各面都是 ，并且每相，并且每相邻两个四两个四边形的公共形的公共边都互相都互相 ，这些面些面围成的几何体成的几何体有一个面是有一个面是 ，其余各面，其余各面是是 的三角形，的三角形，由由这些面些面围成的几何体成的几何体平行平行四四边形形平行平行多多边形形有一个公共有一个公共顶点点底面底面 多多边形形侧面面其余各面其余各面侧棱棱 顶点点 高高两个底面两个底面间的距离的距离 互相平行的面互相平行的面两个两个侧面的公共面的公共边侧面与底面的公共面与底面的公共顶点点各各侧面的公共面
2、的公共顶点点顶点到底面的距离点到底面的距离2.棱柱、棱棱柱、棱锥的性的性质棱柱棱柱棱棱锥侧面面 侧棱棱平行且相等平行且相等交于一点交于一点平行于底面平行于底面的截面的截面 纵截面截面平行四平行四边形形三角形三角形平行四平行四边形形三角形三角形与底面全等的多与底面全等的多边形形与底面相似的多与底面相似的多边形形3.正棱正棱锥( (1) )定定义底面是底面是 ，并且，并且顶点在底面上的射影是底面的点在底面上的射影是底面的 ，这样的棱的棱锥叫做正棱叫做正棱锥( (2) )性性质侧面是面是 ，与底面所成二面角均，与底面所成二面角均 ；侧棱均棱均 ，侧棱与底面所成的角均棱与底面所成的角均 ；平行于底面的
3、截面也是平行于底面的截面也是 正多正多边形形中心中心全等的等腰三角形全等的等腰三角形相等相等相等相等相等相等正多正多边形形4体体积与面与面积( (1) )柱体体柱体体积公式公式为V ，其中，其中 为底面面底面面积， 为高高( (2) )锥体体体体积公式公式为V Sh，其中，其中 为底面面底面面积， 为高高( (3) )棱柱的棱柱的侧面面积是各是各侧面面 ，直棱柱的，直棱柱的侧面面积是底面是底面周周长与与 ；棱；棱锥的的侧面面积是各是各侧面面 ，正棱，正棱锥的的侧面面积是底面周是底面周长与与 ( (4) )全面全面积等于等于 与与 之和，即之和，即S全全S侧S底底ShShSh平行四平行四边形面形
4、面积之和之和侧棱棱长的的积三角形面三角形面积之和之和斜高乘斜高乘积的一半的一半侧面面积底面底面积1正四棱正四棱锥的的侧棱棱长与底面与底面边长都是都是1，则侧棱与底面所成的角棱与底面所成的角为( () )A75B60C45 D30答案：答案：C2棱柱成棱柱成为直棱柱的一个必要非充分条件是直棱柱的一个必要非充分条件是( () )A棱柱有一条棱柱有一条侧棱和底面垂直棱和底面垂直B棱柱有一条棱柱有一条侧棱和底面的两棱和底面的两边垂直垂直C棱柱有一个棱柱有一个侧面和底面的一条面和底面的一条边垂直垂直D棱柱有一个棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直面是矩形且和底面垂直解析：解析：A是充要条件；是充要条件；C是
5、非必要条件；是非必要条件；D是充要条件是充要条件正确答案是正确答案是B.答案：答案：B3一个三棱一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面面( () )A必然都是非直角三角形必然都是非直角三角形B至多只能有一个是直角三角形至多只能有一个是直角三角形C至多只能有两个是直角三角形至多只能有两个是直角三角形D可能都是直角三角形可能都是直角三角形解析：解析：例如三棱例如三棱锥PABC中，若中，若PA 面面ABC，ABC90，则四四个个侧面均面均为直角三角形直角三角形答案：答案：D4底面半径底面半径为2的的圆锥被被过高的中点且平行于底面的平面所截，高的
6、中点且平行于底面的平面所截，则截面截面圆的面的面积为_解析：解析：由由题意知截面意知截面圆的半径的半径为1，所以截面，所以截面圆的面的面积为.答案：答案：5已知正六棱已知正六棱锥的底面的底面边长为a，侧棱棱长为2a，则它的最大它的最大对角面的面角面的面积为_答案：答案：此此题型主要研究直棱柱和正棱型主要研究直棱柱和正棱锥的概念及性的概念及性质，对于正棱于正棱锥要注意要注意它与正多面体的区它与正多面体的区别与与联系，棱柱的性系，棱柱的性质较为简单，棱，棱锥的性的性质实际上上就是就是侧棱、斜高及棱、斜高及锥体的高等之体的高等之间的关系的关系问题 在下列命在下列命题中，真命中，真命题的个数的个数为(
