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1、第一部分第一部分 教材知识梳理教材知识梳理第三章第三章 函函 数数第四节第四节 二次函数图象与性质二次函数图象与性质考点一考点一中招考点清单二次函数的概念二次函数的概念1.概念概念：形如：形如 _(a0，a，b，c为常数为常数)的的2. 函数叫做二次函数函数叫做二次函数.其中其中x是自变量，是自变量，a、b、c分别是函分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.特别地，特别地，当当a0,b=c=0时，时，y=ax2是二次函数的特殊形式是二次函数的特殊形式.3.2. 二次函数的三种表达式二次函数的三种表达式4. (1)一般式一般式:y=ax2+bx+
2、c(a,b,c为常数，为常数，a0);5. (2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h，k为常数，为常数，a0);6. (3)两点式：两点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数，为常数，a0).y=ax2+bx+c1. 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质二次函数二次函数yax2bxc(a、b、c为常数为常数，a0)大致大致图象图象a0a0开口开口方向方向向上向上向下向下考点二考点二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质(高频考点高频考点)顶点坐顶点坐标标(_)_)对称轴对称轴 直线直线x_增减性增减性当当x 时时，y随随x的增大的增大而而_；当当x 时时，
3、y随随x的增大而的增大而_，当当x 时时，y随随x的增的增大而大而_；当当x 时时y随随x的增大而的增大而_，最值最值当当x 时时，y有最小值有最小值，y最小值最小值当当x 时时，y有最大值有最大值，y最大值最大值减小减小增大增大减小减小增大增大特殊特殊关系关系当当x=1时时，ya+b+c当当x=-1时时，y=a-b+ca+b+c0，即即x=1时时，y0a-b+c0,即即x=-1时时，y02. 抛物线抛物线y=ax2+bx+c与系数与系数a,b,c的关系的关系a决定抛物线开口决定抛物线开口方向及大小方向及大小a0,抛物线开口抛物线开口_a0，对称轴在对称轴在y轴轴 _ 0，抛物线与抛物线与y轴
4、交于正半轴轴交于正半轴c0时时，与与x轴有两个不同轴有两个不同的交点的交点b2-4ac0时，抛物线时，抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有两个交点，方程轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；有两个不相等的实数根；(2)当当b2-4ac=0时，抛物线时，抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有一个交点，方轴有一个交点，方程程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；有两个相等的实数根；(3)当当b2-4ac0，函数图象在函数图象在x轴下方时，轴下方时，a+b+c0，同理可由，同理可由x=-1,x=2,x=-2判判断断a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c与与0的关系式及相应的
5、变形；的关系式及相应的变形；5.由由 1和和 -1可确定可确定b2a0和和b-2a0；拓展题拓展题1 如图，抛物线如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是过点的对称轴是过点(1，0)且平行于且平行于y轴的直线，若点轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则在该抛物线上，则4a-2b+c的值为的值为_.0【解析解析】抛物线的对称轴是直线抛物线的对称轴是直线x=1，且抛物线与，且抛物线与x轴的一轴的一个交点坐标是个交点坐标是(4，0)，抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为(-2，0)，当当x=-2时，函数值是时，函数值是0，即，即a(-2)2b(-2)c=0，化，化
6、简为简为4a-2bc=0.类型二类型二 求二次函数解析式求二次函数解析式例例2 已知抛物线的顶点坐标为已知抛物线的顶点坐标为(1，-2)，且经过点，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式求此二次函数的解析式.解：解：已知抛物线的顶点坐标为已知抛物线的顶点坐标为(1，-2)，设此二次函数的解析式为设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,把点把点(2，3)代入解析式，得代入解析式，得a-2=3,即即a=5,此函数的解析式为此函数的解析式为y=5(x-1)2-2.类型三类型三 二次函数图象平移二次函数图象平移例例3 (15成都成都)将抛物线将抛物线y=x2向左平移向左平移2个单位长度，再向
7、下个单位长度，再向下平移平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )A. y=(x+2)2-3 B. y=(x+2)2+3C. y=(x-2)2+3 D. y=(x-2)2-3【解析解析】本题考查二次函数图象的平移本题考查二次函数图象的平移.把把y=x2向左平移向左平移2个个单位得到单位得到y=(x+2)2，再向下平移，再向下平移3个单位长度得到个单位长度得到y=(x+2)2-3.A【方法指导方法指导】解决抛物线平移问题要遵循解决抛物线平移问题要遵循“左加右减，上左加右减，上加下减加下减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或的原则，据此，可以直
8、接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式，同时要注意点坐标的平移规律即减求出变化后的解析式，同时要注意点坐标的平移规律即“左减右加，上加下减左减右加，上加下减”拓展题拓展题2 (15上海上海)如果将抛物线如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移，使它向上平移，使它经过点经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是，那么所得新抛物线的表达式是_.y=x2+2x+3【解析解析】图象组上下平移，只改变纵坐标当图象组上下平移，只改变纵坐标当x=0时，时，y=-1，则图象一定经过点则图象一定经过点(0，-1)，平移后的图象经过点，平移后的图象经过点A(0，3)，则，则需将图象向上平移需将图象向上平移4
9、个单位个单位.二次函数二次函数yx22x1=(x+1)2-2, 向上平移向上平移4个单位，得个单位，得y(x+1)2-2+4(x+1)2+2 =x2+2x+3，所，所得新抛物线的表达式是得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3.失分点失分点11 对二次函数增减性对二次函数增减性的讨论出错的讨论出错已知点已知点A(x1,y1)、(x2,y2)在二次函数在二次函数y=-(x-1)2+1的图象上，的图象上，若若x1x21,则则y1_y2(填填“”、“”或或“”).【解析解析】函数函数y=-(x-1)2+1的对称轴是的对称轴是x=1，又因为，又因为x1x21,则则x1，x2均在对称轴的右侧，则均在对称轴的右侧，则y随随x的增大而增大，当的增大而增大，当x1x2时，有时，有y1y2.【答案答案】上述解析过程错误原因是上述解析过程错误原因是_，正确答案是正确答案是_.没有考虑二次函数的开口方向没有考虑二次函数的开口方向【名师提醒名师提醒】二次函数的增减性要从抛物线的开口方向及对二次函数的增减性要从抛物线的开口方向及对称轴两侧分类讨论称轴两侧分类讨论. .
