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1、2021/6/161区间估计的思想区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。区间范围。引例引例 设某厂生产的灯泡使用寿命设某厂生产的灯泡使用寿命XN（ ，1002），现），现随机抽取随机抽取5只，测量其寿命如下：只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为2021/6/162可以认为该种灯泡的使用寿命在可以认为该种灯泡的使用寿命在
2、1473.4个单位时间左右，个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右左右”呢？呢？如果要求有如果要求有95%的把握判断的把握判断 在在1473.4左右，则由左右，则由U统计统计量可知量可知由由查表得查表得 2021/6/163置信水平、置信区间置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数设总体的分布中含有一个参数 ，对给定的，对给定的 ，如果，如果由样本（由样本（X1，X2，Xn）确定两个统计量）确定两个统计量 1（ X1，X2，Xn ），）， 2（ X1，X2，Xn ），），使得使得P 1 2=1- ，则称随机区间（，则称随机区间（ 1
3、 ， 2 ）为）为参数参数 的置信度（或置信水平）为的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。的置信区间。 1置信下限置信下限 2置信上限置信上限2021/6/164几点说明几点说明 1、参数、参数 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间（的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有表示该区间有100（1- ）%的可能性包含总体参的可能性包含总体参 数数 的真值。的真值。2、不同的、不同的置信水平，参数置信水平，参数 的置信区间不同。的置信区间不同。 3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降相反，置信
4、水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。2021/6/165正态总体方差已知，对均值的区间估计正态总体方差已知，对均值的区间估计 如果总体如果总体XN（ ， 2），其中），其中 2已知，已知， 未知，未知，则取则取U-统计量统计量 ，对，对 做区间
5、估计。做区间估计。对给定的置信水平对给定的置信水平1- ，由，由确定临界值（确定临界值（X的双侧的双侧 分位数）得分位数）得 的置信区间为的置信区间为将观测值将观测值 代入，则可得具体的区间。代入，则可得具体的区间。2021/6/166例例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，个，测得直径为（单位：测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径）试求该天产品的平均直径EX的点估计；的点
6、估计；（2）若已知方差为）若已知方差为0.06，试求该天平均直径，试求该天平均直径EX的置信的置信 区间：区间： =0.05； =0.01。解解 （1）由矩法估计得）由矩法估计得EX的点估计值为的点估计值为 2021/6/167续解续解 （2）由题设知）由题设知XN（ ，0.06） 构造构造U-统计量，得统计量，得EX的置信区间为的置信区间为 当当 =0.05时，时，而而 所以，所以，EX的置信区间为（的置信区间为（14.754，15.146）当当 =0.01时，时，所以，所以，EX的置信区间为（的置信区间为（14.692，15.208）置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。置信水平提高
7、，置信区间扩大，估计精确度降低。 2021/6/168例例2 假定某地一旅游者的消费额假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布服从正态分布N（ ， 2），且标准差），且标准差 =12元，今要对该地旅游者的平元，今要对该地旅游者的平均消费额均消费额EX加以估计，为了能以加以估计，为了能以95%的置信度相信这种的置信度相信这种估计误差小于估计误差小于2元，问至少要调查多少人？元，问至少要调查多少人？解解 由题意知：消费额由题意知：消费额XN（ ，122），设要调查），设要调查n人。人。由由 即即 得得 查表得查表得 而而 解得解得 至少要调查至少要调查139人人2021/6/169正态总体方差未知，
8、对均值的区间估计正态总体方差未知，对均值的区间估计 如果总体如果总体XN（ ， 2），其中），其中 ， 均未知均未知 由由 构造构造T-统计量统计量 当置信水平为当置信水平为1- 时，由时，由 查查t-分布表确定分布表确定 从而得从而得 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 2021/6/1610例例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态被认为服从正态分布，今随机抽取分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）：个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用。
9、试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。的置信度估计全部口杯的平均重量。解解 由题设可知：口杯的重量由题设可知：口杯的重量XN（ ， 2） 由抽取的由抽取的9个样本，可得个样本，可得 由由 得得 查表得查表得 全部口杯的平均重量的置信区间为（全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54） 2021/6/1611P127例例5与与P126例例3的比较：的比较： 解解 由题设可知：平均消费额由题设可知：平均消费额XN（ ， 2） 平均消费额的置信区间为（平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536） 由由 得得 查表得查表得 估计误差为估计误差为 精确度降低精确度降低 原因：
