时域离散信号和系统的频域分析第２章第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 学习要点与重要公式学习要点与重要公式2.2 FT和和ZT的逆变换的逆变换2.3 分析信号和系统的频率特性 分析信号和系统的频率特性2.4 例题 例题2.5 习题与上机题解答 习题与上机题解答 时域离散信号和系统的频域分析第２章 2.1 学习要点与重要公式 学习要点与重要公式 数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT） 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这大大方便了对信号和系统的分析和处理 三种变换互有联系， 但又不同 表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换 Z变换是傅里叶变换的一种推广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换 时域离散信号和系统的频域分析第２章 在z域进行分析问题会感到既灵活又方便 离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行 离散傅里叶变换具有快速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。
但更有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地使用DFT 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习 时域离散信号和系统的频域分析第２章2.1.1 学习要点 学习要点 （1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在条件 （2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性 （3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式 （4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序列特性之间的关系 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理 （6） 系统的传输函数和系统函数的求解 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性 时域离散信号和系统的频域分析第２章2.1.2 重要公式 重要公式（1） 这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。
注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即 时域离散信号和系统的频域分析第２章（2） 这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以表现周期序列的频谱特性 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （3） 该式用以求周期序列的傅里叶变换 如果周期序列的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要用带箭头的线段表示 （4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则这是时域卷积定理 时域离散信号和系统的频域分析第２章（5） 若y(n)=x(n)h(n), 则这是频域卷积定理或者称复卷积定理 （6） 时域离散信号和系统的频域分析第２章式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n) （7） 这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义 时域离散信号和系统的频域分析第２章（8） 时域离散信号和系统的频域分析第２章 前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式 （9） 若x(n)=a|n|, 则 x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。
时域离散信号和系统的频域分析第２章 2.2 FT和和ZT的逆变换的逆变换 （1） FT的逆变换为 用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取单位圆 时域离散信号和系统的频域分析第２章例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为求其反变换x(n) 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到因极点z=a， 取收敛域为|z|>|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n) （2） ZT的逆变换为 时域离散信号和系统的频域分析第２章 求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解 用围线积分法求逆Z变换有两个关键 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： ① 收敛域包含∞点， 序列是因果序列； ② 收敛域在某圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右序列； ④ 收敛域在整个z面， 是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未考虑0与∞两点， 这两点可以结合问题具体考虑。
另一个关键是会求极点留数 时域离散信号和系统的频域分析第２章 2.3 分析信号和系统的频率特性 分析信号和系统的频率特性 求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换 但分析频率特性使用Z变换却更方便 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等 时域离散信号和系统的频域分析第２章 根据零、 极点分布可定性画幅频特性 当频率由0到2π变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近 滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、 零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。
参见下节例2.4.1 时域离散信号和系统的频域分析第２章 2.4 例 题 例 题 ［例例2.4.1］ 已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻） （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题） 解解： 将系统函数写成下式: 时域离散信号和系统的频域分析第２章 系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波器的通带中心在ω=0处 毫无疑问， 这是一个低通滤波器 ［例例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零 已知求X（ejω）=FT［x(n)］ 时域离散信号和系统的频域分析第２章解解： Xe(ejω)=FT［xr(n)］因为 X(ejω)=0π≤ω≤2π所以 X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π 时域离散信号和系统的频域分析第２章当0≤ω≤π时， ， 故当π≤ω≤2π时， X(ejω)=0， 故0≤ω≤ππ≤ω≤2π 时域离散信号和系统的频域分析第２章因此 Re［X(ejω)］=X(ejω) Im［X(ejω)］=0 ［例例2.4.3］ 已知0≤n≤NN+1≤n≤2Nn<0, 2N
