《五点共圆问题 与Clifford 链定理 北京师范大学 张英伯32》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五点共圆问题 与Clifford 链定理 北京师范大学 张英伯32（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 五点共圆问题五点共圆问题 与与 CliffordClifford 链定理链定理 北京师范大学北京师范大学 张英伯张英伯 20072007年年4 4月月一、引子一、引子l在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。l江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打 征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答。我很敬佩濠江中学的这些老师们，他们的数学功底由此可见一斑。l这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，其中每相邻的两个圆交于两个点，在所得
2、五边形五顶点外的点共有五个，证明这五点共圆。l2003年春天，我去德国访问。我的老板，代数学家 Claus Ringel 问我，你知道江问题吗？我正在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单，老板得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！” lClaus 刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。l2006 年底，华东师范大学张奠宙先生在澳门组织的高级研讨班邀请我去做报告，报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起三年前与 Claus 的
3、对话，就临时改变报告题目，凭记忆谈了广义的五点共圆问题。l回到学校，正赶上本科生准备毕业论文，一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士，来我这里要题目，我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。l感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。l经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一页的最后一个脚注中，提到 Clifford 定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。l有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜索 Clifford 所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：On Miquels theorem. 遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书
4、馆，中科院图书文献中心都没有收藏。l再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。l因为没有见到原文，我今天讲的证明，基于 F. Morley 1900 年发表在美国数学会 Transaction 上的一篇文章 On the metric geometry of the plane n-line. Morley 也是英国人，几何学家。l在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公欧几里得几何的公理
5、化体系理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了几何基础几何基础一书。l十九世纪下半叶和二十世纪初，我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域。将数学基础研究首先引入中国的是我国著名的数学家，我国近代数学教育的先驱傅种孙先生傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔伯特的几何基础，倾其毕生精力在北京师范大学，师大附中教书，引进国外教材，培训中学教师。l正因为我国的近代数学研究起步较晚，对当时的一些研究领域比较陌生。l当几何基础几何基础引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形相关的点，直线和圆的问题被发现并研究。 1838年，Miquel 证明了有关四圆共点的定理。l一百三
6、十六年前的1871年，在四圆共点的定理的基础上，英国数学家 William Kingdon Clifford 建立了 Clifford 链定理链定理，并在英国早期的一本杂志Messenger of Mathematics第五册上发表了证明。l Clifford 本人因他提出的 Clifford 代数而闻名于数学界。lClifford 链定理是数学史上非常著名的有趣而又奇妙的定理。l19世纪末和20世纪初，许多欧美数学家都研究并论述过这个问题，一方面研究它的多种证明方法，一方面研究这些点圆和其他一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在欧美的许多深受欢迎的数学杂志
