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1、 二次函数与几何综合类存在性二次函数与几何综合类存在性问题问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题 二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数数”与与“形形”结合起来，互相渗透存在探索型问题是指在给定条件结合起来，互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后解
2、决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设推出合理结论，则可肯定假设第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题例例1 1 20132013重重庆 如如图42421 1，对称称轴为直直线x x1 1的抛物的抛物线y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)与与x x轴的交点的交点为A A、B B两点，其中点两点，其中点A A的的坐坐标为( (3 3，0)0)(1)(1)求点求点B B的坐的坐标；(2)(2)已知已知a a
3、1 1，C C为抛物抛物线与与y y轴的交点的交点若点若点P P在抛物在抛物线上，且上，且S SPOCPOC4S4SBOCBOC，求点求点P P的坐的坐标；设点点Q Q是是线段段ACAC上的上的动点，作点，作QDxQDx轴交抛物交抛物线于点于点D D，求，求线段段QDQD长度的最大度的最大值探究一探究一 二次函数与三角形的结合二次函数与三角形的结合图图42421 1第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题 例题分层分析例题分层分析 (1)(1)抛物抛物线的解析式未知，不能通的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点解方程的方法确定点B B的坐的坐标，根据二次函数的
4、，根据二次函数的对称性，能求出称性，能求出B B点的坐点的坐标吗？(2)(2)要求抛物要求抛物线解析式解析式应具具备哪些条件？哪些条件？由由a a1 1，A(A(3 3，0)0)，B(1B(1，0)0)三个条件三个条件试一一试；(3)(3)根据根据S SPOCPOC4S4SBOCBOC列出关于列出关于x x的方程，解方程求出的方程，解方程求出x x的的值；(4)(4)如何用待定系数法求出直如何用待定系数法求出直线ACAC的解析式？的解析式？(5)D(5)D点的坐点的坐标怎么用怎么用x x来表示？来表示？(6)QD(6)QD怎怎样用含用含x x的代数式来表示？的代数式来表示？(7)QD(7)QD
5、与与x x的的函函数数关关系系如如何何？是是二二次次函函数数吗？如如何何求求出出最最大大值？第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题解解题方法点析方法点析 以以二二次次函函数数、三三角角形形为背背景景的的有有关关点点存存在在性性问题是是以以二二次次函函数数的的图象象和和解解析析式式为背背景景，判判断断三三角角形形满足足某某些些关关于于点点的的条条件件时，是是否否存存在在的的问题，这类问题有有关关于于点点的的对称称点点、线段段、三三角角形形等等类型型之之分分这类试题集集代代数、几何知数、几何知识于一体，数形于一体，数形结合，灵活多合，灵活多变 第第42讲讲二次函数
6、与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题 解解第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题例例2 2 20132013枣庄庄 如如图42422 2，在在平平面面直直角角坐坐标系系中中，二二次次函函数数y yx x2 2bxbxc c的的图象象与与x x轴交交于于A A、B B两两点点，B B点点的的坐坐标为(3(3，0)0)，与与y y轴交交于于C(0C(0，3)3)，点点P P是是直直线BCBC下下方抛物方抛物线上的上的动点点(1)(1)求求这个二次函数的解析式；个二次函数的解析式
7、；(2)(2)连接接POPO、PCPC，并并将将POCPOC沿沿y y轴对折折，得得到到四四边形形POPCPOPC，那那么么是是否否存存在在点点P P，使使得得四四边形形POPCPOPC为菱菱形形？若存在，求出此若存在，求出此时点点P P的坐的坐标；若；若不存在，不存在，请说明理由；明理由；(3)(3)当点当点P P运运动到什么位置到什么位置时，四四边形形ABPCABPC的面的面积最大？求最大？求出此出此时P P点的坐点的坐标和四和四边形形A ABPCBPC的最大面的最大面积探究二探究二 二次函数与四边形的结合二次函数与四边形的结合 图42422 2第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二
