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1、三、简单曲线的极坐标方程（二）三、简单曲线的极坐标方程（二）写出下列圆的极坐标方程写出下列圆的极坐标方程()圆心在圆心在(a,0)，半径为，半径为a；()圆心在圆心在(a, /2)，半径为，半径为a；()圆心在圆心在(a, )，半径为，半径为a；( 4 )圆心在圆心在(0,0)，半径为，半径为a. 2acos 2asin 圆圆心心的的极极径径与与圆圆的的半半径径相相等等 a1、负极径的定义负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点对于点M（ ， ）负极径时的规定：负极径时的规定：1作
2、射线作射线OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM = OXP M预备知识三、简单曲线的极坐标方程（二）三、简单曲线的极坐标方程（二）OXP = /4M2、负极径的实例负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M（3， /4）的位置的位置1作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延的反向延长线上取一点长线上取一点M，使使 OM = 3负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 .练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6， ）答：（答：（6， +）特别强调：一般情况下（若不作特别说
3、特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为明时），认为 0 .因为负极径只在极因为负极径只在极少数情况用少数情况用.例题例题1：求过极点，倾斜角为：求过极点，倾斜角为 的射的射线的极坐标方程线的极坐标方程.oMx分析：分析：如图，所求的射线上如图，所求的射线上任一点的极角都是任一点的极角都是 ，其，其极径可以取任意的非负数极径可以取任意的非负数.故所求故所求射线的极坐标方程为射线的极坐标方程为新课讲授新课讲授1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程坐标方程.易得易得思考：思考：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的的直线直线的极的极坐标方程坐标方程.和和 和
4、前面的直角坐标系里直线方程的表和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径为了弥补这个不足，可以考虑允许极径取全体实数。则上面的直线的极坐标方取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为程可以表示为也可写成也可写成思考：在平面直角坐标系中思考：在平面直角坐标系中1、过过点点(3,0)且与且与x轴轴垂直的直垂直的直线线方程方程为为：x=32、过过点点(a,b)且垂直于且垂直于x轴轴的直的直线线方程方程为为_x=
5、a特点：所有点的横坐标都是一样，特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。纵坐标可以取任意值。例题例题2、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极，且垂直于极轴的直线轴的直线l的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点为直线为直线l上除点上除点A外的任意一外的任意一点，连接点，连接OMoxAM在在 中有中有 即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式的坐标也满足上式.求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立
6、关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。练习练习：设设点点A的极坐的极坐标为标为(a,0)(a0)，直，直线线l过过点点A且与极且与极轴轴所成的角所成的角为为 ,求直求直线线 l 的的极坐极坐标标方程方程. 解：如图，设点解：如图，设点为直线为直线l上异于上异于A的点的点连接连接OM，oxA在在 中有中有 即即显然显然A点也点也满足该方程满足该方程.M特例特例例例题题3设设点点P的极坐的极坐标为标为 ，直，直线线l过过点点P且与极且与极轴轴所成的角所成的角为为 ,求直求直线线l的极坐的极坐标标方程方程. oxP如图：如图：连连接
7、接OPM在在OPM中运用正弦定理可得：中运用正弦定理可得：显然点显然点P的坐的坐标也是它的解标也是它的解.小结：直线的几种极坐标方程小结：直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点;2、过极轴上的定点，且垂直于极轴、过极轴上的定点，且垂直于极轴;3、过某个定点、过某个定点,且与极轴成定角且与极轴成定角.方程：方程：作作业业P152（1）、（）、（2）；）；3，5.与极轴成任意角呢？与极轴成任意角呢？阅读课本阅读课本P16-17 了解柱坐标系的定义了解柱坐标系的定义, 以及如何用以及如何用柱坐标系描述空间中的点柱坐标系描述空间中的点. 设设P P是空间任意一点，是空间任意一点，在在oxy平面的射影为
8、平面的射影为Q， 用用(,)(0,(,)(0,002)2)表示点表示点Q在平面在平面oxyoxy上的极坐标，上的极坐标， 点点P P的位置可用有的位置可用有序数组序数组( (,z,z) )表示表示. .xyzoP(,Z)Q 把建立上述对应关系的坐标系叫做把建立上述对应关系的坐标系叫做柱柱坐标系坐标系. . 有序数组有序数组( (,Z,Z) )叫点叫点P P的的柱柱坐标，坐标，记作记作( (,Z,Z). ). 其中其中0, 00, 0 2, -2, -Z Z+ 柱坐标系又称半极坐标系，它是由柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起
