刚体力学实用教案

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1、一、刚体(gngt)(gngt)模型 刚体和质点一样是一种理想的力学模型刚体和质点一样是一种理想的力学模型 刚体可以看成是由无数质点构成的质点组刚体可以看成是由无数质点构成的质点组 刚体无论在多大的外力作用下或刚体无论刚体无论在多大的外力作用下或刚体无论作何运动，刚体内作何运动，刚体内(t ni)(t ni)任意两质点之间任意两质点之间的距离保持不变的距离保持不变F刚体：在外力的作用刚体：在外力的作用(zuyng)(zuyng)下，大小和形下，大小和形状都不变的物体状都不变的物体1 刚体运动的基本概念第1页/共75页第一页，共76页。二、 刚体(gngt)(gngt)的平动 第2页/共75页第

2、二页，共76页。第3页/共75页第三页，共76页。第4页/共75页第四页，共76页。第5页/共75页第五页，共76页。第6页/共75页第六页，共76页。第7页/共75页第七页，共76页。第8页/共75页第八页，共76页。第9页/共75页第九页，共76页。第10页/共75页第十页，共76页。 刚体质心的运动代刚体质心的运动代表表(dibio)了刚体了刚体平动中每一质元的平动中每一质元的运动运动F特点：各点位移特点：各点位移(wiy)(wiy)、速、速度、加速度均相同度、加速度均相同-可视为可视为质点质点F 各点的运动轨迹相同各点的运动轨迹相同F平动平动(pngdng)(pngdng)：刚体运动时

3、，其内部任何一条直线，：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变在运动中方向始终不变 刚体的平动的运动规刚体的平动的运动规律完全按符合质点律完全按符合质点运动规律运动规律第11页/共75页第十一页，共76页。FF转转转转动动动动：刚刚刚刚体体体体的的的的各各各各个个个个质质质质点点点点都都都都绕绕绕绕同同同同一一一一(tngy)(tngy)(tngy)(tngy)直直直直线线线线( ( ( (转转转转动轴动轴动轴动轴) ) ) )作圆周运动作圆周运动作圆周运动作圆周运动FF定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动: : : : 转轴转轴转轴转轴(zhunzhu)(zhunzhu)(zhun

4、zhu)(zhunzhu)固定不动固定不动固定不动固定不动的转动的转动的转动的转动FF转动轴：刚体转动围绕转动轴：刚体转动围绕转动轴：刚体转动围绕转动轴：刚体转动围绕(wiro)(wiro)的那条直线的那条直线的那条直线的那条直线三、 刚体的转动转轴可以是固定的或变化的转轴可以是固定的或变化的转轴可以是固定的或变化的转轴可以是固定的或变化的进动进动滚动滚动定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动第12页/共75页第十二页，共76页。FF刚体(gngt)的一般运动 = 平动 + 转动第13页/共75页第十三页，共76页。FF转动转动(zhun dng)(zhun dng)平面：垂直于转动平面：垂直于转动

5、(zhun dng)(zhun dng)轴所作的平面轴所作的平面（1 1 1 1）描述）描述(mio sh)(mio sh)(mio sh)(mio sh)刚体转动的物理量是：角位移、角速度、刚体转动的物理量是：角位移、角速度、角加速度等。角加速度等。转转转转动动动动平平平平面面面面0（2 2 2 2）运动学中讲过的角位移、角速度、角加速度等概念，以及）运动学中讲过的角位移、角速度、角加速度等概念，以及有关公式都可适用有关公式都可适用(shyng)(shyng)(shyng)(shyng)于刚体的定轴转动。于刚体的定轴转动。四、描述刚体转动的物理量第14页/共75页第十四页，共76页。FF任选

6、任选(rn xun)(rn xun)刚体上的任意点刚体上的任意点P P点为参考点点为参考点参考(cnko)方向转动(zhun dng)平面 (1) (1) (1) (1) 角坐标角坐标 ，角位移角位移 刚体沿逆时针方向转动时，刚体沿逆时针方向转动时， 和和为正值；为正值；刚体沿顺时针方向转动时，刚体沿顺时针方向转动时， 和和为负值。为负值。FF角坐标角坐标 、角位移角位移有正负之分，有正负之分，规定：规定：第15页/共75页第十五页，共76页。FF刚体刚体刚体刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt)对转轴的对转轴的对转轴的对转轴的( ( ( (瞬时瞬时瞬时瞬时) ) ) )角速度角

7、速度角速度角速度( ( ( (2) 2) 2) 2) 角速度角速度 转转转转动动动动平平平平面面面面0x参考方向参考方向 PvFF刚体定轴转动时，角速度可看成刚体定轴转动时，角速度可看成刚体定轴转动时，角速度可看成刚体定轴转动时，角速度可看成(kn chn)(kn chn)(kn chn)(kn chn)是只有正、负的代数是只有正、负的代数是只有正、负的代数是只有正、负的代数量。其正负可由右手螺旋法则决定。量。其正负可由右手螺旋法则决定。量。其正负可由右手螺旋法则决定。量。其正负可由右手螺旋法则决定。右手螺旋法则：拇指向上，若四指弯右手螺旋法则：拇指向上，若四指弯右手螺旋法则：拇指向上，若四指

