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1、Displacements of Bending Beam5-1 Deflection and 5-1 Deflection and Slope of BeamSlope of Beam5-15-1梁的挠度及转角梁的挠度及转角1.1.弯曲变形的弊与利弯曲变形的弊与利2.2.挠曲线（挠曲线（deflection curve)deflection curve)3.3.挠度和转角方程挠度和转角方程(equation of (equation of deflection and slope)deflection and slope)4.4.弯曲位移的符号规则弯曲位移的符号规则1.1.弯曲变形的弊与利弯
2、曲变形的弊与利v使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。v设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。v利用变形的物理条件求弯曲静不定问题。利用变形的物理条件求弯曲静不定问题。FpFp2Fpq1.1.弯曲变形的利弊弯曲变形的利弊v使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。v设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。v利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。梁在荷载作用下，既产生应力又发生变形。5-1 Deflection and
3、 5-1 Deflection and Slope of BeamSlope of Beamo对梁进行刚度计算对梁进行刚度计算o解超静定梁解超静定梁本课程研究梁弯曲变形的本课程研究梁弯曲变形的两个目的两个目的连续性假设连续性假设梁的轴线将由原来的水平直线变成一梁的轴线将由原来的水平直线变成一条连续平坦条连续平坦(flat)(flat)的曲线的曲线挠曲线。挠曲线。平面假设平面假设梁变形后的横截面仍为平面且垂直与梁变形后的横截面仍为平面且垂直与变形后的轴线。变形后的轴线。两个基本假设在研究梁弯曲变形时的作用2.2.挠曲线（挠曲线（deflection deflection curve)curve)
4、挠度挠度（deflectiondeflection）w w横横截面形心在垂直于轴截面形心在垂直于轴线方向的位移。线方向的位移。FABXC xFAByccyxBw转角（转角（slopeslope） 横横截面绕其中性轴转过的截面绕其中性轴转过的角度。角度。水平位移水平位移u u 横截面形心沿水平方向的位移横截面形心沿水平方向的位移, ,在小在小位移假设时忽略不计。位移假设时忽略不计。B C u 直梁平面弯曲的两种位移直梁平面弯曲的两种位移3.3.挠度和转角方程（挠度和转角方程（Equation of Equation of Deflection and slope Deflection and s
5、lope） 很小很小 tgtg =dy/dx= =dy/dx= f f (x)(x)转角方程转角方程 =y =y = = f f (x) (b)(x) (b)tgtg = dy/dx = y = dy/dx = y 挠曲线是一条极其挠曲线是一条极其平坦平坦的弹性曲线的弹性曲线4.4.符号规定符号规定 挠度挠度w w 向下为正向下为正转角转角 由横截面到斜截面由横截面到斜截面顺时针为正顺时针为正 xFAByccyxBw挠曲方程挠曲方程 W =y= f(x) W =y= f(x) （a）dydx5. EXAMPEL5-2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程式梁的挠曲线近似微分方程式及其积分及其积分1
6、1、挠度和转角的关系、挠度和转角的关系2 2、建立挠曲线微分方程、建立挠曲线微分方程3 3、积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移4 4、由边界条件确定积分常数、由边界条件确定积分常数结论：梁截面的转角等于挠曲线结论：梁截面的转角等于挠曲线y y对于位对于位置坐标置坐标 x x的一阶导数。的一阶导数。挠曲线挠曲线 y=f(x)y=f(x) 上任上任意点的切线斜率为：意点的切线斜率为： A xFAByccyxBw1 1、挠度和转角的关系、挠度和转角的关系2 2、建立挠曲线微分方程、建立挠曲线微分方程（1 1）物理方面）物理方面: :（2 2）几何方面：）几何方面：E Iz y= - M(x)(5-
7、2b)积分法、叠加法、奇异函数法、积分法、叠加法、奇异函数法、能量能量法、图解法、有限差分法、初参数法法、图解法、有限差分法、初参数法挠曲线近似微分方程4-43 3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移4 4 由边界条件由边界条件(boundary condition) (boundary condition) 确定确定积分常数。积分常数。1）基本方程基本方程：EIzy= - M(x) （5-2b）2）一次积分获转角方程一次积分获转角方程 EIzy= - M(x) dx+c （5-3a） 3）二次积分获挠度方程二次积分获挠度方程 （5-3b） EIzy= - M(x) dx dx +Cx+D
8、C C、D D为方程的积分常数为方程的积分常数中间铰中间铰4 4、由边界条件确定积分常数、由边界条件确定积分常数PxABxabcF悬臂梁的固定端处悬臂梁的固定端处（1 1）约束条件（）约束条件（ constraint condition ）x=0 x=0 ： =0 y=0=0 y=0 简支梁的支座处简支梁的支座处x=0 x=0 ：y y A A=0; =0; x=L x=L ：y y B B=0=0(2)(2)连续条件（连续条件（continuity condition ）x=ax=a：y yB左左= y= yB右右 B左左= = B右右FxcBaaax=ax=a：y yB左左= y= yB右
9、右 外伸梁外伸梁B B端端连续条件连续条件 x=4，AB10KN4m1my yB B左左= y= yB B右右yB=0； B B左左= = B B右右5.EXANPEL5.EXANPEL！：！： 挠曲线近似微分方程的适用范围挠曲线近似微分方程的适用范围1 1）均匀材料与等直截面梁）均匀材料与等直截面梁EIEI为常值。为常值。2 2）M(x)M(x)是连续函数。是连续函数。3 3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。）梁的变形是在线弹性小变形范围内。4)4)yx0例例5-15-1：求悬臂梁：求悬臂梁B B截面的转角和截面的转角和B B截面挠度，截面挠度，设设 ：梁长为：梁长为L L，EI = EI