9、来的一部分建立起来的. . 空间点空间点P P的直角坐标的直角坐标(x, y, z)(x, y, z)与柱坐与柱坐标标 ( (,Z,Z) ) 之间的变换公式为之间的变换公式为 设点的直角坐标为设点的直角坐标为(1，1，1)，求它，求它在柱坐标系中的坐标在柱坐标系中的坐标.解得解得= ，= 点点在柱坐标系中的坐标为在柱坐标系中的坐标为 （ ， ，1）. 注：注：求求时要注意角的终边与点的时要注意角的终边与点的射影所在位置一致射影所在位置一致 给定一个底面半径为给定一个底面半径为r r，高为，高为h h的圆的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位
10、置圆柱侧面以及底面上点的位置. .xyzo注：注：坐标与点的位置有关坐标与点的位置有关阅读课本阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标了解球坐标系的概念以及在球坐标系中点的确定系中点的确定yoPQXZxyzoPQr设设P是空间任意一点，是空间任意一点，连接连接OP，记记| OP |=r，OP与与OZ轴正向所轴正向所夹的角为夹的角为.在在oxy平面射影为平面射影为Q， 设设P在在oxy平面上的射影为平面上的射影为Q， Ox轴按逆时轴按逆时针方向旋转到针方向旋转到OQ时所转过的最小正角时所转过的最小正角为为. 这样点这样点 P 的位置就可以用有序数的位置就可以用有序数组组(r,)表示表示.(
11、r,) 我们把建立上述我们把建立上述对应关系的坐标系对应关系的坐标系叫做叫做球坐标系球坐标系 (或或空间极坐标系空间极坐标系) .有序数组有序数组(r,)叫做点叫做点P的球坐标，的球坐标，其中其中xyzoP(r,)Qr 空间的点与有序数组空间的点与有序数组(r,)之间建立了之间建立了一种对应关系一种对应关系. 空间点空间点P的直角坐标的直角坐标(x, y, z)与球坐标与球坐标(r,)之间的变换关系为之间的变换关系为xyzoP(r,)Qr 设点的球坐标为设点的球坐标为(2， ， )，求，求它的直角坐标它的直角坐标.点点在直角坐标系中的坐标为在直角坐标系中的坐标为 （ 1 ，1 ，），）.数轴数
12、轴平面直角坐标系平面直角坐标系平面极坐标系平面极坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产生了坐标法的相互转化，从而产生了坐标法.坐标系坐标系小结小结一一 曲线的参数方程曲线的参数方程高中数学新课标人教高中数学新课标人教A A版版选修选修4-44-4第二讲第二讲 参数方参数方程程 衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学1. 参数方程的概念参数方程的概念问题背景问题背景如图，一架救援飞机在离灾区地面如图，一架救援飞机在离灾区地面500 m的
13、高处的高处以以100 m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.(1)建立适当的坐标系，并求救援物资被投放出建立适当的坐标系，并求救援物资被投放出舱后运动的轨迹方程；舱后运动的轨迹方程；(2)为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？ABMOxy问题探究问题探究ABMOxy 分析分析：如图，设飞机在点A处将物资投出机舱.在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中x 轴为地平面与这个平面的交线，y 轴经过点A.（1）设物资被投出机舱时为
14、时刻0，在时刻t 时物资的位置为点M(x,y)，则 这就是所求的轨迹方程. （2）救援物资落地时，应有y=0，即 代入得 水平距离约1010 m时投放物资，可使其准确落在指定地点. 于是，飞行员在离救援点方程方程可以确定可以确定物资投放的时机物资投放的时机 方程组的特点方程组的特点一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的表示点的坐标，变量坐标，变量t 叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的的函数；函数；二、由物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t 唯唯一决定，从数学角度看，这就是点一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标的
15、坐标x,y由由t 唯一确定，这样当唯一确定，这样当t 在允许值范围内连在允许值范围内连续变化时，续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹；就可以连续地描绘出点的轨迹；三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系之间有一一对应关系.参数方程的概念参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标任意一点的坐标x,y都是某个变数都是某个变数t 的函数的函数并且对于并且对于t 的每一个允许值，由方程组（的每一
16、个允许值，由方程组（2）所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方都在这条曲线上，那么方程程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变，联系变数数x,y的变数的变数t 叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数，相对，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做的方程叫做普通方程普通方程.例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解课堂练习课堂练习练习练习1曲线曲线 (t 为参数为参数)与与x轴交点的轴交点的坐标为坐标为_.练习练习2曲线曲线 (t 为参数为参数) 上的点是上的点是练习练习3已知参数方程已知参数方程 ,0,2)，判断点判断点 和和B(2，1)是否在方程的曲线上是否在方程的曲线上. A.(0，2)B .(-1，6)C .(1，3)D .(3，4)小结与作业小结与作业 1 1参数方程的概念；参数方程的概念； 2 2能选取适当的参数建立参数方程能选取适当的参数建立参数方程. .作业：作业： P26 1、2
