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1、最大熵谱最大熵谱1主要内容主要内容1.1.基本概念基本概念2.2.随机信号通过线性系统后熵率的变化随机信号通过线性系统后熵率的变化3.3.随机信号的谱熵随机信号的谱熵4.4.最大熵谱分析最大熵谱分析2 1. 1.基本概念基本概念 1.1 1.1熵的概念熵的概念 在通信系统中，设传递在通信系统中，设传递N N个信号个信号 ，它们的概率分别为它们的概率分别为 ， 。在长的传输周期。在长的传输周期内，产生了内，产生了L L个信息序列，所以信号个信息序列，所以信号 的出现，都可能得到所希望获得的某种信息。把的出现，都可能得到所希望获得的某种信息。把这些信息量记为这些信息量记为 ，每个间隔的平，每个间隔
2、的平均信息量，即熵可以表示为：均信息量，即熵可以表示为：3 它表示某个事件出现概率的函数。它表示某个事件出现概率的函数。 如果对数以任意数如果对数以任意数a a为底，上式可写成：为底，上式可写成：式中式中c c为大于零的常数。它的物理意义是表示发生该事件为大于零的常数。它的物理意义是表示发生该事件的不确定性。如果的不确定性。如果 ，此时，此时 ， , ,即熵即熵为零，表示系统的不确定性为零，也就意味着事件肯定出为零，表示系统的不确定性为零，也就意味着事件肯定出现。现。 41.2熵率的概念熵率的概念对于离散型无限长随机序列或随机过程的熵率，对于离散型无限长随机序列或随机过程的熵率，其联合概率为其
3、联合概率为 ，由上式可知熵率或，由上式可知熵率或极限熵的定义为：极限熵的定义为：52.随机信号通过线性系统后熵率的变化随机信号通过线性系统后熵率的变化设设 为平稳随机信号为平稳随机信号 通过线性系统后的输出，通过线性系统后的输出，若若 的熵率为的熵率为 ， 的熵率为的熵率为 ，则线性系，则线性系统输入与输出熵率的关系为统输入与输出熵率的关系为式中式中 随机信号的频带宽度，必须服从采随机信号的频带宽度，必须服从采样定理样定理 = 。63.随机信号的谱熵随机信号的谱熵谱熵可定义为谱熵可定义为上式表明谱熵是谱的不确定性的测度。由谱上式表明谱熵是谱的不确定性的测度。由谱熵定义可知，平稳随机过程的熵定义
4、可知，平稳随机过程的 的熵率与的熵率与谱熵具有下述关系谱熵具有下述关系上式表明使熵率最大等价于使谱熵最大。上式表明使熵率最大等价于使谱熵最大。74.最大熵谱分析最大熵谱分析4.1 最大熵谱的含义最大熵谱的含义设自协方差函数设自协方差函数 已知，它和功率谱已知，它和功率谱 之间是傅里叶变换对，于是之间是傅里叶变换对，于是谱熵最大法是在上式谱熵最大法是在上式n+1个自协方差函数的约个自协方差函数的约束下使得谱熵最大的功率谱为最大熵谱。束下使得谱熵最大的功率谱为最大熵谱。8应用拉格朗日乘数法，构造函数应用拉格朗日乘数法，构造函数式中，式中， 为待定的拉格朗日乘数，将上为待定的拉格朗日乘数，将上式对式
5、对 求导并令其为零，可得求导并令其为零，可得9整理可得整理可得104.2 最大熵谱与最大熵谱与AR谱的一致性谱的一致性从两方面来分析：从两方面来分析：一、从一、从 模型直接计算自协方差函模型直接计算自协方差函数，因平稳随机过程具有外延性，可直数，因平稳随机过程具有外延性，可直接按接按 模型递推计算，得到模型递推计算，得到结合功率谱的计算公式，其结论与由最结合功率谱的计算公式，其结论与由最大熵谱得到的功率谱结果是一致的。大熵谱得到的功率谱结果是一致的。 11二、从自协方差函数和格林函数的关二、从自协方差函数和格林函数的关系分析可知，前者表示系统输出的数系分析可知，前者表示系统输出的数据特性，后者表示输出的系统特性，据特性，后者表示输出的系统特性，并定义格林函数的傅里叶变换为频率并定义格林函数的傅里叶变换为频率特性函数，推导可得特性函数，推导可得12上式是从系统输出的特性推导出来的，它与由最上式是从系统输出的特性推导出来的，它与由最大熵谱得到的功率谱也是完全一致的，只是符号大熵谱得到的功率谱也是完全一致的，只是符号稍有不同。可见用最大熵谱作为优化准则估计出稍有不同。可见用最大熵谱作为优化准则估计出来的功率谱密度可满足来的功率谱密度可满足AR模型式。模型式。13谢谢大家谢谢大家14