8、弯右手螺旋法则：拇指向上，若四指弯曲方向与刚体的转动曲方向与刚体的转动曲方向与刚体的转动曲方向与刚体的转动(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)方方方方向一致（即刚体沿逆时针转动向一致（即刚体沿逆时针转动向一致（即刚体沿逆时针转动向一致（即刚体沿逆时针转动(zhun (zhun (zhun (zhun dng)dng)dng)dng)）时，则角速度）时，则角速度）时，则角速度）时，则角速度 为正，反之为正，反之为正，反之为正，反之 为负。为负。为负。为负。第16页/共75页第十六页，共76页。FF刚体刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt)

9、转动的角速度是矢量转动的角速度是矢量转转转转动动动动平平平平面面面面0x参考方向Pv方向：方向： 右手螺旋法则，即四指右手螺旋法则，即四指弯曲方向与刚体的转动方向一弯曲方向与刚体的转动方向一致致(yzh)(yzh)(yzh)(yzh)，拇指所指的方向即，拇指所指的方向即是。是。第17页/共75页第十七页，共76页。F刚体刚体(gngt)(gngt)对转轴的对转轴的( (瞬时瞬时) )角加速度角加速度(3) (3) (3) (3) 角加速度角加速度 00，角加速度方向与角坐标，角加速度方向与角坐标(zubio)(zubio)正方向相同，刚体会正方向相同，刚体会加快转动；加快转动； 00，角加速度

10、方，角加速度方向与角坐标向与角坐标(zubio)(zubio)正方向相正方向相反，刚体转动会减慢。反，刚体转动会减慢。F刚体刚体(gngt)(gngt)定轴转动时，角定轴转动时，角加速度可看成是只有正、负的加速度可看成是只有正、负的代数量。代数量。转转转转动动动动平平平平面面面面0x参考方向参考方向 Pv第18页/共75页第十八页，共76页。转转转转动动动动平平平平面面面面0x参考方向Pv 当刚体转动加快时，角加速度方向当刚体转动加快时，角加速度方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)与角速度方向与角速度方向(fngxing)(fngxing)(fngxin

11、g)(fngxing)相同；当刚体转动减慢时，相同；当刚体转动减慢时，二者方向二者方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)相反。相反。方向：方向： 的方向与的方向与相同相同FF刚体转动刚体转动(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)的角加速度是矢量的角加速度是矢量第19页/共75页第十九页，共76页。四、角量与线量的关系(gun x)转转转转动动动动平平平平面面面面0x参考方向Pv 刚体内各个质点的角位移、刚体内各个质点的角位移、刚体内各个质点的角位移、刚体内各个质点的角位移、角速度、角加速度相同，但由于角速度、角加速

12、度相同，但由于角速度、角加速度相同，但由于角速度、角加速度相同，但由于各个质点离转轴的距离各个质点离转轴的距离各个质点离转轴的距离各个质点离转轴的距离(jl)(jl)(jl)(jl)和方向各不相同，所以刚体内各和方向各不相同，所以刚体内各和方向各不相同，所以刚体内各和方向各不相同，所以刚体内各个质点的位移、速度、加速度个质点的位移、速度、加速度个质点的位移、速度、加速度个质点的位移、速度、加速度 ( ( ( (线量线量线量线量) ) ) )各不相同。各不相同。各不相同。各不相同。 第20页/共75页第二十页，共76页。F在刚体(gngt)(gngt)上取一质元PiPi一、刚体的转动(zhun

13、(zhun dng)dng)动能则质点则质点(zhdin)Pi(zhdin)Pi的动能为：的动能为：F对刚体上所有质点的动能求和：对刚体上所有质点的动能求和： 只由刚体内各质元相对于转轴的分布只由刚体内各质元相对于转轴的分布所决定所决定由于由于-对对 z z 轴的转动惯量轴的转动惯量2 转动动能 转动惯量第21页/共75页第二十一页，共76页。则刚体(gngt)的转动动能定义定义(dngy)(dngy)：-对对 z z 轴的转动惯量轴的转动惯量质点质点(zhdin)(zhdin)刚体刚体J J是描述刚体在转动中惯性大小量度的物是描述刚体在转动中惯性大小量度的物理量理量第22页/共75页第二十二

14、页，共76页。二、转动惯量JFF对刚体对刚体(gngt)(gngt)：FF对分立对分立(fn l)(fn l)(fn l)(fn l)的质点系：的质点系：线分布线分布(fnb)(fnb)， 为线密度为线密度面分布，面分布， 为面密度为面密度体分布，体分布， 为体密度为体密度质量是连续分布质量是连续分布第23页/共75页第二十三页，共76页。（2 2 2 2）转动惯量）转动惯量J J J J的大小的大小(dxio)(dxio)(dxio)(dxio)决定于决定于刚体的质量：同形状的刚体，刚体的质量：同形状的刚体，(,)(,)越大，越大，J J 就越大就越大质量的分布质量的分布(fnb)(fnb)

