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1、第27讲 Lp-空间简介 本讲目的：掌握Lp-空间的定义及其重要意义， 重点与难点： Newton-Leibniz公式的证明。1青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数），但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此基础上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet首先定义了0，1上的平方可积函数空间，即 2青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得到空间 ,考虑这些空间
2、的一个基本思想是，不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木, 现在则要将这些树木放在起构成一片森林。 3青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介一. 空间的定义 我们知道，Rn中有线性运算，有距离公式，对于两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先，所定义的距离必须有意义，例如，对于 中的两个函数 ，可以用 定义它们的距离，但如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离的一些最基本的
3、性质。这些性质是什么呢？我们可以通过 中的距离归纳出来，即下面的 4青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介定义1 设 是一个集合。 的函数。满足：（i）对任意 （ii）对任意 （iii）对任意（三角不等式）。 则称是A上的距离是E上的Lebesgue可测函数， 设且 。5青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 对任意 ，显然 仍是E上的可测函数，由于对任意实数 ，有 所以6青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介因此不难看出 。从 的定义，启发我们以下面的方式定义 上的距离：由上面的讨论，显见对任意 ，有7青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 即 上非负的有限函数。它是不是 上的距离呢？为此，设 ，则得 ，
4、于是 ，进而 由此立得 另一方面，若 8青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介则 ，从 而 。 上述分析说明， 并不是 上的距离，但使 的函数必有几乎处处相等的，反之亦然。因此，我们可以将 中几乎处处相等的函数放在一起，从而构成新的集合： 当且仅当 9青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 对任意 ，定义 不难看到，对任意 ， ，恒有 故上面的定义是无歧义的，此外，若 ，则显然有 。这样， 作为 上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。 10青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 为方便起见，以后也用 记 ，只要说 则指的就是与 几乎处处相等的函数
5、类 ，若 说 则指的就是单一的函数 。 二。几个重要的不等式 引理1 设 是正数， ， ，则 等式成立当且仅当 ，或 中有一个为0。11青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 证明：不妨设 （ 情形可类似证 明），由引理的条件知，于是要证的不等式可写成 即记 ，则对任意 ，存在 ，使 ， 因 ，所以 ，从而 ， 12青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 即 。令 ，立得 从证明过程可以看出，等号成立当且仅当 或 或0，证毕。 定理1（霍尔德（Holder）不等式） 设 ，（满足条件的 称作共轭数）， ， ，则 13青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 且 。（1）等式成立当且仅当 与 相差一个常数因子
6、。 证明：若 中有一个为0，则（1）式显然成立（事实上，此时（1）式两边都为0），故不妨 设 均不为0。于是都不为0，14青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 记 则由引理1，当 ， 都不为0时，有 即 15青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 且等号只有在 即 与 只差一个常数因子时才成立，不等式两边作积分得 ，此即所要的不等式，证毕。 定理2（Minkowski不等式）16青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 设 ， ， 则 （2）若 ，则等号只在 与 相差一个非负常数因子时成立。 证明：当 时，不等式显然成立，若 , 则不等式也是显然的，故不妨 17青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 设 ，且
7、 ，注意到 时 ， ，故 其中 是 的共轭数，即 ，于是由Holder不等式得 （3）18青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 类似地，也有 （ 4） 将两个不等式相加得 19青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 两边同除以 立得所要的不等式。 要使（2）式中的等号成立，必须且只需（3）、（4）及 （5）的第一个不等式成为 等式，而使 （3）、（4）成为等式的充要 20青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 条件是 ， 与 都只差一常数因子.由于假设了 从而 ，所以 与 只差一常数因子，即存在常数c，使 进而 。要使（5）中第一个不等式成为等式，必须有 21青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 这意味着 与 的符号在E上几乎处处相 同， 从而由 得 所以 ，证毕。 由定理2不难看到 上的函数 满足三角不等式，即对任意 ， 22青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 有 。事实上， 。综上立知 是 上的距离对 ，定义23青苗辅导1第27讲 Lp-空间简介 则由距离的定义立得 （i） ， 当且仅当 。 （ ii） 对 任 意 ， 。 （iii） 称满足（i）、（ii）、（iii）的“函数” 为 上的范数， 称为 的范数，它是 中向量的“模”或“长度”概念的自然推广。 24青苗辅导1