时域离散信号和系统的频域分析第２章 解解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩形序列的卷积 设y(n)=RN(n)*RN(n), 则 n<00≤n≤N－1N≤n≤2N－12N≤n将y(n)和x(n)进行比较， 得到y(n－1)=x(n) 因此 Y（z）z－1=X(z) Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］ 时域离散信号和系统的频域分析第２章故 ［例例2.4.4］ 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1） 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点 因此， 只要满足|a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面 （2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b的取值域为 0≤|a|<1, 0≤|b|<1 时域离散信号和系统的频域分析第２章 ［例例2.4.5］ , f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到 。
（1） 写出 的表达式; （2） 对 进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达式， 并画出其幅度谱； （3）如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来， 理想滤波器的截止频率应该取多少？解： 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （2） 按照采样定理, 的频谱是x(t)频谱的周期延拓， 延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为画出幅度谱如图2.4.1所示 时域离散信号和系统的频域分析第２章图2.4.1 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （3） 观察图2.4.1， 要把cos(2πf1t)滤出来， 理想低通滤波器的截止频率fc应选在10 Hz和20 Hz之间，可选fc＝15 Hz 如果直接对模拟信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)进行滤波， 模拟理想低通滤波器的截止频率选在10 Hz和25 Hz之间， 可以把10 Hz的信号滤出来， 但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓， 使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同 时域离散信号和系统的频域分析第２章 ［例例2.4.6］ 对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样， 采样间隔T=0.25 s， 得到 ， 再让 通过理想低通滤波器G(jΩ)， G(jΩ)用下式表示:≤ (1) 写出 的表达式; (2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
时域离散信号和系统的频域分析第２章 解 解：(1) 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （2） 为了求理想低通滤波器的输出， 要分析 的频谱 中的两个余弦信号频谱分别为在±0.5π和±1.25π的位置， 并且以2π为周期进行周期性延拓， 画出采样信号 的频谱示意图如图2.4.2（a）所示， 图2.4.2（b）是理想低通滤波器的幅频特性 显然， 理想低通滤波器的输出信号有两个， 一个的数字频率为0.5π， 另一个的数字频率为0.75π， 相应的模拟频率为2π和3π， 这样理想低通滤波器的输出为 y(t)=0.25［cos(2πt)+cos(3πt)］ 时域离散信号和系统的频域分析第２章图2.4.2 时域离散信号和系统的频域分析第２章 2.5 习题与上机题解答 习题与上机题解答 1． 设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(n－n0) (2) x*(n) (3) x(－n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n) (6) nx(n) (7) x(2n) (8) x2(n)(9) 时域离散信号和系统的频域分析第２章解解：（1） 令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则（2） 时域离散信号和系统的频域分析第２章（3） 令n′=－n， 则（4） FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω) 下面证明上式成立： 时域离散信号和系统的频域分析第２章令k=n－m, 则 时域离散信号和系统的频域分析第２章（5） 时域离散信号和系统的频域分析第２章或者 （6） 因为对该式两边ω求导， 得到 时域离散信号和系统的频域分析第２章因此（7） 令n′=2n， 则 时域离散信号和系统的频域分析第２章 时域离散信号和系统的频域分析第２章或者（8） 利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则 时域离散信号和系统的频域分析第２章（9）令n′=n/2， 则2． 已知≤求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。
时域离散信号和系统的频域分析第２章解解： 3. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为 时域离散信号和系统的频域分析第２章 解解： 假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数 利用该性质解此题： 时域离散信号和系统的频域分析第２章 时域离散信号和系统的频域分析第２章 上式中|H(ejω)|是ω的偶函数， 相位函数是ω的奇函数， |H(ejω)|=|H(e-jω)|， θ(ω)=－θ(－ω), 故4．设 时域离散信号和系统的频域分析第２章 将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列 ， 画出x(n)和 的波形， 求出 的离散傅里叶级数和傅里叶变换 解： 画出x(n)和 的波形如题4解图所示 时域离散信号和系统的频域分析第２章题4解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章或者 时域离散信号和系统的频域分析第２章 时域离散信号和系统的频域分析第２章 5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列运算或工作：题5图 时域离散信号和系统的频域分析第２章(1)(2)(3) (4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列xa(n)；(5)(6) 时域离散信号和系统的频域分析第２章解解 (1)(2)(3)（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即 时域离散信号和系统的频域分析第２章按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。