15、：质量相同，：质量相同，dm dm 分布分布(fnb)(fnb)在在 r r 越大的地方，则越大的地方，则J J越大越大刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的J J （1 1）转动惯量的物理意义：）转动惯量的物理意义：J J表示刚体转动时惯性表示刚体转动时惯性(gunxng)(gunxng)的大小的大小（3 3 3 3）转轴相同的刚体系统的总转动惯量等于各刚体转动）转轴相同的刚体系统的总转动惯量等于各刚体转动 惯量的代数和惯量的代数和讨论第24页/共75页第二十四页，共76页。00L转动惯量的计算(j sun)： 例例1 1 求质量为求质量

16、为mm，长度，长度(chngd)(chngd)为为 L L 的均质细棒的转动惯量。的均质细棒的转动惯量。（转轴（转轴oooo通过棒的一端并与棒垂直）通过棒的一端并与棒垂直）解：以转轴以转轴(zhunzhu)(zhunzhu)为坐标原点，在距转轴为坐标原点，在距转轴(zhunzhu)x(zhunzhu)x处，任取一质量元处，任取一质量元dmdm，其长度为，其长度为dxdxxdx dm第25页/共75页第二十五页，共76页。解：以转轴为坐标以转轴为坐标(zubio)(zubio)原点，在距转轴原点，在距转轴x x处，任处，任取一质量元取一质量元dmdm，其长度为，其长度为dxdx 例例2 2 求质

17、量为求质量为mm，长度为，长度为 L L 的均质细棒的转动惯量。的均质细棒的转动惯量。（转轴（转轴oo/oo/通过通过(tnggu)(tnggu)棒的中心并与棒垂直）棒的中心并与棒垂直）L00/xdm dx第26页/共75页第二十六页，共76页。0000/均质细棒的转动惯量均质细棒的转动惯量平行平行(pngxng)(pngxng)(pngxng)(pngxng)轴定理轴定理F刚体对任一轴的转动惯量刚体对任一轴的转动惯量J J 等等于对过质心的平行轴的转动惯于对过质心的平行轴的转动惯量量JcJc与二轴间的垂直距离与二轴间的垂直距离d d的平的平方和刚体质量方和刚体质量(zhling)m(zhli

18、ng)m的乘的乘积之和。积之和。第27页/共75页第二十七页，共76页。 例例3 3 求均质细圆环绕通过中心求均质细圆环绕通过中心(zhngxn)(zhngxn)并与其圆面垂直的轴的转动惯量。并与其圆面垂直的轴的转动惯量。Rm00dl,dm解：在园环上任在园环上任(shng rn)(shng rn)取一质量元取一质量元dmdm，其长度为其长度为dldl第28页/共75页第二十八页，共76页。 例例4 4 求质量为求质量为mm，半径为，半径为R R 的均质圆盘绕通过的均质圆盘绕通过(tnggu)(tnggu)中心并与其圆面垂直的轴的中心并与其圆面垂直的轴的转动惯量。转动惯量。drrRm解：在圆盘

19、上任取一半径在圆盘上任取一半径(bnjng)(bnjng)为为r r、宽度为、宽度为drdr的圆环，的圆环，则这一质量元则这一质量元dmdm为为第29页/共75页第二十九页，共76页。常见常见(ch(chn n jin)jin)刚体刚体的转的转动惯动惯量量第30页/共75页第三十页，共76页。 使物体转动使物体转动(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)，必须给定一个作用，必须给定一个作用力，另外考虑转动力，另外考虑转动(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)与力的作用点以及与力的作用点以及作用力的方向有关，因此在

20、研究物体转动作用力的方向有关，因此在研究物体转动(zhun (zhun (zhun (zhun dng)dng)dng)dng)中引入力矩这一物理量。中引入力矩这一物理量。一、 力矩(l j)(l j)力臂：力臂：rsinrsin = d= d 表示转轴到力作用线的垂直距离。表示转轴到力作用线的垂直距离。力力F F F F对转轴的力矩对转轴的力矩: : : : 力的大小力的大小F F F F与力臂与力臂(l b)d(l b)d(l b)d(l b)d的乘积的乘积（1 1 1 1）若刚体所受力）若刚体所受力 在转动平面内在转动平面内 3 刚体定轴转动定律第31页/共75页第三十一页，共76页。在