10、= 常数常数 。列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程求约束反力求约束反力 YA=F mA= FLEI y= EI = F(Lx - x2/2) + CEI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D列弯矩方程列弯矩方程 M(x)=Fx-FL求位移方程求位移方程FBxxA A5.EXANPEL5.EXANPEL EI y= = F(Lx - x2/2) + CEI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D确定积分常数确定积分常数x=0 x=0 A A= 0 y= 0 yA A= = 0 C=0 D=0 0 C=0 D=0y= y= = F (Lx - x = F
11、 (Lx - x2 2/2) /EI /2) /EI y= F (Lxy= F (Lx2 2/2 - x/2 - x3 3/6)/EI/6)/EI求求B B截面转角和位移将截面转角和位移将 x=Lx=L 代入代入FBxx 例例5-2 5-2 图示一弯曲刚度为图示一弯曲刚度为EIEI的简支的简支梁，在全梁上受集度为梁，在全梁上受集度为q q的均布荷载的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。程，并确定其最大挠度和最大转角。解：解：求约束反力求约束反力列弯矩方程列弯矩方程求位移方程求位移方程列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程确定
12、积分常数确定积分常数求最大挠度和位移求最大挠度和位移EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。ABLacFb挠曲线方程和转角方程挠曲线方程和转角方程最大挠度和最大转角最大挠度和最大转角5-3 5-3 按叠加原理计算梁按叠加原理计算梁的挠度及转角的挠度及转角1. 叠加原理的适用范围叠加原理的适用范围2.2.叠加原理叠加原理1)1)力的分解法力的分解法- - 2)2)梁的分段法梁的分段法-5-3 Approximately Differential Equation for 5-3 Approximat
13、ely Differential Equation for Deflection Curve of Beam and Its Integration Deflection Curve of Beam and Its Integration 1. 叠加原理的适用范围叠加原理的适用范围 在材料的线弹性范围内，梁的小变形且在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系角与作用在梁上的荷载成线性关系. 2.2.叠加原理叠加原理 ）梁在几项荷载同时作用下某一横截面）梁在几项荷载同时作用下某一横截面的挠度和转角，
14、可等于每一项荷载单独作的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的用下该截面的挠度和转角的叠加叠加表明荷载对梁变形的影响是独立的表明荷载对梁变形的影响是独立的例：简支梁受集中力和集中力偶。求：例：简支梁受集中力和集中力偶。求：A A、B B两端转角和中点挠度。两端转角和中点挠度。 A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EIF： A1、 B1、yc1 A1= - B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI m： A2、 B2、yc2 解：将梁分为力解：将梁分为力F F和力和力偶偶m m单独作用的情况：单独作用的情况：ABL/2L/2c
15、FABcyc 2mABcFyc1=力力的的分分解解法法 B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI力的分解法力的分解法-各横截面的位移或转角等各横截面的位移或转角等于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠度和转角代数和。度和转角代数和。 A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EIF： A1、 B1、yc1 A1= - B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI m： A2、
16、 B2、yc2例例5-55-5：简支梁在半跨度上作用荷载：简支梁在半跨度上作用荷载q q，求梁中点的挠度。求梁中点的挠度。ABLq/2q/2AL/2L/2q/2BqAL/2L/2c=+加平衡力系再分解加平衡力系再分解-”加减法加减法”2几项荷载同时作用在梁的不同区段上，几项荷载同时作用在梁的不同区段上，梁某一横截面的挠度和转角，可等于每梁某一横截面的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用于梁各区段时该截面一项荷载单独作用于梁各区段时该截面的挠度和转角的叠加的挠度和转角的叠加EXAMPLE 求图示梁的最大转角和最大挠度。aLpx解解 ： 1 建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程aLpx
17、aLpx例：计算悬臂梁的挠度例：计算悬臂梁的挠度y yc c。解：解： 1 1、将梁、将梁ABAB看作悬臂梁，在均布荷载看作悬臂梁，在均布荷载q q的作用的作用下：下：查表：查表： y yB B= qa= qa4 4/8EI/8EI， B B= = qaqa3 3/6EI/6EI 2 2、把梁、把梁BCBC看作梁看作梁ABAB的延伸部分，仍保持为的延伸部分，仍保持为直线。直线。由于小变形：由于小变形： y yC C= = y yB B + + B B a ay yc c= = qa qa4 4/8EI +qa/8EI +qa4 4/6EI= 7qa/6EI= 7qa4 4/24EI /24EI
18、 （）AcBaayBBycABCBaaAC例：求例：求 C C截面挠度和转角。截面挠度和转角。(1) yc1 = -7qa4/24EI()(2)yc2 = q（2a）4/8EI() yc = yc1 + yc2 41qa4/24EI() B = -qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI= =+ +作业作业Skt-5-1,5-2Xt-5-1, 11.711月月14日日SKT 5-7XT 5-13, 5-15, 5-19, 5-25&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW4nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iAT1kCV3lEW5nGY6pH
