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1、第七章 向量代数与空间解析几何好像平面解析几何那样，空间解析几何是经过建立空间直角坐标，把空间的点与三元有序数组对应起来，用三元方程及方程组来表示空间几何图形，从而可以用代数的方法来研讨空间几何问题，而这又是学习微积分的根底。1 向量及其线性运算 一.向量的概念1.数量与向量：仅有数值大小的物理量称数量或标量，如温度、时间等。不仅有大小，还有方向的量称向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：普通用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的记法：用粗体字母，如a、I；或上面加箭头的字母，如4.向量的模：即向量的大小，用顺序写出始点和终点的记法，如特殊情形：单位向
2、量：模等于1；零向量：模等于0，记为0，其方向可以是恣意的；负向量：与a大小相等方向相反的向量，记为-a.的模记为而其属性不变，本章中只研讨自在向量。5.自在向量：与始点位置无关的向量，可以对其进展平移1.向量的加法：即向量的合成，可参照力的合成法那么 定义：将a、b的始点放在一同，以a、b 为邻边作平行四边形，那么从始点到对角顶点的向量称a、b 的和，记a+b称平行四边形法那么。aba+b称为平行向量，也称为共线，易知其方向一样或相反。假设a与b在同一条直线上或在两条平行直线上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向一样，记a=b.二.向量的线性运算： 平行向量的和：当a与b方向一样时，
3、其和向量的模等于两向量模之和，其方向与a、b 方向一样；当a与b方向相反时，其和向量的模等于两向量模之差，其方向与a、b 中模较大的向量的方向一样； 运算律： 1交换律：a+b=b+a 2结合律：a+b+c= a+(b+c)三角形法那么：向量的加法还可以运用三角形法那么，如图： 特殊情况： a+0 = a ； a +- a = 0.aba+b2.向量的减法：两向量a与b的差a-b规定为a+-b，可运用三角形法那么求出，如图：aba-b2.向量在轴上的投影： 点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，那么与u的交点A称为A在轴u上的投影. 如图：AA 向量在轴上的投影：设A点的坐标为x1，y1，B点
4、坐标为x2，y2，那么x2-x1称为向量 在x轴的投影，记作 同样令 分别为x轴上的单位向量，那么有或将投影 ， 分别叫做向量 的坐标再设C点的坐标 ，那么 不难证明即和的投影等于投影的和普通地有： 个向量之和在 轴上的投影等于各个向量在 轴上投影之和注：相等向量在同一轴上的投影相等。 易知，当向量与轴成锐角时投影为正；成钝 角时投影为 负；成直角时投影为0.BAAuBBu3.关于向量投影的定理： 定理1：向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。其中=即 任何一个向量可在坐任何一个向量可在坐标轴标轴上的分解，即上的分解，即分别称为分别称为 在在 轴，轴， 轴上的向量轴上的向量
5、称称为投影，或坐投影，或坐标，或数量，或数量m 假设知向量的坐标假设知向量的坐标 ,那么向量的大小和那么向量的大小和m 方向就被确定由方向就被确定由 m 可得可得称为称为 的方向余弦的方向余弦定理：数与向量的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积总之，我们将数量和向量这一对矛盾一致在 之中2 空间直角坐标系与向量的坐标一.空间直角坐标系： 1.定义：由过同一原点O作三条相互垂直的数轴分别称ox轴、oy轴、oz轴，又称横轴、纵轴、竖轴，按右手法那么陈列所组成的坐标系称为空间直角坐标系，记为Oxyz。其中以三坐标轴正向确定的称第卦限，按逆时针方向依次称第、卦限，第卦限下面称第卦限，再按逆时
6、针方向依次称第、卦限。3.点的坐标：设有空间中点M，过M作三个平面分别垂直于Ox、Oy、Oz轴，并分别交三轴于点P、Q、R，设这三点在三轴上的坐标分别为x、y、z，那么称M点的在该空间坐标系中的坐标为x,y,z)，并记M点为M(x,y,z).如图：2.有关概念：在上面定义中的点O称为坐标原点；Ox轴、Oy轴、Oz轴称坐标轴；由每两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面，其中由Ox轴和Oy轴所确定的平面称为xOy面，依次类推；三个坐标平面把整个空间分为八个部分，每个部分称为一个卦限，OQPzyxMR坐标平面：xOy面上为x,y,0)，yOz面上为0,y,z)，zOx上为 x,0,z)； 坐标卦限：在第
7、卦限中的点的坐标的符号依次为(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).其中x、y、z分别称M点的横坐标、纵坐标和竖坐标。4.坐标特征：点的坐标有以下特征：坐标原点：0,0,0；坐标轴：x轴上为x,0,0)，y轴上为0,y,0)，z轴上为0,0,z)； 也可记为二.向量的坐标：1.根本单位向量：此向量的坐标为为点M的向径，称向量设有空间中点Mx,y,z)， 2.点M的向径的坐标：分别记为i、j、k.正向一样的三个单位向量与x轴、y轴、z轴5.向量线性运算的坐标代数表示：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,
8、z2)为空间中两点，3.向量的坐标：易知：=x2-x1,y2-y1,z2-z1易知i、j、k的坐标分别为1,0,0,0,1,0,0,014.i、j、k的坐标：设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,那么有 a=(ax)i+(ay)j+(az)k ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k即ax= bx,ay= by,az= bz,从中消去得其中假设上式中某个分母为0，那么其分子也为0.6.两向量平行的充要条件：我们知两向量a与b平行的充要条件是a= b,即两向量平行的充要条件是其坐标对应成比例，3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k例例1 知两向量知两向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求a+2b,3a-2b.解解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k三.模与方向余弦的坐标表示： 1.模：其他弦称为该向量的方向余弦。设有空间中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，2.方向余弦：称a与三坐标轴正向的夹角、为该向量的方向角，易知3.方向余弦的性质：4.两点之间间隔公式：那么此两点之间的间隔为