21、定轴转动中，只有在定轴转动中，只有 起作用起作用 对转轴的力矩对转轴的力矩（2 2 2 2）若刚体所受力）若刚体所受力 不在转动平面内不在转动平面内 平行于转轴平行于转轴 分量不能使刚体发生转动；分量不能使刚体发生转动；&对于刚体的定轴转动，力矩对于刚体的定轴转动，力矩(l j)Mz(l j)Mz也可看成是代数也可看成是代数量。量。即：从即：从z z z z轴正端向负端看，若力轴正端向负端看，若力F F F F使物体沿逆时针方向使物体沿逆时针方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)转动，则力矩转动，则力矩MzMzMzMz为正，反之为为正，反之为MzMzMzM

22、z为为负。负。第32页/共75页第三十二页，共76页。方向：满足方向：满足(mnz)(mnz)(mnz)(mnz)右手螺旋法则右手螺旋法则力矩力矩(l j)(l j)&刚体同时受几个外力作用刚体同时受几个外力作用刚体同时受几个外力作用刚体同时受几个外力作用(wi (wi (wi (wi l zu yn)l zu yn)l zu yn)l zu yn)时的合力矩：时的合力矩：时的合力矩：时的合力矩： &对于定轴转动，力矩的方向沿转对于定轴转动，力矩的方向沿转对于定轴转动，力矩的方向沿转对于定轴转动，力矩的方向沿转轴方向，但只有两种可能，则可轴方向，但只有两种可能，则可轴方向，但只有两种可能，则可

23、轴方向，但只有两种可能，则可用正负表示用正负表示用正负表示用正负表示单位：牛顿单位：牛顿 米米( (NmNm) )即：即：力矩与坐标轴力矩与坐标轴同向同向时时为正为正，反向反向时时为负为负结论：结论：合力矩的值等于这几个力各自的力矩的代数和合力矩的值等于这几个力各自的力矩的代数和第33页/共75页第三十三页，共76页。00二、刚体(gngt)定轴转动定律对对P Pi i：两边两边(lingbin)(lingbin)同乘以同乘以ri ri切向：切向：对整个刚体对整个刚体(gngt)(gngt)求和求和 和和 的法向分力作用线通过转轴，其力矩为的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零零第34页/共75

24、页第三十四页，共76页。-刚体刚体(gngt)(gngt)的定轴转动定律的定轴转动定律FF可以证明可以证明(zhngmng)(zhngmng)：内力中的每一对作用与反作用力：内力中的每一对作用与反作用力的力矩相加为零，即内力矩之和为零的力矩相加为零，即内力矩之和为零合外力矩合外力矩(l j)(l j)刚体的转动惯量刚体的转动惯量00第35页/共75页第三十五页，共76页。刚体刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt)定轴转动定律定轴转动定律结论：刚体所受到的对某一定轴的合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获结论：刚体所受到的对某一定轴的合外力矩等于刚体对该轴的转

25、动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得得(hud)(hud)(hud)(hud)的角加速度的乘积。的角加速度的乘积。讨论讨论(to(toln)ln)：（2 2 2 2）刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢量关系式）刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢量关系式FF力矩是使刚体转动产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动产生角加速度的原因。（3 3 3 3）刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如同质点力学中的）刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如同质点力学中的（1 1）公式中的公式中的MM是作用在刚体的合外力矩；是作用在刚体的合外力矩；第36页/共7

26、5页第三十六页，共76页。三、刚体(gngt)(gngt)定轴转动定律的应用（1 1）转动定律是力矩对定轴转动刚体）转动定律是力矩对定轴转动刚体(gngt)(gngt)的瞬时作用定律，要注意其瞬时性；的瞬时作用定律，要注意其瞬时性；（5 5）注意）注意(zh y)(zh y)利用线量与角量的关系。利用线量与角量的关系。（3 3）如题目中有如题目中有转动的物体转动的物体、有、有平动的物体平动的物体，则把转动的物体当，则把转动的物体当刚体刚体处理，把平动的物体当处理，把平动的物体当质点质点处处理；理；（4 4）除了除了受力分析受力分析，还要进行，还要进行力矩分析力矩分析。在进行受力、力矩分析时，对

27、刚体要找准。在进行受力、力矩分析时，对刚体要找准力的作用点力的作用点，以，以便求力矩；便求力矩；（2 2）转动定律中的合外力矩转动定律中的合外力矩MM、转动惯量、转动惯量J J和角加速度和角加速度 三个物理量都是对同一转轴而言的；三个物理量都是对同一转轴而言的；第37页/共75页第三十七页，共76页。C 例例1 1 物体物体A A、B B的质量分别为的质量分别为m1m1和和m2m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为，用一轻绳相连，绳子跨过质量为mm、半径为、半径为R R的定的定滑轮滑轮C C（可视为均质圆盘）。如（可视为均质圆盘）。如A A下降，下降，B B与水平桌面间的滑动与水平桌面间的滑动(h

