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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 选选选选选选修修修修修修- - - - - -1.1.21.1.21.1.21.1.2瞬时变化率瞬时变化率瞬时变化率瞬时变化率导数（）导数（）导数（）导数（）姓名：吴卫东姓名：吴卫东姓名：吴卫东姓名：吴卫东 邵艳邵艳邵艳邵艳 郭红梅郭红梅郭红梅郭红梅 潘翠萍潘翠萍潘翠萍潘翠萍 单位：江苏省泰兴中学单位：江苏省泰兴中学单位：江苏省泰兴中学单位：江苏省泰兴中学放大放大问题情境问题情境 问题一如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？问题一如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？问题一如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？问题一如何精确地刻画曲
2、线上某一点处的变化趋势呢？ 问题二问题二问题二问题二观察观察观察观察“点点点点P P附近的曲线附近的曲线附近的曲线附近的曲线”，随着图形放大，你，随着图形放大，你，随着图形放大，你，随着图形放大，你看到了怎样的现象？看到了怎样的现象？看到了怎样的现象？看到了怎样的现象？问题三这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其问题三这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其问题三这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其问题三这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了趋势看几乎成了趋势看几乎成了趋势看几乎成了 什么图形呢？什么图形呢？什么图形呢？什么图形呢？探究结论探究结论 从上面的图形变化过程来看：从上
3、面的图形变化过程来看：1 1 1 1）曲线在点）曲线在点）曲线在点）曲线在点P P附近看上去几乎成了直线附近看上去几乎成了直线附近看上去几乎成了直线附近看上去几乎成了直线2 2 2 2）继续放大，曲线在点）继续放大，曲线在点）继续放大，曲线在点）继续放大，曲线在点P P附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线l l，这条直线是过点这条直线是过点这条直线是过点这条直线是过点P P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线3 3 3 3）点）点）点）点P
4、P附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）直代曲）直代曲）直代曲）深入探究：深入探究： l1Ol2P如图所示，直线如图所示，直线如图所示，直线如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点为经过曲线上一点为经过曲线上一点为经过曲线上一点P P的两条直线的两条直线的两条直线的两条直线问题一：问题一：试判断哪一条直线在点试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；附近更加逼近曲线；问题二：问题二：在点在点P附近能作出一条比附近能作出一条比l1 ， l2更加逼近曲线更
5、加逼近曲线的直线的直线l3吗？吗？问题三：问题三：在点在点P附近还能作出比附近还能作出比l1，l2 ，l3更加逼近曲线的更加逼近曲线的直线吗？直线吗？PQoxy割割线线切线切线l建构数学建构数学yf(x) 如图，设如图，设Q为曲线为曲线C上不同于上不同于P的一点，直线的一点，直线PQ称为曲线的割线称为曲线的割线. . P为已知曲线C上的一点，如何求出点如何求出点P P处的切线方程？处的切线方程？随着点随着点Q沿曲线沿曲线C向点向点P运动，割线运动，割线PQ在点在点P附近逼近曲线附近逼近曲线C，当当直线直线l，这条直线这条直线l也称为曲线在点也称为曲线在点P处的切线这种方法叫割线逼处的切线这种方
6、法叫割线逼近切线近切线. .点点Q无限逼近点无限逼近点P时，直线时，直线PQ最终就成为经过点最终就成为经过点P处最逼近曲线的处最逼近曲线的yOxPQ试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率y yO OP P2 24 4Qx数学运用：数学运用： 分析：设分析：设P( (2，4) )，Q( (xQ，f( (xQ)则割线PQ的斜率为 当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率； 当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4 从而曲线f(x)x2在点(2，4)处的切线斜率为47练习：练习：试求试求f (x)x2
7、1在在x1处的切线斜率处的切线斜率解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线PQ的斜率为： 当xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)x2在点(2，4)处的切线斜率为4解：设P(2，4)，Q(2x，(2x)2)，则割线PQ的斜率为： 当x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)x2在点(2，4)处的切线斜率为48 练习：练习：试求试求f (x)x21在在x=1处的切线斜率处的切线斜率 当当x x无限趋近于无限趋近于无限趋近于无限趋近于0 0时，时，时，时，割线逼近切线，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜割线斜率逼近切线斜率率找到定点找到定点找到定点找到定点
8、P P的坐标的坐标的坐标的坐标设出动点设出动点设出动点设出动点Q的坐标的坐标的坐标的坐标求出割求出割求出割求出割线斜率线斜率线斜率线斜率解：由题意，设解：由题意，设P( (1，2) )，Q( (1x，( (1x) )21) )，则割线，则割线PQ斜率为斜率为 当当x无限趋近于无限趋近于0时，时，kPQ无限趋近于常数无限趋近于常数2，从而曲线从而曲线f( (x) )x21在点在点x1处的切线斜率为处的切线斜率为29yxOy = f(x) xx0X0 xPQf (x0+ x) f (x0)切线切线割线割线P P（x x0 0, ,f f( (x x0 0) )Q(xQ(x0 0+ +x x, ,f
9、 f( (x x0 0+ + x x) )x x00时时时时, ,点点点点Q Q位于点位于点位于点位于点P P的右侧的右侧的右侧的右侧y y= =f f( (x) )x x00时时时时, ,点点点点Q Q位于点位于点位于点位于点P P的左侧的左侧的左侧的左侧2.求出割线求出割线PQ的斜率的斜率 ，并化简，并化简. 求曲线求曲线y=f (x)上一点上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤：处切线斜率的一般步骤：3. 令令x 趋向于趋向于0，若上式中的割线斜率若上式中的割线斜率“逼近逼近”一个常数，一个常数， 则其即为所求切线斜率则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点设曲线上另一点Q(x0+
10、x,f(x0 + x)MM（即（即 y)变式训练：变式训练： 课堂练习：练习：练习：1 1曲线上一点曲线上一点P P处的切线是过点处的切线是过点P P的所有直线中最接的所有直线中最接近近P P点附近曲线的直线，则点附近曲线的直线，则P P点处的变化趋势可以由点处的变化趋势可以由该点处的切线反映该点处的切线反映 ( (局部以直代曲局部以直代曲) )2 2根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程曲线在一点处的切线斜率和方程割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率 Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近令横坐标无限接近函数在区间xP ， xQ (或xQ，xP）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数导数)小小 结：结：