19、#8rJ!asL%cuM*dwO)fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX6oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAS1jCU3lDW4nFY6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(fxP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pH#8qJ!asL%buM*dvO(fxQ-gzR0iBT1kCV3mEW5nGY7pH#8r
20、J!asL%cuM*dwO)fxQ-hzS0iBT2kDV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*ewO)fyQ+hzS0jBU2kDV4mEX5oGZ7pI#9rK$atL&cvN*ewP)gyQ+hAS0jBU2lDV4mFX6oGZ7qI!9rK$btM&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4nFX6oHZ8qI!9sK%btM&dvN(exP-gyR+iAT1jCU3lEW4nFY6pHZ8qJ!9sK%buM&dvO(fxP-gzR0iAT1kCV3lEW5nFY6pH#8qJ!asL%buM*dwO(fxQ-hzR0iBT2kCV3mEW5nGY7pH#8rJ$a
21、sL%cuN*dwO)fyQ-hzS0iBT2kDV3mEX5oGY7pI#9rJ$atL&cuN*ewO)fyQ+hzS0jBU2kDV4mFX5oGZ7qI#9rK$atL&cvN*ewP)gyQ+hAS1jBU2lDW4mFX6oHZ7qI!9rK$btM&cvN(exP)gyR+iAS1jCU3lDW4nFX6oHZ8qI!9sK%btM&dvO(exP-gzR+iAT1jCU3lEW4nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iAT1kCV3lEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuM*dwO(fxQ-hzR0iBQ-hzS0iBT2kDV3mEX5oGY7pI#
22、9rJ$atL&cuN*ewO)fyQ+hzS0jBU2kDV4mFX5oGZ7qI#9rK$btL&cvN*ewP)gyQ+hAS1jBU2lDW4mFX6oHZ7qI!9rK$btM&cvN(exP)gyR+iAS1jCU3lDW4nFX6oHZ8qI!9sK%btM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW4nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iAT1kCV3lEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuM*dwO(fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$asL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rJ
23、$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX5oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jBU2lDW4mFX6lDW4nFX6oHZ8qI!9sK%btM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW4nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iAT1kCV3lEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuM*dwO(fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX5oGZ7q
24、I#9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAS1jCU3lDW4nFY6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pH#8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX5oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4mFX6
25、oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAS1jCU3lDW4nFY6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pH#8qJ!asL%buM*dvO(fxQ-gzR0iBT1kCV3mEW5nGY7pH#8rJ!asL%cuM*dwO)fxQ-hzS0iBQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX6oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAS1jCU3lDW
26、4nFY6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pH#8qJ!asL%buM*dvO(fxQ-gzR0iBT1kCV3mET2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX6oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAS1jCU3lDW4nFY6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(fxP-gzR+iAT1kC
27、U3lEW5nFY6pH#8qJ!asL%brJ!asL%cuM*dwO)fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rK$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX6oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAS1jCU3lDW4kCU3lEW4nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iBT1kCV3lEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuM*dwO)f
