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1、2.5 传播子和Feynman路径积分一、波动力学的传播子n不含时Hamiltonian量体系的时间演化用与H对易的观测量的本征矢展开初态可方便求得:n或 n其中,125传播子和Feynman路径积分n将上述表达式改写成:n即n这里n称为传播子。传播子与初态无关,但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知,则传播子可构造出。225传播子和Feynman路径积分讨论:讨论:n上式表明,若初态已知,则波函数的时间演化便完全由K确定。Schrdinger波动力学是纯粹的因果理论。n受势作用的波函数的时间变化,只要系统不受扰动,便与经典力学中任何量一样完全确定。n不同处:当测量介入时,波函数将转化为所
2、测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”因观测量有多个本征函数而呈概率性,但统计上有确定的几率。 325传播子和Feynman路径积分二、传播子的基本性质n1. 传播子 满足含时Schrdinger波方程( ,tt0为变量, 不变)。n2. (即 )n这两性质说明传播子可看作是t0 时处于 的粒子在t时刻的波函数( )n对初态分布于一定空间的情况,需要做的只是将相应的波函数乘以传播子并对空间积分。这种方式相当于对不同位置的贡献求和,与静电学求电势相似(但有“相位”):425传播子和Feynman路径积分n传播子其实就是含时波动方程的格林函数:n和边界条件 (对tt0).n第一式右边的函数是由于
3、K在t=t0不连续525传播子和Feynman路径积分三、传播子的例子n传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。n1. 一维自由粒子。P与H对易,共同本征态n由n可得n该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散展开的情形 625传播子和Feynman路径积分2. 谐振子的传播子n波函数为n其传播子为n该式的直接证明非常复杂,需利用特殊函数的性质n也可通过a和a+算符方法n最方便的是利用即将描述的路径积分方法。n由于传播子是以为角频率的时间周期函数,位于x的粒子将在 回到原位置。725传播子和Feynman路径积分四、传播子的时间与空间积分n空间积分:n由于 ,取 并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹
4、,故得上述结果。由于迹不随表象变,在 表象中H对角,便于求出G(t) 。n在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且 为正实数,则G(t)演化为 ,与统计力学的配分函数是有相同形式。因此,研究量子力学传播子的方法对统计力学也有用(反之亦然)。825传播子和Feynman路径积分G(t)的Laplace-Fourier变换被积函数振荡,积分不易求。令EE+i,且0,则可见体系的完整能谱都表现在复E平面的 的极点。研究物理体系的能谱,只要研究 的解析性质925传播子和Feynman路径积分五、传播子作为跃迁振幅n波函数是特定位置左矢与随时间变化右态矢的内积,也可被认为是Heisenberg图象中反向时间
5、演化的位置左矢与不随时间变化的状态右矢之乘积。类似地,传播子可写为n这里 和 是海森堡图象中位置算符的本征左矢和右矢。n因 是从 到 态的跃迁振幅,故 是t0时处于 的粒子在t时处于 的几率振幅。或者说 是由时空点 到另一时空点 的跃迁振幅。1025传播子和Feynman路径积分另种解释n由于Heisenberg图象中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢,我们也可称 为链接不同时间的两组基矢的变换函数。n因此,在Heisenberg图象中,时间演化可看作改变基函数的幺正变化。n这与经典动力学中物理量随时间的变化可看作由经典Hamiltonian产生的正则变换相似。1125传播子和Feynman路
6、径积分六、传播子的组合性质n为使时空坐标记号更对称,记 为 n由于海森堡图象中在任意给定时间的位置态矢形成完备基,可在任意位置插入单位算符 n 因而 该性质称为跃迁振幅(传播子)的组合性质。n类似地有 :n若知无穷小时间间隔 的形式,则一般的 可利用传播子的组合性质而得。这种推理方式导致了Feynman的量子力学理论形式。1225传播子和Feynman路径积分七、作为路径求和的路径积分n为简单记,讨论一维情型,并记 为n将t1至tN分为N-1等分 , 则n为讨论该表达式的含义, 可看如图所示的时空平面: n时空的初始与终点固定, 由初始到终点有不同的可 能路径。对给定一路径, 我们要计算其跃迁
7、振幅, 然后对各种可能路径求和,这与经典力学是有差别的。在经典力学中粒子有确定的轨迹,其路径对应于哈密顿原理所给出的路径(即作用量的变分为零) 1325传播子和Feynman路径积分 八、经典力学与量子力学路径的差别n经典力学中xt-平面有一确定的路径与粒子运动联系,而量子力学中所有可能路径都起作用,其中一些路径与经典路径毫无相似之处。n经典力学的作用量或主函数为nL是x与 的函数,S要在路径确定后才有定义n对每小段路径其跃迁几率为n初点到终点路径的 总跃迁几率为n所有路径对 的贡献:n若 ,则相邻路径的贡献倾向于抵消。n对最小作用量路径(经典路径),则相邻路径的S差别是二阶的,因而可相干增强
8、。所以 时挑出的轨道为经典轨道。 1425传播子和Feynman路径积分九、Feynman路径积分公式1. 无限小时间间隔的一段路径, w(t)只与t而(假定)与V(x)无关的权重因子。n由于是无限小时间间隔,路径可看作直线,因而n对自由粒子, 已知。由于W(t)与V(x)无关,用自由粒子情况算出:n于是,对 ,有 1525传播子和Feynman路径积分2. 对有限时间间隔的路径n其中n上式即为Feynman路径积分的表达式。1625传播子和Feynman路径积分十、Feynman路径积分与薛定谔方程n或n从而n对一阶t项有1725传播子和Feynman路径积分n所以n可见费曼路径积分的 表达
9、式与薛定谔波动方程的传播子一致(也侧面证明了w(t)与V无关的正确性)。nFeynman路径积分表达式复杂,对普通量子力学问题的应用并不方便,但在量子场论和统计力学等领域中很有用。1825传播子和Feynman路径积分n海森堡矩阵力学是正则形式下经典力学的量子对应,即将经典Poisson括号换为量子的对易式(量子力学的代数形式)n波动力学(微分形式,或局域性描述)与经典力学的Hamilton-Jacobi方程有密切联系。n矩阵力学和波动力学都与经典力学的Hamilton形式有渊源n路径积分(积分形式或整体性描述)则与经典力学的Lagrange形式有密切关系。由于作用量是相对论不变量,具有易于从非相对论形式推广到相对论形式的优点,从而对于场量子化有优越性。另一优点是把含时与不含时问题纳于同一理论框架处理,也可更形象地研究与理解量子力学与经典力学的关系。n三种形式各有优缺点,应根据问题侧重点选用方便的理论形式。1925传播子和Feynman路径积分习题:2.31, 2.32, 2.332025传播子和Feynman路径积分