28、udng)(hudng)摩擦系数为摩擦系数为 ，绳，绳与滑轮之间无相对滑动与滑轮之间无相对滑动(hudng)(hudng)，试求系统的加速度及绳中的张力，试求系统的加速度及绳中的张力FT1FT1和和FT2FT2。的力矩的力矩的力矩的力矩(l j)(l j)：FF受力分析受力分析(fnx)(fnx)FF力矩分析力矩分析的力矩：的力矩：的力矩：的力矩：第38页/共75页第三十八页，共76页。解：建立解：建立解：建立解：建立(jinl)(jinl)如图坐标系如图坐标系如图坐标系如图坐标系FF对质点对质点(zhdin)A(zhdin)A(zhdin)A(zhdin)A和和B B B B列牛顿第二定律方

29、程列牛顿第二定律方程对对A A A A物体物体(wt)(wt)(wt)(wt)：对对B B B B物体：物体：FF对对刚体刚体C C C C列转动定律方程列转动定律方程均质圆盘均质圆盘C第39页/共75页第三十九页，共76页。解得解得第40页/共75页第四十页，共76页。 例2 在图示的装置(zhungzh)中求 ：T1，T2， a ，（滑轮可视作均质圆盘）。mmm12rTT121TT2+mgm1T11mm2T22gm1TT2Jrr=Tgmm22=2a=1T11mmga=J22mr1a=r第41页/共75页第四十一页，共76页。gmm21TT1122gmmaaa2mmmmmg1212=+()(

30、)mmmmg22211=+()mrTmg21122=22+()mm1mm+mg122=2T)(m1mm+mm222m第42页/共75页第四十二页，共76页。一、力矩(l j)(l j)的功 刚体在合外力矩刚体在合外力矩刚体在合外力矩刚体在合外力矩(l j)(l j)(l j)(l j)作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩(l j)(l j)(l j)(l j)对刚体作了功。对刚体作了功。对刚体作了功。对刚体作了功。4 4 力矩(l j)(l j)的功 动能定理元功：元功：力矩对质

31、点力矩对质点( ( ( (或刚体或刚体) ) ) )所作的元功等于力矩和角位移的所作的元功等于力矩和角位移的乘积乘积第43页/共75页第四十三页，共76页。其中其中外力在定轴上对刚体的合外力矩外力在定轴上对刚体的合外力矩 当力矩当力矩(l j)(l j)(l j)(l j)与角速度同号与角速度同号( ( ( (或同方向或同方向) ) ) )时，力矩时，力矩(l j)(l j)(l j)(l j)的功为正值；当力矩的功为正值；当力矩(l j)(l j)(l j)(l j)与角速度异号与角速度异号( ( ( (或反方向或反方向) ) ) )时，力矩时，力矩(l j)(l j)(l j)(l j)的

32、功为负值。的功为负值。F功的正负功的正负(zhn(zhn f) f)：FF力矩力矩力矩力矩(l j)(l j)(l j)(l j)的功率的功率的功率的功率力矩的功力矩的功第44页/共75页第四十四页，共76页。二、刚体二、刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt)定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理转动转动(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)(zhun dng)定律定律设在合外力矩设在合外力矩(l j)M(l j)M(l j)M(l j)M的作用下的作用下F作用在绕定轴转动的刚体上的合外力矩的元功等于作用在绕定轴转动的刚体上的合外力矩的元功等于该刚体转动动能的

33、微分。该刚体转动动能的微分。-刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理的微分形式动能定理的微分形式动能定理的微分形式动能定理的微分形式第45页/共75页第四十五页，共76页。当绕定轴转动的刚体当绕定轴转动的刚体(gngt)(gngt)在外力作用下，角速度从在外力作用下，角速度从t1t1时刻时刻11改变为改变为t2t2时刻的时刻的22时，合外力时，合外力矩对刚体矩对刚体(gngt)(gngt)所作的功为所作的功为&刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能(dngnng)(dngnng)(dngnng)(dngnng)定理：合外力矩对定定理：合外力矩对定定理：合外力矩对

34、定定理：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能(dngnng)(dngnng)(dngnng)(dngnng)的增量。的增量。的增量。的增量。动能定理动能定理(dn nn (dn nn dn l)dn l)第46页/共75页第四十六页，共76页。 例例1 1 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置(wi zhi)(wi zhi)，然后让它自由下，然后让它自由下落。落。）LL22mg求：摆到如图位置时的摆到如图位置时的解：=M

35、=W=Lmg12sinLmgcos第47页/共75页第四十七页，共76页。 例例 质量为质量为m1m1、半径为、半径为r r 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘面的固定光滑轴转动，饶过盘的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘面的固定光滑轴转动，饶过盘的边缘挂有质量为的边缘挂有质量为m2 m2 的物体（如图所示），一切摩擦忽略不计，将的物体（如图所示），一切摩擦忽略不计，将m2m2静止释放静止释放(shfng)(shfng)，下降，下降h h米用米用了时间了时间t t秒。秒。、在已知的情况下，求、在已知的情况下，求m2m2下降下降h h时的速度时的速度、求、求m1m1的转动惯量。的转动惯量。mm2r