7、 () )正棱正棱锥的的侧面与底面所成的二面角均相等；面与底面所成的二面角均相等；正棱正棱锥的的侧棱与底面所成的棱与底面所成的线面角均相等；面角均相等；正棱正棱锥的的对角面均垂直底面；角面均垂直底面；正棱正棱锥的的顶点在底面上的射影是底面正多点在底面上的射影是底面正多边形的中心；形的中心；侧面都是等腰三角形的棱面都是等腰三角形的棱锥是正棱是正棱锥A1B2C3 D4解析：解析：由于正棱由于正棱锥的各的各侧棱棱长、斜高均相等，故、斜高均相等，故对应的二面角、的二面角、侧棱与底面所成的角也相等，故棱与底面所成的角也相等，故正确根据正棱正确根据正棱锥的定的定义知知正确正确对于于，其中的，其中的对角面有
8、多种情况，如五棱角面有多种情况，如五棱锥、六棱、六棱锥等，故等，故不正确不正确中中对等腰三角形的腰是否等腰三角形的腰是否为侧棱未作棱未作说明，故不正确故明，故不正确故选C.答案：答案：C变式式训练1.下列命下列命题中，正确的是中，正确的是( () )A有两个有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱面是矩形的棱柱是直棱柱B侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱面是全等矩形的棱柱是正棱柱C侧面都是矩形的直四棱柱是面都是矩形的直四棱柱是长方体方体D底面底面为正多正多边形，且有相形，且有相邻两个两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：解析：认识棱柱一般要从棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多棱
9、与底面的垂直与否和底面多边形的形状形的形状两方面去分析，故两方面去分析，故A，C都不都不够准确，准确，B中棱柱底面可以中棱柱底面可以为菱形，也不正确，菱形，也不正确，故故选D.答案：答案：D在棱在棱锥、棱柱中、棱柱中进行行线线、线面、面面的平行与垂直的面、面面的平行与垂直的证明，除了要明，除了要正确使用判定定理与性正确使用判定定理与性质定理外，定理外，对几何体本身所具有的性几何体本身所具有的性质也要正确也要正确把握如正棱把握如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等，其、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等，其次次还要注意各种平行与垂直之要注意各种平行与垂直之间的相互的相互转化
10、，如将化，如将线线平行平行转化化为线面面平行或面面平行来解决平行或面面平行来解决 如如图，四棱，四棱锥S SABCDABCD的底面的底面ABCDABCD是直角梯形，已知是直角梯形，已知SDSD垂直底面垂直底面ABCDABCD，且，且ADCADCBCDBCD9090，BCBCCDCD2AD.2AD.(1)(1)求求证：平面：平面SBCSBC平面平面SCD.SCD.(2)E(2)E为侧棱棱SBSB上的一点，上的一点， 为何何值时， AEAE平面平面SCDSCD？证明你的结论？证明你的结论解析：解析：( (1) ) SD 平面平面ABCD，SD BC.又又BC CD，故，故BC 平面平面SCD.BC
11、平面平面SBC，故平面故平面SBC 平面平面SCD.变式式训练2.如如图，正三棱柱，正三棱柱ABCA1B1C1的底面的底面边长为2，点，点E、F分分别是棱是棱CC1、BB1上的点，点上的点，点M是是线段段AC上的上的动点，点，EC2FB2.( (1) )当点当点M在何位置在何位置时，MB 平面平面AEF；( (2) )当当MB 平面平面AEF时，判断，判断MB与与EF的位置关系，的位置关系，说明理由明理由解析：解析：( (1) )若若MB 平面平面AEF，过F，B，M作平面作平面FBM交交AE于于N，连结MN，NF. BB1 平面平面A1ACC1，BF MN.又又BM 平面平面AEF，BM F
12、N，四四边形形BFNM为平行四平行四边形形以棱柱、棱以棱柱、棱锥为载体，求解角与距离体，求解角与距离问题时，应注意：解决空注意：解决空间角度角度问题，应特特别注意垂直关系如果空注意垂直关系如果空间角角为90，就不必，就不必转化化为平面角来平面角来求，可利用垂直关系求，可利用垂直关系证明求距离明求距离时借助借助辅助平面，将空助平面，将空间距离距离转化化为平平面距离来求面距离来求棱棱锥体体积具有自等性，即把三棱具有自等性，即把三棱锥的任何一个的任何一个顶点看作点看作顶点，相点，相对的面的面作作为底面，因此利用等底面，因此利用等积法可求点到平面的距离等法可求点到平面的距离等 在四棱在四棱锥EABCD