28、xQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rK$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4jBU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&cvN(exP)gyR+iAS1jCU3lDW4nFY6oHZ8qI!9sK%btM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iBT1kCV3lEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuM*dwO)fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*
29、ewO)fyQ-hzP)fyQ+hAS0jBU2kDV4mFX5oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyQ+hAS1jBU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&cvN(exP)gyR+iAS1jCU3lDW4nFY6oHZ8qI!9sK%btM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pHZ8qJ!6pH#8rJ!asL%buM*dwO(fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pH#8rJ$asL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV3mEX5oGY7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2kDV4mFX5oGZ7qI
30、#9rK$btL&cvN(ewP)gyQ+hAS1jBU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&cvN(etM&dvO(exP-gyR+iAT1jCU3lEW4nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxP-gzR0iAT1kCV3lEW5nGY6pH#8rJ!asL%buM*dwO(fxQ-hzR0iBT2kCV3mEX5nGY7pH#8rJ$asL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGY7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2kDV4mFX5oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyQ+hAS1jBU2lDW4mFX6o
31、HZ7qI!9sK$btM&dvN(exP)gyR+iAS1jCU3lDW4nFY6oHZ8qJ!9sK%btM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iBT1kCV3lEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuJ$asL%cuN*dwO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGY7pI#9rJ$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2kDV4mFX5oGZ7qI#9rK$btL&cvN(ewP)gyQ+hAS1jBU2lDW4mFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP)gyR+iAS1jCU3lDW4
32、nFY6oHZ8qJ!9sK%btM&dvO(exP-gzR+iAT1kCU3lEW5nFY6pHZ8qJ!asK%buM*dvO(fxQ-gzR0iBT1kCV3mEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuM*dwO)fxQ-hzS0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*ewO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rK$atL&cuN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX6oGZ7qI!9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4nFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAT1jCU3lDW4nFY
33、6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(fxP-gzR0iAT-gzR0iBT1kCV3mEW5nGY6pH#8rJ!asL%cuM*dwO)fxQ-hzS0iBT2kCV3mEX5nGY7pI#8rJ$atL%cuN*ewO)fyQ-hzS0jBT2kDV4mEX5oGZ7pI#9rK$atL&cvN*ewP)fyQ+hAS0jBU2lDV4mFX6oGZ7qI!9rK$btL&cvN(ewP)gyR+hAS1jCU2lDW4nFX6oHZ7qI!9sK$btM&dvN(exP-gyR+iAT1jCU3lEW4nFY6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(fxP-gzR0iAT1kCU3lE
34、W5nFY6pH#8qJ!asL%buM*dwO(fxQ-gzR0iBT1kCV3mEW5nGY7pH#8rJ$asL%cuM*dwO)fxQ-hzS0iBT2kDV3mEX5oGY7pI#9rJ$atL%cuN*ewO)fyQ+hzS0jBU2kDV4mFX5oGZ7pI#9rK$atL&cvN*ewP)gyQ+hAS1jBU2lDV4mFX6oGZ7qI!9rK$btM&cvN(etM&dvN(exP-gyR+iAT1jCU3lEW4nFY6oHZ8qJ!9sK%buM&dvO(fxP-gzR0iAT1kCU3lEW5nFY6pH#8qJ!asL%buM*dwO(fxQ-gzR0iBT1kCV3mEW5nGY7pH#8rJ$asL%cuN*dwO)fxQ-hzS0iBT2kDV3mEX5oGY7pI#9rJ$atL%cuN*ewO)fyQ+hzS0jBU2kDV4mFX5oGZ7pI#9rK$atL&cvN*ewP)gyQ+hAS1jB
