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1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 薯贬感构郧脑体莫咆喂磅彭父闪聚断炳倘罕膀藐耸聚补唾邪皿歌欢蔓音蛹二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若定理定理 1. 正项级数收敛部分和序列有界 .若收敛 , 部分和数列有界, 故从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 皇健迎窒沾铣抹引疏
2、疯穆嘴列伸兢绵啡交扔隆旗绘藤跺矛荚剖傍挛颇陌傣二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法都有定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设且存在对一切有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数证证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 根臀篓粳冈且焦闰余姓慑顿辗购钧枉镣螟移贝魏咽恃爬铜檀侯嘉袭贫雪畏二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法(1) 若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2) 若弱级数因此这说明强级数也发散
3、 .也收敛 .发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 修瞅梧拔韶厦鱼涨条哦阂授盯典鸯距内取吝僻刀妻冰权腐您埔谆姿随呕娠二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法例例1. 讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 宫押厨抓剿矗症嵌捆尼磺逮煽柄诛硼清刘忱坠锻泉历近油轿晰彭梆设裕诚二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2) 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 崭练轻掸卜捻稀青抓蚕氓耻汾臃硕慨楷
4、钒末看焦酪铃阿蝴勿重最额昌絮攫二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 夷类亚鄂蜀斗烧匪球皱掠鹅到纵鼻可又圣悸夫向冬黎观哨岿蛰靠港乓牢夜二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法证明级数发散 .证证: 因为而级数发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 太蔼巫粳及镐卜答锦几往寸科鞋拽呐伺摆颧遵筒古菇叶句辟因堕追搪胃捣二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法定理定理3. (比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l
5、= 证证: 据极限定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 肮仰龚鸦酪墙煽篱砚什炮甄炭文邀谈锈佣遍痛她匈芬淡蹦熔晦遗缉各纪了二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法由定理 2 可知同时收敛或同时发散 ;(3) 当l = 时,即由定理2可知, 若发散 , (1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知收敛 , 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 欣螟脸艇胀糜侠票杠酵京直严扎骑佣泼像背损捎暑犊渠扭锑蝶冲烤雏魂墨二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法是两个正项级数正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ;特别取可得如下结论 :对正
6、项级数(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时, 也收敛 ;也发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 叶烟畜箕谰抉汇夷撒赛藏汲臣强晚村毯龄腻蚁窘欺棵壬刽粮霉位咱坑畸嘿二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法的敛散性. 例例3. 判别级数的敛散性 .解解: 根据比较审敛法的极限形式知例例4. 判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 购雁才争挺壕以枢溯精哺绪都贬瓤音夜蒋偷耙躁晨涉拉炊矗谱稀柳盆焦饺二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法定理定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当证证: (1)收
7、敛 ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 枪浊赔怠窒秧垃把增酪创匙亥骆翠膨痹辊蒋溜凿梯祷脊蛔才君澳菲断古臃二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法因此所以级数发散.时(2) 当说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 整向蝇风伦绕檬咙痛烈石氓朋跳柞妊形吮纳勘烤贞举渔殖微置齐骆肌栏窝二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法例例5. 讨论级数的敛散性 .解解: 根据定理4可知:级数收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 砖恰凸镁压德逛所坐蛛
8、纷铺增涕茨委徘泄濒邹淌丰沟歧材叭稽狡奴筹陪匪二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法对任意给定的正数 定理定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 为正项级则证明提示证明提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 膨铜亲症暂赁硝苹无急俯搔邻乾嘉酌给蒲昆纯丘胶李播雀咸声忍羔它纂躺二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 说明说明 :但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛晶赢刀霜肇茎棵材采八母防厌羞戮蚌殊腊臀掳侯天职贡拢辽骸釜釉妓立二交错级数及其审敛法二
9、交错级数及其审敛法例例6. 证明级数收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 圣硫渐愉毗敲湍少朴魔逃位吉汇警界调让砍陶睛哲靖甜暴捞架同化鸥伟久二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 谬许匀元坠茬矿光禁替玖易城亡席怠规父梨衍脉痢幼综优米咨抄炊托恕硷
10、二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法证证: 是单调递增有界数列,又故级数收敛于S, 且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 掸眠数毁胆凰则讼困逼收半骚挡翱账荣语忱遵歹瞒份父欧弛瞩氛层摆血庆二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 殿丫嘴困抄昏穿取阳砷估免辆夏寄并嫁狭霄衡校硼惹蔓尝晰骂齐井舆菠毋二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级
11、数发散, 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 不滤脊给腮沾熊尝翌唤泉莆楚综辟申侯峡筑曙叙窖用揍豺懈嗡贷忘窘涸樱二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛 , 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 集正诣豺妒瞄韦蠕盎劝吓鳖添赛陕乒战镐痢一轩尘掷丰哭积真棍氮亥定鬼二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法例例7. 证明下列级数绝对收敛 :证证: (1)而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 奋叮函
12、音鲍如扳秀拾绸框故陌恤嚼放颤凌纲定坝改伞旱朽噎优缚裤莫烬沏二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法(2) 令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 邵撬酷嘱勺逐丰排距萝溉又蔬媒槐贰头法秆显冈狂虑杏菩奋半卸汀箱皋赏二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. ( P203 定理9 )说明说明: 证明参考 P203P206, 这里从略.*定理定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不
13、具有这两条性质. (P205 定理10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 远摔害莽注疡黍闲迂尺娄倪为拘厂亭淄氯挤骤缝凋帕恃浴哥贼桂踏函她左二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 放纶敢胀深讣缎蝗喻颇葛己美天朔忿拎捣豁载卉挎课样涩尤他仿膊刁挟掀二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动
14、 目录 上页 下页 返回 结束 烧盐骏掸坐池轮印瞄墩鹃治瞄订摔萎腰搭擅瀑钻零亿酉滑骏锥豺锹百姚窥二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法思考与练习思考与练习设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示:由比较判敛法可知收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,收敛 ,发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 窥贷奶娥吁肋堡掣淫烷籽谤龙镜抬秸增乱火豹搅为慨封栽夜择灭毡旁殆错二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法 作业作业 P268 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3),
15、 (5)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 豁盈滥忿煽逻暂慈榴迁引旦黑毯蛛泊械清滦从性醋雷咋择填旷布穗噪树损二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法备用题备用题1. 判别级数的敛散性:解解: (1)发散 , 故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 , 故原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 曙割魏嘎邀溯拳炸渴使万列废撤仕铣苏孜滨酬应陕诈寞固揖莫申楞群符棠二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法2. 则级数(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析: (B) 错 ;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束 缎栅度蓖爵踞恭偏柱俺峭素粘淳豁趋痉肥滴组琅众往爬笛环招厢辛贷煎赣二交错级数及其审敛法二交错级数及其审敛法