13、中，底面中，底面ABCD是矩形且是矩形且AB2BC2，侧面面ADE是正三角形且垂直于底面是正三角形且垂直于底面ABCD，F是是AB的中点，的中点，AD的中点的中点为O.求：求：( (1) )异面直异面直线AE与与CF所成角；所成角；( (2) )点点O到平面到平面EFC的距离；的距离；( (3) )二面角二面角EFCD的大小的大小解析：解析：( (1) )取取EB的中点的中点G，连结FGFG AE，则GFC为AE与与CF所成角，所成角，变式式训练3.如如图，正三棱柱，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱的各棱长都等于都等于2，D为AC1的中点，的中点，F为BB1的中点的中点( (1) )求求证：F
14、D AC1；( (2) )求二面角求二面角FAC1C的大小；的大小；( (3) )求点求点C1到平面到平面AFC的距离的距离解析：解析：方法一：方法一：( (1) )证明：明：连结AF，FC1，三棱柱三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱且各棱是正三棱柱且各棱长都等于都等于2，又，又F为BB1的中点，的中点，Rt ABF Rt C1B1F. AFFC1.在在AFC1中，中，D为AC1的中点，的中点，FD AC1.( (2) )取取AC的中点的中点E，连结BE及及DE，易得，易得DE与与FB平行且相等，平行且相等，四四边形形DEBF是平行四是平行四边形形FD与与BE平行平行三棱柱三棱柱ABCA1B1
15、C1是正三棱柱，是正三棱柱，ABC是正三角形是正三角形BE AC. FD AC.又又FD AC1，FD 平面平面ACC1. 二面角二面角FAC1C的大小的大小为90.方法二：方法二：( (B)( )(1) )取取BC的中点的中点O，建立如，建立如图所示的空所示的空间直角坐直角坐标系系求求侧面面积和体和体积问题要注意以下两点：要注意以下两点：( (1) )要熟要熟练地掌握棱柱、棱地掌握棱柱、棱锥的定的定义、性、性质以及以及侧面面积和体和体积公式公式( (2) )求求侧面面积、体、体积时要抓好以下三个要抓好以下三个环节：准确、熟准确、熟练地地记忆、应用各种面用各种面积、体、体积公式；公式；求出公式
16、所需要的量及求出公式所需要的量及对相关量相关量进行推理行推理论证；进行正确行正确简明的运算明的运算 已知正三棱柱已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面的底面边长为4，侧棱棱长为3，过BC的截面与底面成的截面与底面成30的二面角，的二面角，计算截面的面算截面的面积解析：解析：设截面与截面与侧棱棱AA1所在的直所在的直线交于点交于点D，取，取BC的中点的中点E，连接接AE、DE.ABC是等是等边三角形，三角形，AE BC. A1A 平面平面ABC，DE BC，DEA为截面与底面所成二面角的平面角，截面与底面所成二面角的平面角，DEA30. 等等边ABC的的边长为4，AE2 .在在Rt DAE中，中，
17、DAAEtan DEA2.因因AA13，D点在点在侧棱棱AA1上，截面上，截面为BCD，如，如图变式式训练4.如如图所示，已知三棱柱所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的各棱的各棱长均均为2，侧棱棱B1B与底面与底面ABC所成的角所成的角为 ，且，且侧面面ABB1A1垂直于底面垂直于底面ABC.( (1) )证明：明：AB CB1；( (2) )求三棱求三棱锥B1ABC的体的体积解析：解析：( (1) )如如图，在平面，在平面ABB1A1内，内，过B1作作B1D AB于于D，连结AB1. 侧面面ABB1A1 平面平面ABC，B1D 平面平面ABC，B1BA是是B1B与底面与底面ABC所成的角，所
18、成的角，B1BA60. 三棱柱的各棱三棱柱的各棱长均是均是2，ABB1是正三角形，是正三角形，D是是AB的中点的中点连结CD，在正三角形，在正三角形ABC中，中，CD AB，AB CB1.( (2) ) B1D 平面平面ABC，B1D是三棱是三棱锥B1ABC的高的高1对空空间几何体几何体结构的构的观察，要从整体上入手，遵循从整体到局部，察，要从整体上入手，遵循从整体到局部，具体到抽象的原具体到抽象的原则，能，能够区区别几种概念相近的几何体的特征性几种概念相近的几何体的特征性质2在面在面积与体与体积的的计算中，算中，应以棱以棱锥和不和不规则几何体的表面几何体的表面积、体、体积计算算为主，注意分割