题5解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章(5)(6) 因为因此 时域离散信号和系统的频域分析第２章 6． 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=δ(n－3)(2) (3) x3(n)=anu(n) 0
总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ejω)是实函数， 是ω的偶函数 （2） x(n)是实奇函数 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ejω)具有共轭对称性质， 即 X(ejω)=X*(e－jω) 时域离散信号和系统的频域分析第２章由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cosω是奇函数， 那么因此 这说明X(ejω)是纯虚数， 且是ω的奇函数 8． 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示 时域离散信号和系统的频域分析第２章 解解：xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示 题8解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章 9．已知x(n)=anu(n), 0
解解： 时域离散信号和系统的频域分析第２章 时域离散信号和系统的频域分析第２章 11． 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为 HI(ejω)=－sinω求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω) 解解： 时域离散信号和系统的频域分析第２章 时域离散信号和系统的频域分析第２章 12． 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0
解解： 时域离散信号和系统的频域分析第２章 上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数δ函数， 它的傅里叶变换可以表示成： （2） 时域离散信号和系统的频域分析第２章（3）式中 时域离散信号和系统的频域分析第２章式中 ω0=Ω0T=0.5π rad 上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式 14． 求出以下序列的Z变换及收敛域: (1) 2－nu(n)(2) －2－nu(－n－1) (3) 2－nu(－n)(4) δ(n) (5) δ(n－1)(6) 2－n［u(n)－u(n－10)］ 时域离散信号和系统的频域分析第２章解 (1)(2) 时域离散信号和系统的频域分析第２章(3) (4) ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞ (5) ZT［δ(n－1)］=z－10<|z|≤∞ (6)≤ 时域离散信号和系统的频域分析第２章 15． 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图 (1) x(n)=RN(n) N=4 (2) x(n)=Arn cos(ω0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j=0.25 π rad (3)≤≤≤≤式中， N=4。
时域离散信号和系统的频域分析第２章解 (1)由z4－1=0， 得零点为由z3(z－1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消 时域离散信号和系统的频域分析第２章题15解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章(2) 时域离散信号和系统的频域分析第２章零点为极点为 极零点分布图如题15解图(b)所示 (3) 令y(n)=R4(n), 则 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=［Y(z)］2, X(z)=z－1［Y(z)］2 时域离散信号和系统的频域分析第２章因为因此 极点为 z1=0, z2=1 零点为 在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0<|z|≤∞， 极零点分布图如题15解图(c)所示 时域离散信号和系统的频域分析第２章16． 已知求出对应X(z)的各种可能的序列表达式 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|<0.5，0.5<|z|<2， 2<|z|。
三种收敛域对应三种不同的原序列 （1）收敛域|z|<0.5： 时域离散信号和系统的频域分析第２章令 n≥0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n≤－1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么 时域离散信号和系统的频域分析第２章 (2) 收敛域0.5<|z|<2: 时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时， c内有极点0.5， n<0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2， x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 · 2nu(－n－1)最后得到 时域离散信号和系统的频域分析第２章（3）收敛域|z|<2: n≥0时， c内有极点 0.5、 2， n<0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0 时域离散信号和系统的频域分析第２章最后得到 17． 已知x(n)=anu(n), 0
分别求： (1) x(n)的Z变换； (2) nx(n)的Z变换； (3) a－nu(－n)的Z变换 解解： (1) 时域离散信号和系统的频域分析第２章(2)(3)18． 已知分别求： （1） 收敛域0.5<|z|<2对应的原序列x(n)； （2） 收敛域|z|>2对应的原序列x(n) 时域离散信号和系统的频域分析第２章解解： （1） 收敛域0.5<|z|<2: n≥0时，c内有极点0.5， x(n)=Res［F(z), 0.5］=0.5n=2－nn<0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=－Res［F(z), 2］=2n 时域离散信号和系统的频域分析第２章最后得到 x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n| ∞2: n≥0时， c内有极点0.5、 2， 时域离散信号和系统的频域分析第２章 n<0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此 x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n－2n)u(n) 19． 用部分分式法求以下X(z)的反变换：(1) 时域离散信号和系统的频域分析第２章(2)解解： (1) 时域离散信号和系统的频域分析第２章 时域离散信号和系统的频域分析第２章(2) 时域离散信号和系统的频域分析第２章20． 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： 试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ejω)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ejω)。