36、解：、受力如图所示。第48页/共75页第四十八页，共76页。、第49页/共75页第四十九页，共76页。三、含有(hn yu)刚体的力学系统的机械能刚体刚体(gngt)(gngt)的机械能的机械能 （1 1）质点的平动动能）质点的平动动能(dngnng)(dngnng)，质点的重力势能，弹性势能；，质点的重力势能，弹性势能；力学系统的机械能力学系统的机械能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的转动动能刚体的转动动能（2 2）刚体的转动动能，刚体的重力势能。刚体的转动动能，刚体的重力势能。第50页/共75页第五十页，共76页。 对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守

37、内力对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力(nil)(nil)做功，而外力和非保守内力做功，而外力和非保守内力(nil)(nil)都不都不做功，或做功的代数和为零，则此系统的的机械能守恒。做功，或做功的代数和为零，则此系统的的机械能守恒。 - -系统(xtng)(xtng)的机械能守恒FF当当 A A外外 + A+ A非保非保 = = 0 0 时，有时，有第51页/共75页第五十一页，共76页。 例例3 3 如图，一钟摆由长度为如图，一钟摆由长度为L L，质量，质量(zhling)(zhling)为为mm的均质细杆和固定在其一端的质量的均质细杆和固定在其一端的质量(zhling)(

38、zhling)为为m0m0的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕一水平轴旋转，开始时把它放到水平位置，并处于的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕一水平轴旋转，开始时把它放到水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。问放手后钟摆摆到静止状态，然后让它自由下落。问放手后钟摆摆到角位置时的角速度角位置时的角速度 有多大？有多大？解：解：解：解：FF取细杆水平时位置取细杆水平时位置(wi zhi)(wi zhi)为重力势能零点为重力势能零点系统系统(xtng)(xtng)机械能守恒机械能守恒初态初态末态末态细杆细杆L2L2）m0gmg第52页/共75页第五十二页，共76页。摆球摆球则，由系统则，由系统

39、(xtng)(xtng)机械能守恒定律有机械能守恒定律有L2L2）m0gmg细杆的转动惯量为细杆的转动惯量为第53页/共75页第五十三页，共76页。第54页/共75页第五十四页，共76页。o o 一、质点一、质点(zhdin)的角动量（动的角动量（动量矩）量矩）设设t t t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢质点的动量质点的动量FF运动运动(yndng)(yndng)(yndng)(yndng)质点对参考点质点对参考点O O O O的角动量定义为：的角动量定义为：角动量大小角动量大小(dxio)(dxio)：角动量的方向：角动量的方向： 位矢位矢 和动量和动量 的矢积方向的矢积方向动量矩动量矩&

40、质点绕圆心作圆周运动时质点绕圆心作圆周运动时5 5 质点的角动量和角动量守恒定律第55页/共75页第五十五页，共76页。三、质点三、质点(zhdin)的角动量定理（动量的角动量定理（动量矩定理）矩定理）按角动量的定义按角动量的定义(dngy)(dngy)：两边两边(lingbin)(lingbin)对时间求导：对时间求导：又又&角动量定理：角动量定理：质点所受的合力矩就等于角动量对时间的变化率。质点所受的合力矩就等于角动量对时间的变化率。第56页/共75页第五十六页，共76页。四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律FF条件：条件：&角动量守恒定律：如果对于某一定点角动量守恒定律：如果对于某一定点

41、O，质点，质点(zhdin)所受的合力矩为零，则此质点所受的合力矩为零，则此质点(zhdin)对该定点的角动量保持不变。对该定点的角动量保持不变。FF角动量定理角动量定理(dngl)(dngl)：第57页/共75页第五十七页，共76页。6 6 刚体(gngt)(gngt)的角动量与角动量守恒第58页/共75页第五十八页，共76页。一、刚体一、刚体(gngt)(gngt)绕定轴转动的角动量绕定轴转动的角动量FF在刚体上任取第在刚体上任取第在刚体上任取第在刚体上任取第i i个质点个质点个质点个质点(zhdin)Pi(zhdin)Pi，它相对于，它相对于，它相对于，它相对于OO的角的角的角的角动量动

42、量动量动量 因每个质点的角动量方向因每个质点的角动量方向(fngxing)(fngxing)相同，相同，所以刚体的角动量为每个质点角动量的代数和所以刚体的角动量为每个质点角动量的代数和 的方向在转轴的方向在转轴z z上上第59页/共75页第五十九页，共76页。即FF刚体刚体刚体刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt)的角动量：的角动量：的角动量：的角动量： 刚体刚体刚体刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt)绕某一定轴的转动惯量绕某一定轴的转动惯量绕某一定轴的转动惯量绕某一定轴的转动惯量J J J J与刚体与刚体与刚体与刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt

43、)的角速度的角速度的角速度的角速度 的的的的乘积，也称动量矩。乘积，也称动量矩。乘积，也称动量矩。乘积，也称动量矩。F单位单位(dnwi)(dnwi)：千克：千克米米22秒秒- -1(kgm2s-1)1(kgm2s-1)F量纲量纲(lin n)(lin n)：ML2T-1ML2T-1F角动量（动量矩）是描述刚体角动量（动量矩）是描述刚体绕定轴转动状态的一个物理量绕定轴转动状态的一个物理量F与质点动量与质点动量 相比可看出，角动量相比可看出，角动量 与之对应与之对应F动量动量与与角动量角动量角动量角动量是两个单位不同的物理量是两个单位不同的物理量，不可混用不可混用第60页/共75页第六十页，共7

44、6页。 此式不仅此式不仅(bjn)(bjn)(bjn)(bjn)适用于绕定轴转动刚体的转动惯量适用于绕定轴转动刚体的转动惯量J J J J为恒量过程，也适用于在刚体转动过程，为恒量过程，也适用于在刚体转动过程，J J J J发生变化的过程，而发生变化的过程，而 M=J M=J M=J M=J 仅适用于转动惯量不变的过程。仅适用于转动惯量不变的过程。二、刚体(gngt)(gngt)定轴转动的角动量定理 由刚体定轴转动由刚体定轴转动(zhun dng)(zhun dng)的转动的转动(zhun dng)(zhun dng)定律定律-刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理作用在绕定轴转动刚

45、体上的合外力矩等于刚体对该轴作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的导数。的角动量对时间的导数。它是转动定律的另一表达它是转动定律的另一表达方式。方式。 第61页/共75页第六十一页，共76页。-定轴转动角动量定理定轴转动角动量定理(dngl)(dngl)的积分形式的积分形式冲量冲量(chngling)(chngling)矩矩元冲量元冲量(chngling)(chngling)矩矩定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一时间内角动量的增量矩等于刚体在同一时间内角动量的增量FF J J J J 可变化的质点系或非刚

46、体，定轴转动时有可变化的质点系或非刚体，定轴转动时有第62页/共75页第六十二页，共76页。&角动量守恒定律：刚体所受的合外力矩为零时角动量守恒定律：刚体所受的合外力矩为零时角动量守恒定律：刚体所受的合外力矩为零时角动量守恒定律：刚体所受的合外力矩为零时(ln (ln (ln (ln sh)sh)sh)sh)，刚体的角动量保持不变，刚体的角动量保持不变，刚体的角动量保持不变，刚体的角动量保持不变1. 1. 1. 1. 转动惯量和角速度均保持不变，刚体转动惯量和角速度均保持不变，刚体(gngt)(gngt)(gngt)(gngt)绕定轴作匀角速转动绕定轴作匀角速转动. . . .2. 2. 2.

47、 2. 转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积不变，当转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积不变，当J J J J变大时，角速度变小变大时，角速度变小(bin xio)(bin xio)(bin xio)(bin xio)；当；当J J J J变小变小(bin xio)(bin xio)(bin xio)(bin xio)时，角速度变大。时，角速度变大。三、刚体定轴转动角动量守恒F角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：转椅角动量仪直升飞机第63页/共75页第六十三页，共76页。&分析(fnx)(fnx)人和转盘组成的系统2mmFF当双臂由当双臂由r1r1变为变为r2r2后，系统转动后，系统转

48、动(zhun dng)(zhun dng)惯量、转动惯量、转动(zhun (zhun dng)dng)角速度和机械能的变化情况。角速度和机械能的变化情况。第64页/共75页第六十四页，共76页。&花样滑冰运动员通过(tnggu)(tnggu)改变身体姿态& - -改变转动惯量来改变转速FF跳舞演员身体旋转，开始旋转时，两臂伸开，跳舞演员身体旋转，开始旋转时，两臂伸开，然后迅速收回然后迅速收回(shu hu)(shu hu)(shu hu)(shu hu)两臂，这时旋转的两臂，这时旋转的速度比开始更快，这是由于转动惯量变小。速度比开始更快，这是由于转动惯量变小。第65页/共75页第六十五页，共7

49、6页。 例例1 1 一质量一质量(zhling)(zhling)为为mm长度为长度为l l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量(zhling)(zhling)为为m0m0的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v0v0和杆子发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起和杆子发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起 试求：试求：碰撞后系统碰撞后系统(xtng)(xtng)的角速度的角速度 ；碰撞后细杆能上摆的最大角度碰撞后细杆能上摆的最大角度 。解：解：(1)(1)碰撞过程系统的合外力矩碰撞过程系统的合外力矩(l j)(l j)

50、为零，系统的角动量为零，系统的角动量守恒守恒FF碰撞前橡皮泥绕转轴的角动量为碰撞前橡皮泥绕转轴的角动量为FF碰撞后系统绕转轴的角动量为碰撞后系统绕转轴的角动量为第66页/共75页第六十六页，共76页。(2)(2)上摆过程机械能守恒，取细杆下端水平面为重力势能上摆过程机械能守恒，取细杆下端水平面为重力势能(zhn l (zhn l sh nn)sh nn)零点，得：零点，得：第67页/共75页第六十七页，共76页。例1花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为0，然后他将两臂收回(shu hu)，使转动惯量减少为 这时他的转动(zhun dng)的角速度为：解：