19、与主，注意分割与补体等思想方法的灵活运用体等思想方法的灵活运用通通过近三年高考近三年高考试题的的统计分析，有以下的命分析，有以下的命题规律：律：1考考查热点：点：热点是以棱柱、棱点是以棱柱、棱锥为载体体综合考合考查有关有关线面位置关系、面位置关系、角与距离的角与距离的计算算2考考查形式：形式：选择、填空、解答、填空、解答题均可能出均可能出现3考考查角度：角度：一是直接考一是直接考查棱柱、棱棱柱、棱锥的定的定义和性和性质；二是有关面二是有关面积和体和体积的的计算；算；三是以棱柱、棱三是以棱柱、棱锥为载体考体考查有关有关线面位置关系、角与距离的面位置关系、角与距离的计算算4命命题趋势：高考仍将以：
20、高考仍将以选择题、填空、填空题的形式考的形式考查基本概念和性基本概念和性质；以解答；以解答题的形式借棱柱、棱的形式借棱柱、棱锥为载体体对有关有关线面位置关系的判断和面位置关系的判断和论证、角与距离以及面、角与距离以及面积和体和体积的的计算作算作综合考合考查 ( (2010陕西卷西卷) )如如图，在四棱，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA 平面平面ABCD，APAB2 ，BC2，E，F分分别是是AD，PC的中点的中点( (1) )证明：明：PC 平面平面BEF；( (2) )求平面求平面BEF与平面与平面BAP夹角的大小角的大小规范解答：范解答：方法一：方法一：( (
21、1) )证明：如明：如图，以，以A为坐坐标原点，原点，AB，AD，AP所在直所在直线分分别为x，y，z轴建立空建立空间直角坐直角坐标系系.1分分方法二：方法二：( (1) )证明：明：连结PE，EC，在在Rt PAE和和Rt CDE中中PAABCD，AEDE，PECE，即，即PEC是等腰三角形，是等腰三角形，又又F是是PC的中点，的中点，EF PC，3分分( (2) ) PA 平面平面ABCD，PA BC，又，又ABCD是矩形，是矩形，AB BC，7分分BC 平面平面BAP，BC PB，又由，又由( (1) )知知PC 平面平面BEF，8分分直直线PC与与BC的的夹角即角即为平面平面BEF与平
22、面与平面BAP的的夹角，角，9分分在在PBC中，中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面所以平面BEF与平面与平面BAP的的夹角角为45.12分分阅后后报告告本本题在求解在求解时不利用向量法，而采用方法二有一定不利用向量法，而采用方法二有一定难度，特度，特别在求二面角在求二面角时“找找”不到平面角，从而造成考生不能得分不到平面角，从而造成考生不能得分1( (2010福建卷福建卷) )如如图，若，若是是长方体方体ABCDA1B1C1D1被平面被平面EFGH截截去几何体去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中后得到的几何体，其中E为线段段A1B1上异于上异于B1的点，的点，F为线段段BB
23、1上异于上异于B1的点，且的点，且EH A1D1，则下列下列结论中不正确的是中不正确的是( () )AEH FGB四四边形形EFGH是矩形是矩形C是棱柱是棱柱D是棱台是棱台解析：解析：EH A1D1，EH BC，EH 平面平面BCC1B1.又又过EH的平面的平面EFGH与平面与平面BCC1B1交于交于FG，EH FG.故故A成立成立B中，易得四中，易得四边形形EFGH为平行四平行四边形，形，BC 平面平面ABB1A1，BC EF，即即FG EF，四四边形形EFGH为矩形矩形故故B正确正确C中可将中可将看做以看做以A1EFBA和和D1DCGH为上下底面，以上下底面，以AD为高的棱柱故高的棱柱故C正确正确答案：答案：D2( (2010辽宁卷宁卷) )已知三棱已知三棱锥PABC中，中，PA 平面平面ABC，AB AC，PAAC AB，N为AB上一点，上一点，AB4AN，M，S分分别为PB，BC的中点的中点( (1) )证明：明：CM SN；( (2) )求求SN与平面与平面CMN所成角的大小所成角的大小解析：解析：设PA1，以，以A为原点，射原点，射线AB，AC，AP分分别为x，y，z轴正向建立空正向建立空间直角坐直角坐标系如系如图练规范、练技能、练速度
