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1、分类讨论思想在数学解题中的应用分类讨论是一种重要的数学思想方法，俗称“化整为零，各个击破,再积零为整” 它是一种基本解题策略，更是高考重点考查内容之一，纵观近几年高考试卷，均涉及到分类讨论思想方法的考查， 突出对学生数学能力的考查.常见的分类情形有：按数的特性分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能性分类；按图形的位置特征分类等分类讨论在解题中应用广泛，重点在以下几个方面：（）分类讨论在函数与导数中的应用； （）分类讨论在不等式与方程中的应用； （）分类讨论在三角函数中的应用； （）分类讨论在数列中的应用； （）分类讨论在排列组合中的应用； （）分类讨论在立体几何中的应用； （）分类讨论在解析
2、几何中的应用等本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考.一、分类讨论在函数与导数中的应用例 设函数 f（）（）（） ，（1）求函数的定义域；（2）问 f（）是否存在最大值与最小值？如果存在，求出来；如果不存在，说明理由解析 （1）由0,x-10,p-x0,解得 x1,x时，不等式解集为x|11）.（2）由 f（）=（） （）=-（-）2+，当，即13 时，函数 f（）有最大值2（p+1）-2，但无最小值.点评 指数与对数函数的单调性要分 0a1 和 a1 两种情况讨论，对于两个集合取交集时应讨论两端点的大小，而对于二次函数的对称轴不定，区间确定的问题更是要深入领会例 2 设函数 f（）
3、=1n（a）+x2（I）若当=-1 时，f（）取得极值，求 a 的值，并讨论 f（）的单调性；（II）若 f（）存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于 1n解析 （）依题意得f （） =+2x，又 f （-1）=0，故 a= 从而 f （）= f （）的定义域为（，+） ，当0；当-1时，f （）0 从而 f（）分别在区间（，） 、 （，+）单调递增，在区间（，）单调递减（）f（）的定义域为（，+） ， f （）=，方程 22+2a+1=0 的判别式=4a2-8（?。簟?0，所以 f（）无极值若 a=-，x（，+） ， f （）=0，f（）也无极值（?簟鳎?0，即a或 a-，则2
4、2+2a+1=0 有两个不同的实根：1=，2=当 a-时，1-a，2时，1-a，2-a，f （）在 f（）的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知 f（）在=1，=2 取得极值综上所述，f（）存在极值时，a 的取值范围为（，+） ， f（）的极值之和为 f（1）+f（2）=1n（1+a）+12+1n（x2-a)+22=1n+a2-11-1n2=1n点评 本题涉及到函数、 导数、 不等式综合知识的应用，重点考查了同学们分类讨论思想第一问在求解单调区间时需对两根在定义域内比较大小进行分类讨论，要应用简单高次不等式的数轴表示法；第二问需讨论“”的三种情形，并结合极值的存在条件二、分类讨论在方程与
5、不等式中的应用例 函数 f（）=m2+（m3）x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数 m 的取值范围为（）A. 0，+）B. （-，C. （0，D. （0，）解析 当 m=0 时， f （） =-3x+1 其图像与轴交点为 （，） ，满足题意；当 m0 时，结合 f（）=10 知 m0，0，-0 或m0，解得 m（-，）（0， 综上可知选答案B.点评 涉及函数的零点即方程的根的分布问题,可联系二次函数的图像性质对方程的根存在条件进行限制时，必须注意到二次项系数和“”是否， 三种条件下的分类情形，讨论需严谨是解答此类题的难点.例 解关于 x 的不等式组 loga2x2log
6、ax， （-1）x2解析 对于参数 a，需分 a1 还是a1，所以以 1 为标准进行分类，（）当 0a1 时，可求得解为x2；（）当 a1 时，可解得，此时不等式组是否有解关键取决于与 2 的大小关系，所以以即a3 为标准进行第二次分类.（）当 1a3 时解集为；（）当 a3 时解集为（2， ）.综上所述，当0a1 时，原不等式解集为（2， ） ；当1a3 时，解集为；当 a3 时，解集为（2， ） .点评 此题含有对数不等式且底数不确定，故需要先分底数 a1，a1 两大类讨论；再比较两根的大小，通过数轴求解例 解关 x 于的不等式：ax2-（+1）x+11；（2）当 a0 时，原不等式化为 a（x-1） （x-）0，则原不等式可化为（x-1） （x-）1 时，1，不等式解为x1；（?）当 a=1 时，=1，不等式解为 x；（?01，不等式解为 1x1；当 0当 a=1 时，解集为；当 a1 时，解集为x|xB= 30，故角 A 有两种可能