10、样本容量减少原因：样本容量减少 在实际应用中，方差未知的均值的区间估计在实际应用中，方差未知的均值的区间估计较有应用价值。较有应用价值。 2021/6/1612练习练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态服从正态分布，经调查分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为公斤，方差为9，如果某商店供应，如果某商店供应10000户，试就居民户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（对该种商品的平均需求量进行区间估计（ =0.01），并），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以依此考虑最少要准备多少
11、这种商品才能以99%的概率满的概率满足需求？足需求？解解 由题设可知：平均需求量由题设可知：平均需求量XN（ ， 2） 平均消费额的置信区间为（平均消费额的置信区间为（9.229，10.771） 由由 查表得查表得 2021/6/1613续解续解 要以要以99%的概率满足的概率满足10000户居民对该种商品的户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为需求，则最少要准备的量为（公斤）（公斤） 最多准备最多准备 （公斤）（公斤） 2021/6/1614正态总体均值已知，对方差的区间估计正态总体均值已知，对方差的区间估计 如果总体如果总体XN（ ， 2），其中），其中 已知，已知， 2未知未知 由由
12、 构造构造 2-统计量统计量 查查 2- 分布表，确定双侧分位数分布表，确定双侧分位数 从而得从而得 2的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 2021/6/1615例题例题已知某种果树产量服从（已知某种果树产量服从（218， 2），随机），随机抽取抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以试以95%的置信水平估计产量的方差。的置信水平估计产量的方差。解解 计算计算 查表查表 果树方差的置信区间为果树方差的置信区间为 2021/6/1616正态总体均值未知，对方差的区间估计正态总体均值未知，对方差的区间估计
13、如果总体如果总体XN（ ， 2），其中），其中 2未知未知 由由 构造构造 2-统计量统计量 当置信水平为当置信水平为1- 时，由时，由 查查 2- 分布表，确定双侧分位数分布表，确定双侧分位数 从而得从而得 2的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 2021/6/1617例例4 设某灯泡的寿命设某灯泡的寿命XN（ ， 2），）， ， 2未知，现未知，现从中任取从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为（单位：千小时），求置信水平为90%的的 2的区间估计。的区间估计。解解 样本方
14、差及均值分别为样本方差及均值分别为 2的置信区间为（的置信区间为（0.4195，5.5977） 由由 得得 查表得查表得 2021/6/1618小小 结结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （1）方差已知，对均值的区间估计）方差已知，对均值的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 构造构造U-统计量统计量，反查标准正态分布表，反查标准正态分布表，确定确定U的的双侧分位数双侧分位数 得得EX的的区间估计区间估计为为 2021/6/1619小小 结结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （2）方差未知，对均值
15、的区间估计）方差未知，对均值的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 构造构造T-统计量统计量，查，查t-分布临界值表，分布临界值表，确定确定T的的双侧分位数双侧分位数 得得EX的区间估计为的区间估计为 2021/6/1620小小 结结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （3）均值已知，对方差的区间估计）均值已知，对方差的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 构造构造 2-统计量统计量，查，查 2-分布临界值表，分布临界值表，确定确定 2的的双侧分位数双侧分位数 得得 2的区间估计为的区间估计为 2021/6/1621小小 结结 总体服从正
16、态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （4）均值未知，对方差的区间估计）均值未知，对方差的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1- 构造构造 2-统计量统计量，查，查 2-分布临界值表，分布临界值表，确定确定 2的的双侧分位数双侧分位数 得得 2的区间估计为的区间估计为 2021/6/1622（1）方差已知，对均值的区间估计，构造）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量统计量 （2）方差未知，对均值的区间估计，构造）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量统计量 总体服从正态分布的对均值的区间估计总体服从正态分布的对均值的区间估计 区间估计区间估计 2021/6/1623（4）均值未知，对方差的区间估计，构造）均值未知，对方差的区间估计，构造 2统计量统计量 （3）均值已知，对方差的区间估计，构造）均值已知，对方差的区间估计，构造 2统计量统计量 总体服从正态分布的对方差的区间估计总体服从正态分布的对方差的区间估计 区间估计区间估计 2021/6/1624作业作业 P131 5，7，8，9，14，15*预习预习 第第10章章 15节节2021/6/1625 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
