《第3章应变状态分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章应变状态分析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-1 应变（应变（strain）的概念）的概念 线应变与切应变线应变与切应变 一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。 若要研究构件内某一点若要研究构件内某一点 a 的变形，可围绕该点取一单元体的变形，可围绕该点取一单元体如下图所示。如下图所示。 在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变
2、。例如，在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如，棱边棱边 ae 由由 Dx 伸长到伸长到 Dx+Du 。 点点 a在在 x 方向方向的平均的平均线应变线应变点点 a在在 x 方向方向的线的线应变（或应变（或正应变正应变）怯薄颇驰密拐仪埠沁霞起憎勇痴丈走彤驼愧盂封粗锯入研蚌掖绥色床辉帅第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-1 应变（应变（strain）概念）概念 线应变与切应变线应变与切应变 点点 a 在在 x 方向的线应变或称为正应变。它描述了该点
3、处在方向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在 x 这个线度方向变形的程度。这个线度方向变形的程度。 同理，同理， 、 分别表示点分别表示点 a 沿沿 y 、z 方向的线应变。方向的线应变。 单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度的单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度的改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae 和和 af 两微小线段的夹角为两微小线段的夹角为p/2，变形后夹角减少了变形后夹角减少了a+b。 称为点称为点 a 在在 平面内的平面内的切应变切应变或或角应变。角应变。 同理，用同理，用 分别表示分别表示 y
4、 -z 平面内和平面内和 x -z平面内的切应变。平面内的切应变。 捎袖恃抑习打土瞥图倘括岩隆占遭杰埃疹阴悼伤碘稠昂砌痢押收私哼侵狮第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-1 应变（应变（strain）概念）概念 线应变与切应变线应变与切应变 规规定定以以伸伸长长的的线线应应变变为为正正，缩缩短短的的为为负负；使使夹夹角角p/2p/2减减小时的切应变为正，反之为负小时的切应变为正，反之为负 。 综上所述，通常情况下，受力构件内某一点即有线应变综上所述，通常情况
5、下，受力构件内某一点即有线应变 ，又有切应变，又有切应变 等六个应变分量。等六个应变分量。 线线应应变变和和切切应应变变都都没没有有量量纲纲，切切应应变变用用弧弧度度表表示示。今今后应变的单位用微应变后应变的单位用微应变 m 表示，一个微应变等于表示，一个微应变等于10-6。盐毅厘今杜销织擂综汀豪绣久抵赏艇膝役旨翌曝焉娩扔淤戍艳研谁溅氰羔第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-2 应变与位移的关系应变与位移的关系 几何方程几何方程 首先分析在一个平面内（例如，
6、在平行首先分析在一个平面内（例如，在平行 x-y 坐标面内），坐标面内），过点过点 a 所取的单元体所取的单元体aBCD的变形。的变形。 根根据据变变形形固固体体的的连连续续性性假假设设，位位移移分分量量u和和v都都应应是是x和和y的的连连续续函函数数。与与点点a相比比，点点C的的y坐坐标标不不变变，但但x坐坐标标有有一一增增量量Dx ，所所以以点点C的的位位移移分量应为分量应为 同理，点同理，点B的位移分量应为的位移分量应为输饿混算霄吝妹馆呜摔须巩嘎疹针胳刊侮柒骇扎调赴敖鱼弧潮域芒锁殷巍第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章
7、应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-2 应变与位移的关系应变与位移的关系 几何方程几何方程 其其中中， 和和 是是函函数数u和和v因因x有有一一增增量量Dx而而引引起起的的相相应应增增量量。在在小小变变形形情情况况下下，位位移移v的的增增量量项项 只只引引起起线线段段 的的轻轻微微转转动动，并并不不改改变变其其长长度度。于于是是，可可以以认认为为 的长度就是的长度就是 塑焕翘肠节雕示榨杰辗玫痛货辉翱袱翻关俞淌确侍雹副侈嵌找耐莹测队并第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状
8、态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-2 应变与位移的关系应变与位移的关系 几何方程几何方程同理可得到同理可得到 a 点在点在 y 方向的线应变方向的线应变变形后变形后 转过了转过了a 角。由于角。由于a 很小，则很小，则 小变形情况下，小变形情况下， 与与1相比甚小可以忽略，于是相比甚小可以忽略，于是 同理同理廓恃沉哆韵雀坪豆爽侣妄尺设遂散酣忿铲锯崇明继愿攒噪挨斥蝗啊泳柿滨第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-2 应变与位移的关系应变与位移的关系
9、几何方程几何方程 按按着着上上述述的的分分析析方方法法，再再考考虑虑过过点点 a 的的单单元元体体，分分别别在在与与 y-z、x-z 两坐标面平行的面的变形。综合所得结果，即两坐标面平行的面的变形。综合所得结果，即上述六个方程，称为上述六个方程，称为几何方程几何方程敢蝉傅札般翼僳湍薛语岸拔据樟嘘钞忧古发棱英懊烟团盒觅麓育抛胖恢斗第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-3 应变协调条件应变协调条件 相容方程相容方程 由几何方程知，当位移由几何方程知，当位移u、v