51、解：（C）第68页/共75页第六十八页，共76页。例例2 2质点系的内力可以改变质点系的内力可以改变 A A系统的总质量系统的总质量 B B 系系 统统 的的 总总 动动 量量(dngling)(dngling) C C系统的总动能系统的总动能 D D 系系 统统 的的 总总 角角 动动 量量(dngling)(dngling)（ C ）例例3 3一个一个(y )(y )物体正在绕固定光滑轴自由转动物体正在绕固定光滑轴自由转动A A它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变；它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变；B B它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小；它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小；C C它受

52、热或遇冷时，角速度均变大；它受热或遇冷时，角速度均变大； D D它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。（ D ）第69页/共75页第六十九页，共76页。例例4 4如如图图示示，一一匀匀质质细细杆杆可可绕绕通通过过上上端端与与杆杆垂垂直直的的水水平平光光滑滑固固定定轴轴O O旋旋转转，初初始始状状态态为为静静止止悬悬挂挂(xungu)(xungu)，现现有有一一个个小小球球自自左左方方水水平平打打击击细细杆杆，设设小小球球与与细细杆杆间间为为非非弹弹性性碰碰撞，则在碰撞过程中对细杆和小球这一系统撞，则在碰撞过程中对细杆和小球这一系统 ： A A只有机械能守恒

53、只有机械能守恒 B B只有动量守恒只有动量守恒 C C只有对转轴只有对转轴O O的角动量守恒的角动量守恒 D D机械能、动量和角动量均守恒机械能、动量和角动量均守恒（ C ）（ C ）mOO第70页/共75页第七十页，共76页。例例5 5质量为质量为m m的质点以速率的质点以速率(sl)v(sl)v沿一直线运动，则对直线上任一点的角动量为沿一直线运动，则对直线上任一点的角动量为 。0 例例6 6质量为质量为m m的质点以一速率的质点以一速率v v沿一直线沿一直线(zhxin)(zhxin)运动，则它对直线运动，则它对直线(zhxin)(zhxin)外垂直距离为外垂直距离为d d的一点的一点的角

54、动量大小是的角动量大小是 。第71页/共75页第七十一页，共76页。 例例22如图所示，在水平光滑桌面上，质量为如图所示，在水平光滑桌面上，质量为m1 m1 、速度为、速度为u u的小球与静止的、质量为的小球与静止的、质量为m2m2、长、长为为2l2l的均质细棒在顶端发生完全弹性碰撞，碰撞时小球速度的均质细棒在顶端发生完全弹性碰撞，碰撞时小球速度u u的方向与棒垂直的方向与棒垂直 ，碰后细棒可绕，碰后细棒可绕平面内通过其质心的竖直轴转动平面内通过其质心的竖直轴转动(zhun dng)(zhun dng)。试求碰撞后小球的反弹速度和细棒的角速度。试求碰撞后小球的反弹速度和细棒的角速度。解：解：解

55、：解：FF设碰撞后小球反弹速度为设碰撞后小球反弹速度为v v，方向，方向(fngxing)(fngxing)与与u u相反；设碰撞后细棒的角速度为相反；设碰撞后细棒的角速度为 FF小球小球(xio qi)(xio qi)与细棒组成的系统合与细棒组成的系统合外力矩为零，则系统角动量守恒外力矩为零，则系统角动量守恒第72页/共75页第七十二页，共76页。FF碰撞是完全弹性碰撞是完全弹性(tnxng)(tnxng)碰撞，则系统机械能守恒碰撞，则系统机械能守恒FF碰撞碰撞(pn zhun)(pn zhun)时系统角动量守恒时系统角动量守恒碰撞后小球的反弹碰撞后小球的反弹(fn dn)(fn dn)速度

56、的大小为速度的大小为碰撞后细棒的角速度为碰撞后细棒的角速度为第73页/共75页第七十三页，共76页。第74页/共75页第七十四页，共76页。感谢您的观赏(gunshng)第75页/共75页第七十五页，共76页。内容(nirng)总结一、刚体模型。转动平面：垂直于转动轴所作的平面。(1) 角坐标，角位移。刚体沿顺时针方向转动时， 和为负值。角坐标、角位移有正负之分，规定：。（转轴oo/通过棒的中心并与棒垂直）。（1）转动定律是力矩对定轴转动刚体的瞬时作用定律，要注意其瞬时性。（4）除了受力分析，还要进行(jnxng)力矩分析。三、质点的角动量定理（动量矩定理）。1. 转动惯量和角速度均保持不变，刚体绕定轴作匀角速转动.。当J变小时，角速度变大第七十六页，共76页。