8、次函数与几何综合类存在性问题例题分层分析例题分层分析(1)(1)图中已知抛物线上几个点？图中已知抛物线上几个点？将将B B、C C的坐标代入求抛物线的解析式；的坐标代入求抛物线的解析式；(2)(2)画出四边形画出四边形POPCPOPC，若四边形，若四边形POPCPOPC为菱形，那么为菱形，那么P P点必点必在在OCOC的垂直平分线上，由此能求出的垂直平分线上，由此能求出P P点坐标吗？点坐标吗？(3)(3)由于由于ABCABC的面积为定值，求四边形的面积为定值，求四边形ABPCABPC的最大面积，即的最大面积，即求求BPCBPC的最大面积的最大面积解题方法点析解题方法点析求四边形面积的函数关系
9、式，一般是利用割补法把四边形面求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差积转化为三角形面积的和或差第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题 解解第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题探究三探究三 二次函数与相似三角形的结合二次函数与相似三角形的结合 图42423 3第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题例例题分分层分析
10、分析(1)将将_代代入入yax22axc，求求出出抛抛物物线的的解解析式；析式；(2)根根据据_的的坐坐标，用用待待定定系系数数法法求求出出直直线AC的的解解析析式；式；(3)根根据据抛抛物物线和和直直线AC的的解解析析式式如如何何表表示示出出点点P、点点M的的坐坐标和和PM的的长？(4)由由于于PFC和和AEM都都是是直直角角，F和和E对应，则若若以以P、C、F为顶点点的的三三角角形形和和AEM相相似似时，分分两两种种情情况况进行行讨论：PFC_，PFC_第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题解解题方法点析方法点析 此此类类问问题题常常涉涉及及运运用用待待定
11、定系系数数法法求求二二次次函函数数、一一次次函函数数的的解解析析式式，矩矩形形的的性性质质，相相似似三三角角形形的的判判定定和和性性质质，直直角角三三角角形形、等等腰腰三三角角形形的的判判定定要要注注意意的的是是当当相相似似三三角角形形的的对对应应边边和和对对应应角角不不明明确确时时，要要分分类类讨讨论论，以以免免漏漏解解第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题 解解第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几
12、何综合类存在性问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题探究四探究四 二次函数与圆的结合二次函数与圆的结合 例例4 4 20132013巴中巴中 如如图42424 4，在平面直角坐，在平面直角坐标系中，系中，坐坐标原点原点为O O，A A点坐点坐标为(4(4，0)0)，B B点坐点坐标为( (1 1，0)0)，以以ABAB的中点的中点P P为圆心，心，ABAB为直径作直径作P P与与y y轴的正半的正半轴交于交于点点C.C.(1)(1)求求经过A A、B B、C C三点的抛物三点的抛物线所所对应的函数解析式；的函数解析式；(2)(2)设M M为(1)(1)中抛
13、物中抛物线的的顶点，求点，求直直线MCMC对应的函数解析式；的函数解析式；(3)(3)试说明直明直线MCMC与与P P的位置关系，的位置关系，并并证明你的明你的结论图42424 4第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题例例题分分层分析分析(1)(1)已已知知抛抛物物线上上的的哪哪两两个个点点？设经过A A、B B、C C三三点点的的抛抛物物线解析式是解析式是y ya(xa(x4)(x4)(x1)1)，如何求出，如何求出C C点坐点坐标？(2)(2)怎么求出怎么求出顶点点M M的坐的坐标？(3)(3)若直若直线MCMC与与P P相切，如何去求相切，如何去求证？解解题方法点析方法点析 用用待待定定系系数数法法求求一一次次函函数数、二二次次函函数数的的解解析析式式，勾勾股股定定理理及及勾勾股股定定理理的的逆逆定定理理，解解二二元元一一次次方方程程组组，二二次次函函数数的的最最值值，切切线线的的判判定定等等知知识识点点的的连连接接和和掌掌握握，能能综综合合运运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键用这些性质进行推理和计算是解此题的关键第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题 解解第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题第第42讲讲二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题