时域离散信号和系统的频域分析第２章解： 解法一令m′=n+m, 则 时域离散信号和系统的频域分析第２章解法二因为x(n)是实序列， X(e－jω)=X*(ejω)， 因此 时域离散信号和系统的频域分析第２章 21． 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0 n≤－1 (2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(－1)=1， y(n)=0 n<－1 (3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 当n≤－3时 解解： (1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0 n≤－1 时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时， n<0时， y(n)=0最后得到 y(n)=［－0.5 · (0.9)n+1+0.5］u(n) 时域离散信号和系统的频域分析第２章 (2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n), y(－1)=1, y(n)=0 n<－1 时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时， n<0时， y(n)=0最后得到 y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n) 时域离散信号和系统的频域分析第２章 (3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 当n<－2时Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=1 时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时， y(n)=－4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5nn<0时, y(n)=0最后得到 y(n)=(－4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5n)u(n) 时域离散信号和系统的频域分析第２章22． 设线性时不变系统的系统函数H(z)为 （1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ejω)|=常数； （2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。
解解：(1) 时域离散信号和系统的频域分析第２章极点为a, 零点为a－1 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示 我们知道|H(ejω)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到因为角ω公用， ，且△AOB~△AOC， 故，即 时域离散信号和系统的频域分析第２章故H(z)是一个全通网络 或者按照余弦定理证明: 时域离散信号和系统的频域分析第２章题22解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （2） 只有选择|a|<1才能使系统因果稳定 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示 23． 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) （1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图； （2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n) 解： （1） y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) 将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1 时域离散信号和系统的频域分析第２章因此零点为z=0。
令z2－z－1=0， 求出极点： 极零点分布图如题23解图所示 时域离散信号和系统的频域分析第２章题23解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章 (2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含∞点在内的收敛域， 即 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换 我们采用第二种方法 式中 时域离散信号和系统的频域分析第２章，令 时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时， h(n)=Res［F(z), z1］+Res［F(z), z2］因为h(n)是因果序列, n<0时， h(n)=0， 故 时域离散信号和系统的频域分析第２章 (3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|<|z|<|z1|, n≥0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， 时域离散信号和系统的频域分析第２章 n<0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么最后得到 时域离散信号和系统的频域分析第２章 24． 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) （1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ejω)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ejω0n， 求输出y(n)。
解： （1） y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－1 时域离散信号和系统的频域分析第２章令n≥1时，c内有极点0.9， 时域离散信号和系统的频域分析第２章n=0时， c内有极点0.9 ， 0，最后得到 h(n)=2 · 0.9nu(n－1)+δ(n) 时域离散信号和系统的频域分析第２章（2） 极点为z1=0.9, 零点为z2=－0.9 极零点图如题24解图(a)所示 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示 （3） 时域离散信号和系统的频域分析第２章题24解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章 25． 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n) 0
， 时域离散信号和系统的频域分析第２章令n≥0时， c内有极点： a、 b, 因此 时域离散信号和系统的频域分析第２章 因为系统是因果系统, 所以n<0时， y(n)=0 最后得到 26． 线性因果系统用下面差分方程描述： y(n)－2ry(n－1) cosθ+r2y(n－2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0max(r, |a|)， 且n<0时， y(n)=0， 故 时域离散信号和系统的频域分析第２章c包含三个极点， 即a、 z1、 z2 时域离散信号和系统的频域分析第２章 时域离散信号和系统的频域分析第２章 27． 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列， 求证： 式中， X1(ejω)和X2(ejω)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换 解： FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω)进行IFT， 得到 时域离散信号和系统的频域分析第２章令n=0, 则由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列， 因此(1)(2) 时域离散信号和系统的频域分析第２章(3)由（1）、（2）、（3）式， 得到 28． 若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。
