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1、 主要主要主要主要内容介绍内容介绍内容介绍内容介绍 典型例题选讲典型例题选讲典型例题选讲典型例题选讲 课堂自主练课堂自主练课堂自主练课堂自主练习习习习第九章第九章 重积分重积分理解理解的概念的概念 熟练掌握的概念熟练掌握的概念基基 本本 概概 念念 二重积分的定义、性质、几何意义二重积分的定义、性质、几何意义注意性质中的积分中值定理注意性质中的积分中值定理二重积分的计算二重积分的计算(直角坐标和极坐标系直角坐标和极坐标系)基基 本本 计计 算算 能能 力力 直角坐标系下的计算直角坐标系下的计算极坐标系下的计算极坐标系下的计算能用二重积分表达一些几何量和能用二重积分表达一些几何量和物理量物理量(
2、 (曲顶柱体体积曲顶柱体体积、空间曲面空间曲面的面积的面积; ;平面薄板的质量平面薄板的质量、重心重心、转动惯量等转动惯量等) )主主 要要 内内 容容二二 重重 积积 分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值二重积分的计算二重积分的计算X型型（）直角坐标系下）直角坐标系下Y型型（）极坐标系下）极坐标系下D :D :D :注意：注意：当当被积函数为被积函数为积分区域是圆或积分区
3、域是圆或圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，常可简化计算。常可简化计算。例题选讲例例 1 1分析分析 此二次积分区域是此二次积分区域是Y型型,应交换为应交换为X型型,先画积分区域草图先画积分区域草图.XYX-1O解解由左图可以将积分区域换为由左图可以将积分区域换为X型型1. 改变积分顺序的题型改变积分顺序的题型练一练练一练 1 1交换下列积分次序交换下列积分次序一一定定要要先先画画图图再再换换序序噢噢2. 用直角坐标系计算二重积分用直角坐标系计算二重积分例例 2 2解解y=1y=x2关于关于y对称对称解解先去掉绝对值符号，先去掉绝对值符号，例例 3练
4、一练练一练 2 2(1) 计算二重积分计算二重积分其中区域其中区域 是由曲线是由曲线所围成且在第一象限内的区域所围成且在第一象限内的区域.解解: 将区域将区域 视为视为 型区域型区域 ,即即为为: :0y x113y = xx = y 2D.练一练练一练 2 2试求试求k 的值的值.解解练一练练一练 3 3解解 积分区域如图积分区域如图O11将其将其分为两部分区域分为两部分区域练一练练一练 4 4例例 3 33. 用极坐标系计算二重积分用极坐标系计算二重积分练一练练一练 5 522-2-2练一练练一练 6 6解解 积分区域见右图积分区域见右图11-1O 综合练习综合练习3.4.5.解解11(2)3.用一下交换用一下交换积分顺序的方法积分顺序的方法.证明证明 积分区域见右图积分区域见右图(x)(x)DuT(x,x)O换序后的积分换序后的积分 表达式为表达式为证毕证毕 证证积分区域为积分区域为将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。5.