7、上，不断地发表与 Clifford 链定理相关的研究成果。二、Clifford 链定理的表述n=3n=2任选平面内两两相交，且不共点的三条直线，则其中每两条为一组可以确定一个点，共有三个点，那么这三个点确定一个圆圆。任选平面内两条相交直线，则这两条直线确定一个点点。 n=4n=4l任选平面内两两相交，l且任意三条直线都不共点的四条直线，l则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆，l则这四个圆共点。点。l此点被称为 Wallace 点点。n=5l任取平面内两两相交，l且任意三条直线都不共点的五条直线，l则其中每四条作为一组可确定如上所述l的一个 Wallace 点，共有五个这样的点，l
8、那么这五个点共圆圆，l此圆被称为 Miquel 圆圆l（即五点共圆问题）。n=6l任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共点，l则其中每五条为一组可以确定一个Miquel 圆，共有六个这样的圆，l则这六个圆共点。点。n=7l任取平面内两两相交，l且任意三条直线都不共点的七条直线，l则其中每六条作为一组可确定如上所述l的一个点，共有七个这样的点，l那么这七个点共圆。 一般地，l任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的2n条直线，则其中每2n-1条直线可确定一个 Clifford 圆，共确定 2n 个圆， 那么这 2n 个圆交于一点，称为 2n 条直线的Clifford 点点；l 任
9、取平面内两两相交，且任意三条直线都 不共点的 2n+1条直线，则其中每 2n 条直线可确定一个 Clifford 点，共确定 2n+1个点，那么这 2n+1 个点共圆，称为 2n+1 条直线的 Clifford 圆圆。 三、直线方程l用平面几何的方法归纳地证明 Clifford 定理几乎是不可能的，我们已经看到 n=7 的情况图形有多么复杂，实际上五点共圆问题已经够复杂了。那么用平面解析几何呢？用复平面呢？这样就可以充分借助充分借助现代数学现代数学工具。工具。让我们来试一试。l现在考虑复平面复平面 C, 建立原点，实轴和虚轴。l用 分别表示两个确定的复数确定的复数，其中 的模为1，也就是说，
10、在单位圆上。其次，用 分别表示两个复变量两个复变量，其中 的模为1，也就是说 在单位圆上运动。l考察公式 l当 在单位圆周上运动时， 跑过原点 0 和点 连线的垂直平分线连线的垂直平分线。l事实上， 而 因为 和 的模都是1，故 l另一方面，当 趋近于 时， 的模趋近于无穷大；并且 是 的连续函数。所以我们得到了一条直线得到了一条直线。l从上述分析可以看出，直线与直线与 的幅角的的幅角的取值无关取值无关。我们不妨取l利用单位圆周上的点作参数参数，利用分子分母都是参数线性函数的分式表示一个圆或一条直线，是复变函数保角映射的一个特例。四、特征常数l如果我们有两条直线： ， l则 . 两式相减，得到
11、两条直两条直 线的交点线的交点： . 记作 . 再设 . 称 为n=2时的特征常数特征常数。 l如果我们有三条直线： 令l上面的式子中，求和号表示对数组 (1 2 3) 进行轮换，分别取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 时的特征常数特征常数。l建立一个圆方程，圆心在建立一个圆方程，圆心在 ，半径为，半径为 ：l当当 时，时，l当当 时，时，l当当 时，时，l所以我们的圆经过三条直线中每两条的交所以我们的圆经过三条直线中每两条的交点点，这就是这就是三点共圆三点共圆。 l定义定义 4.1. 关于关于 n 条直线条直线 的的特征常数特征常数 定义为：定义为：l引
12、理引理4.2. l证明证明：l引理证毕。引理证毕。l特征常数有如下的共轭性质。取任意正整数特征常数有如下的共轭性质。取任意正整数 n，令，令l将将 的复共轭记作的复共轭记作 ，令，令 ，则，则l引理引理4.3. l引理引理4.4. 设设 是是 n 个变元的初个变元的初等对称多项式，记等对称多项式，记 的共轭元为的共轭元为 。 如果如果 n 个变元均取模为个变元均取模为 1 的复数，则的复数，则l证明：证明：设设 ，l则则l引理证毕。引理证毕。五、五、n=4n=4 和和 n=5n=5 时的证时的证明明l设我们有四条直线设我们有四条直线l根据第四节的讨论，三条直线确定的圆方程为：根据第四节的讨论，
13、三条直线确定的圆方程为：l或或l其中其中 是一个变元的初等对称多项式。根据引是一个变元的初等对称多项式。根据引理理4.2, 去掉四条直线中的第去掉四条直线中的第 条后的圆方程是条后的圆方程是：l根据引理根据引理4.3,方程方程 是自共轭的，即它是自共轭的，即它的共轭方程的共轭方程 与自身相等，与自身相等， 我们有：我们有：l即即 在单位圆上。又因为在单位圆上。又因为 的任意性，方程等的任意性，方程等价于：价于：l其中其中 是是 n= 4 时的特征常数。时的特征常数。则则l 即即l是四条直线的是四条直线的 Clifford 点。点。l当当 n=5 时，我们有五条直线：时，我们有五条直线：l去掉其