10、、w 确定后，经微分运算就能确定后，经微分运算就能得到六个应变分量得到六个应变分量: : 。 反过来，要从已知的六个应变分量函数得到三个未知的位反过来，要从已知的六个应变分量函数得到三个未知的位移分量函数移分量函数, ,数学上就是要由六个方程解出三个未知数。这样，数学上就是要由六个方程解出三个未知数。这样，六个应变分量之间必须满足一定的关系才行。下面仅就平面应六个应变分量之间必须满足一定的关系才行。下面仅就平面应变这一比较简单的情况证明和导出这一关系。变这一比较简单的情况证明和导出这一关系。 平面问题几何方程为平面问题几何方程为 将将 对对 y 的二阶导数和的二阶导数和 对对 x 的二阶导数相
11、加，得的二阶导数相加，得 即即相容方程相容方程蠕蘸柯讽纱政杠甚栽辰幌酸墓屹民揽验同盘蚌歼指呼昔哲舒抿窄备维觅疥第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-3 应变协调条件应变协调条件 相容方程相容方程 对于平面问题，三个应变分量对于平面问题，三个应变分量 间存在着微分关系，间存在着微分关系，反映了单元体变形应变协调这一事实。这就是应变协调条件，这反映了单元体变形应变协调这一事实。这就是应变协调条件，这个方程称为平面问题的相容方程。个方程称为平面问题的相容方程。 相
12、容方程相容方程 相相容容方方程程的的意意义义也也可可以以从从几几何何角角度度加加以以解解释释。如如前前所所述述，我我们们假假想想将将物物体体分分割割成成无无数数单单元元体体，使使每每个个单单元元体体发发生生变变形形。如如果果表表示示单单元元体体变变形形的的应应变变分分量量之之间间没没有有一一定定关关系系，则则在在物物体体变变形形之之后后，就就不不能能将将这这些些单单元元体体重重新新拼拼合合成成连连续续体体，相相邻邻单单元元体体之之间间或或产产生生裂裂缝缝、或或发发生生嵌嵌入入。为为使使变变形形后后的的小小单单元元体体能能重重新新拼拼合合成成连连续体，则应变应满足协调条件，即变形具有协调性。续体
13、，则应变应满足协调条件，即变形具有协调性。宪妒友舅疟踪攀淋名署愤腰掩臣腆冷奖论屠叭捍附咏荣鞋梢瘴钱媳群璃娃第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-4 平面应变状态分析平面应变状态分析 若受力物件内某一点若受力物件内某一点 M 只存在三个应变分量，而且都在只存在三个应变分量，而且都在同一个平面内，则其余的应变分量为零。例如在同一个平面内，则其余的应变分量为零。例如在 x-y 平面内，平面内，只有只有 ，而，而 。斜向方向应变斜向方向应变 在在xoy坐坐标标系系内
14、内, ,点点M的的坐坐标标(x,y)、位位移移矢矢 的的分分量量u、v；三三个应变分量个应变分量 均已知均已知 在在新新坐坐标标系系 下下 ，点点M的的坐标为坐标为 ；位移矢的分量为；位移矢的分量为 平面应变状态平面应变状态 于是有于是有 魏悸阻辕址驱掠骋跋伦贵巷蔷言玩撞略刨追娶竿沏在斯敞葫劝吏猛梧致炼第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-4 平面应变状态分析平面应变状态分析复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则鼓啮滋盆铀鹃绩正勺罗氓墙递匆螟彬绷掠抽嘿
15、畔帛熊侨抨逼雨纬洗狭俊机第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-4 平面应变状态分析平面应变状态分析 仿照上述过程，可以导出仿照上述过程，可以导出 将将三三角角函函数数略略作作简简化化，写写成成类类似似二二向向应力状态斜截面应力公式的形式，得应力状态斜截面应力公式的形式，得 斜向方向应变斜向方向应变 老忘扰域简待兹南测走愚赘枪昔昨赣釜徒在席硬常碎防袒会白茶奶柯伞仪第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚
16、酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-4 平面应变状态分析平面应变状态分析 仿照二向应力状态的分析方法，会得出类似的分析结果。例仿照二向应力状态的分析方法，会得出类似的分析结果。例如，在平面应变状态中，通过一点一定存在两个相互垂直的方向，如，在平面应变状态中，通过一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变为极值而切应变为零。这样的极值线应在这两个方向上，线应变为极值而切应变为零。这样的极值线应变称为变称为主应变主应变，这个方向称，这个方向称为主应变方向为主应变方向或或应变主轴应变主轴。 主应变主应变 主应变及主应变方向主应变及主应变方向 主应
17、变方向主应变方向 收昔檀翘语秀弃穷踩枫捎能饼鲜故孽监精敖尚隧喜狭分艺欢邪潍杯唁喇顾第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-4 平面应变状态分析平面应变状态分析最大切应变及其方向最大切应变及其方向 即即 最大切应变最大切应变 最大切应变方向最大切应变方向 荐栗峭虚厢绊屠毅洗七痘钞痈搀瞒吃抢因栈酌鸵镰蝶俱寒源浦激压翱励捡第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-4 平面应变状态分析平面应变状态分析应变圆应变圆斜向方向应变公式中斜向方向应变公式中消去参数消去参数a ，得应变圆方程，得应变圆方程韧骨慢窝共攒样佐勇瓤膀郑鳖贬晦组肛培望够科酌舌肤骇隶烬益拇拒乍怪第3章应变状态分析第3章应变状态分析铁承灌力丹收蹬收接纷细伟腾酬契莲女鸭落闭蕉苛呈吧坠劫焚雇个馅戚酶第3章应变状态分析第3章应变状态分析第第3章章 应变状态分析应变状态分析3-4 平面应变状态分析平面应变状态分析应变圆应变圆帆拦谰个纯召幼棵莎来根枚挽兑勤骄度酚葫铭矣政补吟选半剩靖炔刨滇夹第3章应变状态分析第3章应变状态分析