时域离散信号和系统的频域分析第２章解： 求上式的Z的反变换， 得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为 时域离散信号和系统的频域分析第２章 因为h(n)是因果序列， he(n)必定是双边序列， 收敛域取： a<|z|
解解： 调用MATLAB函数filter计算该系统 系统响应的程序ex230.m如下： 时域离散信号和系统的频域分析第２章 %程序ex230.m %调用roots函数求极点， 并判断系统的稳定性 A=［3， －3.98， 1.17， 2.3418， －1.5147］； %H(z)的分母多项式系数 p=roots(A) %求H(z)的极点 pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模 if max(pm)<1 disp(′系统因果稳定′)， else， disp(′系统不因果稳定′)， end 程序运行结果如下： 极点： －0.7486 0.6996 －0.7129i 0.6996+0.7129i 0.6760由极点分布判断系统因果稳定 时域离散信号和系统的频域分析第２章 31*. 假设系统函数如下式： (1) 画出极、 零点分布图， 并判断系统是否稳定； (2) 用输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定 时域离散信号和系统的频域分析第２章 解解： （1） 求解程序ex231.m如下： %程序ex231.m %判断系统的稳定性 A=［2， －2.98， 0.17， 2.3418， －1.5147］； %H(z)的分母多项式系数 B=［0， 0， 1， 5， -50］； %H(z)的分子多项式系数用极点分布判断系统是否稳定 subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； %绘制H(z)的零极点图 p=roots(A)； %求H(z)的极点 pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模 时域离散信号和系统的频域分析第２章 if max(pm)<1 disp(′系统因果稳定′)， else， disp(′系统不因果稳定′)， end %画出u(n)的系统输出波形进行判断 un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un)； n=0： length(sn)－1； subplot(2， 1， 2)； plot(n， sn) xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′) 程序运行结果如下： 系统因果稳定。
系统的零极点图如题31*解图所示 时域离散信号和系统的频域分析第２章题31*解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章 （2） 系统对于单位阶跃序列的响应如题31*解图所示， 因为它趋于稳态值， 因此系统稳定 32*. 下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布： 时域离散信号和系统的频域分析第２章试用MATLAB语言研究零点分布对于单位脉冲响应的影响 要求： （1） 分别画出各系统的零、 极点分布图； （2） 分别求出各系统的单位脉冲响应， 并画出其波形； （3） 分析零点分布对于单位脉冲响应的影响 解解： 求解程序为ex232.m， 程序如下： 时域离散信号和系统的频域分析第２章 %程序ex232.m A=［1， －1.6， 0.9425］； %H(z)的分母多项式系数 B1=1； B2=［1， －0.3］； B3=［1， －0.8］； B4=［1， －1.6， 0.8］； %H(z)的分子多项式系数 b1=［1 0 0］;b2=［1 －0.3 0］; b3=［1， －0.8， 0］； b4=［1，－1.6，0.8］； %H(z)的正次幂分子多项式系数 p=roots(A) %求H1(z)， H2(z)， H3(z)， H4(z)的极点 z1=roots(b1) %求H1(z)的零点 z2=roots(b2) %求H2(z)的零点 z3=roots(b3) %求H3(z)的零点 时域离散信号和系统的频域分析第２章 z4=roots(b4) %求H4(z)的零点 ［h1n， n］=impz(B1， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 ［h2n， n］=impz(B2， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 ［h3n， n］=impz(B3， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 ［h4n， n］=impz(B4， A， 100)； %计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值 %====================================== %以下是绘图部分 subplot(2， 2， 1)； 时域离散信号和系统的频域分析第２章 zplane(B1， A)； %绘制H1(z)的零极点图 subplot(2， 2， 2)； stem(n， h1n， ′.′)； %绘制h1(n)的波形图 line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h1(n)′) subplot(2， 2， 3)； zplane(B2， A)； %绘制H2(z)的零极点图 subplot(2， 2， 4)； stem(n， h2n， ′.′)； %绘制h2(n)的波形图 时域离散信号和系统的频域分析第２章 line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h2(n)′) figure(2)； subplot(2， 2， 1)； zplane(B3， A)； %绘制H3(z)的零极点图 subplot(2， 2， 2)； stem(n， h3n， ′.′)； %绘制h3(n)的波形图 line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h3(n)′) subplot(2， 2， 3)； 时域离散信号和系统的频域分析第２章 zplane(B4， A)； %绘制H4(z)的零极点图 subplot(2， 2， 4)； stem(n， h4n， ′.′)； %绘制h4(n)的波形图 line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h4(n)′) 程序运行结果如题32*解图所示。
时域离散信号和系统的频域分析第２章题32*解图 时域离散信号和系统的频域分析第２章 四种系统函数的极点分布一样， 只是零点不同， 第一种零点在原点， 不影响系统的频率特性， 也不影响单位脉冲响应 第二种的零点在实轴上， 但离极点较远 第三种的零点靠近极点 第四种的零点非常靠近极点， 比较它们的单位脉冲响应， 会发现零点愈靠近极点， 单位脉冲响应的变化愈缓慢， 因此零点对极点的作用起抵消作用； 同时， 第四种有两个零点， 抵消作用更明显。