14、中的任意一条，所得到的四条直线确定一去掉其中的任意一条，所得到的四条直线确定一个个 Cliford 点。点。l根据引理根据引理4.2，我们可以从，我们可以从n=5 时的特征常数得到时的特征常数得到 n=4 时的特征常数，比如去掉第时的特征常数，比如去掉第 条直线，得方条直线，得方程：程：l因为因为 是一个变元的初等对称多项式，是一个变元的初等对称多项式， l分别导出了两个变元的初等对称多项式分别导出了两个变元的初等对称多项式 和和l上述方程变为：上述方程变为：l 根据引理根据引理4.3，第二个方程是自共轭的，保证了，第二个方程是自共轭的，保证了 t 在单位圆上。在单位圆上。l从方程组中消去从方
15、程组中消去 ，并用，并用 t 代替代替 ，或考察，或考察以以 和和 （以（以 t 代之）为未知数的线性方程组代之）为未知数的线性方程组，Cramer 法则给出法则给出 x 和和 t 应该满足的关系：应该满足的关系：l或或 l这就是这就是五条直线的五条直线的 Clifford 圆圆。六、Clifford 链定理l定理定理7.1. 2p 条直线的条直线的 Clifford 点由下述行列式给点由下述行列式给出：出：l而而 2p+1 条直线的条直线的 Clifford 圆由下述方程确定：圆由下述方程确定：l证明证明： 设设 p=1 在2x1 时得到两条直线的交点：l设 P=2 ， 是一个变元的初等对称
16、多项式。在 2x2-1 时得到三条直线的 Clifford 圆满足的方程： l在2x2 的情况得到四条直线的 Clifford 点满足的方程l设p=3, 是两个变元的初等对称多项式。在2x3-1 时得到五条直线的 Clifford 圆方程：l现在设现在设 2p-1条直线的条直线的 Clifford 圆满足的方程是：圆满足的方程是：l其中其中 是是 p-1个变元的初等对称个变元的初等对称多项式。多项式。则该假设当则该假设当 p=2，p=3 时都是正确的时都是正确的。我们来计算我们来计算 2p 条直线的情况。条直线的情况。l根据引理根据引理4.2, 关于关于 2p-1 条直线的特征常数可以条直线的
17、特征常数可以用关于用关于 2p 条直线的特征常数去掉某条直线，例条直线的特征常数去掉某条直线，例如第如第 条表示出来：条表示出来：l由于由于 的任意性，考察下述的任意性，考察下述 p 个方程：个方程：l其中第其中第 1+i 与第与第 p-i+1 个方程是共轭的。为方便个方程是共轭的。为方便起见，我们仅验证第起见，我们仅验证第 2 与第与第 p 个方程的共轭性。个方程的共轭性。l记记 是关于模为是关于模为 1 的复数的复数l 的初等对称多项式。则的初等对称多项式。则l根据引理根据引理 4.3, 第二个方程的共轭方程为第二个方程的共轭方程为l将两端同乘以将两端同乘以 ，根据引理，根据引理 4.4
18、得：得：l将第二个方程的两端同乘以将第二个方程的两端同乘以 ，并颠倒次序，并颠倒次序，我们有方程：我们有方程：l易见这两个方程共轭，易见这两个方程共轭， 故故 ， 在单位圆上。在单位圆上。l将将 2p 是的方程消去是的方程消去 ，即得所求公，即得所求公式，定理的第一部分证毕。式，定理的第一部分证毕。 l我们来考察我们来考察 2p+1 的情况。根据引理的情况。根据引理 4.2, 2p 条直线的特条直线的特征常数可以通过征常数可以通过 2p+1 条直线的特征常数表示出来。故条直线的特征常数表示出来。故 2p 条直线的条直线的 Clifford 点满足的方程诱导出下述点满足的方程诱导出下述 p 个方
19、程：个方程：l关于关于 p-1 个变元的初等对称多项式个变元的初等对称多项式l与与 诱导出诱导出 p 个变元的初等对称多项式个变元的初等对称多项式l方程变为：方程变为：l运用引理运用引理 4.3，与，与 2p 的情况类似可验，方程组中的情况类似可验，方程组中的第的第 i+1 个方程与第个方程与第 p+i+1 个方程是共轭的，个方程是共轭的， t 在单位圆上。在单位圆上。l在关于在关于 2p+1 的方程中消去的方程中消去 ，即得，即得所求公式。定理的第二部分证毕。所求公式。定理的第二部分证毕。lClifford 定理的正确性从数学归纳法得到。定理的正确性从数学归纳法得到。l当然，当然，特征常数特
20、征常数 a 需要满足一定的条件需要满足一定的条件，使使得直线两两相交，且没有三条直线交于一点。得直线两两相交，且没有三条直线交于一点。下面列出的第二篇参考文献就专门讨论了这下面列出的第二篇参考文献就专门讨论了这个问题。个问题。l我教过多年的线性代数，从来没有想到用矩阵，行列式和对称多项式能够如此巧妙如此巧妙地解决这样复杂这样复杂的平面几何问题。当我读到这篇文献，不由地惊叹数学家的智慧，数学的深刻与优美。 l 参考文献参考文献lF.Morley, On the metric geometry of the plane n-line, Trans.Am.Math.Soc.7,1900.lW.B.C
21、arver, The failure of the Clifford chain， American J.Math. Vol.42,No.3, 1920, 137-167. l 就讲到这里，谢谢大家谢谢大家$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTl
22、Wo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1
23、D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgS
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26、UmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+
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