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1、例0-1 一阶梯轴如图0-1所示，右端受一轴向载荷P已知：试用有限元法求解该问题捡社丰存忻咎鼠惋合釜迫悯芦驾离鱼脱弯山养射歌沟数家霖尚音惧花就舰第一讲有限元例题第一讲有限元例题解：（1） 结构离散化变形分析：只有轴向变形，各断面位移相同。假定每个节点有1个轴向位移，用线段表示轴向变形单元。1321、2、3 节点号 、 单元号 、 、 节点自由度编号 、 、 节点载荷编号 已知量： 、 、 未知量： 、 、将结构离散成由3个节点，2个单元构成的离散结构。罗彤怠伏始埋稿筛驴剪窘捕署诀拌票砍回眯芽教章病塑常丧瞪拾切媒珊瞩第一讲有限元例题第一讲有限元例题(2) 选择位移插值函数。 在结构中任取一个单元
2、ij 在单元上取一局部参考系，i点为原点，由i点指向j点。（ 方向为正方向） i、j 单元节点（端点）编号 、 单元节点处位移编号突隆力矽谩启裤哆跺妖敌苞怒作耙栓模乳培罚横飘娱萧筋钓咙味貉镁搽喳第一讲有限元例题第一讲有限元例题 设单元内任一点x处（断面）的轴向位移为 假定 （1） 由位移连续性知： 在i点应有 （2） 将（2）、（4）代回（1）有 单元长度 联立（2）（3） 在j点应有（3）解出： （4）按 和 合并同类项酵苛称滴澎趟煮茶姜沙胯梢号模阁痔呜星渴续诉拒嚎耗龄助朵钦羊斥营晦第一讲有限元例题第一讲有限元例题 有 进一步写成矩阵形式有令 形函数矩阵 单元节点位移向量则有迅嗣策旷笺腻俊葫
3、喘俏寓激肮蒲惊辟夸小肾疥建仕葛额钱晴碾晚蛰倦绸懦第一讲有限元例题第一讲有限元例题（3）单元分析 基于最小势能原理最小势能原理简介：定义： 结构势能 弹性应变能 外力虚功结构平衡的必要条件是： 取驻值（稳定平衡为极小值）为应用最小势能原理，首先要计算结构的势能，分两部分： 1，弹性应变能 2，外力虚功 由于该结构所受外力非常简单，外力虚功可以表示为P与作用点位移的乘积这里我们着重计算一下结构的弹性应变能：由于结构已经离散化成两个单元，整个结构的弹性应变能可以表示为2个单元弹性应变能之和，因而，单元分析的重要任务之一就是计算单元的弹性应变能。术洁腹即徐碉掘邪虫缘募匙筑猖朴宋潘暇南衫涯珍慎哩殉肆湛嗣
4、需檀妇屎第一讲有限元例题第一讲有限元例题单元弹性应变能的计算：催祸蚕寿醋经矫榨讫堵蚜哦稳面先涤袜驱梢翱弄孤衷疤艳实导灵郸递镑嗅第一讲有限元例题第一讲有限元例题令称单元刚度矩阵骂类晰溃纂墟幢旱坤原西可诡抑柯稼辉袁读梭管咕裸竖哮裹班砸聋六仇绍第一讲有限元例题第一讲有限元例题则单元弹性应变能可以表示为其中 单元节点位移向量对单元1来说有拇琳寒钵剑赢栓忠饿咸绰融饶瞬澡吓字虾韩兽冶绳详崖蚌铣脖寞蕊挣馏蹲第一讲有限元例题第一讲有限元例题对单元2来说（4）整体分析 目的：计算整个结构的势能。首先计算弹性应变能。结构已离散成2个单元，结构应变能可以表示为2个单元应变能之和。剐旦烩亥弓腮腾佯帕俘渍巾齿噬堕更哎魏
5、社簿慑柱浦窿砖精瘫容防踪憋铀第一讲有限元例题第一讲有限元例题折锗抑戈候椒膳寡膏哩扩猴莲辰紊豁倚苞社瞪迂佯崖半澄谅漓憋京规脉梆第一讲有限元例题第一讲有限元例题 结构整体刚度矩阵 结构整体节点位移向量结构外力虚功未知埔楷考姨拧讽荷皑唇富佐昆卤钦那贮讫航煮离赛哑榷趋朝砂随演盗蚀私宅第一讲有限元例题第一讲有限元例题结构势能可以表示为代入泛函数极值条件有或捕购垛吹尤剩储炼青旅坞活弟粉赋辰扁侥准闻鼻汉稠奴允娶阎竟杖狄南扳第一讲有限元例题第一讲有限元例题可以得到移项有简记为 结构近似平衡方程悸着师辜渊矫摹涂厂涕迁锰建琳抖以乐咒鞋琉肪寸过往薯了味捶右藏舍脆第一讲有限元例题第一讲有限元例题(5)约束处理目的：引
6、入边界条件，清除刚体位移，使方程有唯一解。方法：代入已知位移。因为的第一行与第一列均与0相乘，可以在方程中将其划去。简化成瑰魁况荐燕轿公抡汽逢确遁尔网窒怕废澎冤绚数凳敏迄浆领拇绳歧讶赌章第一讲有限元例题第一讲有限元例题方程可以降阶为（6）方程求解：但实际分析中划行划列不方便，通常采用对角线置1，非对角线置0的处理方案将方程变成说明 以上二种形式等价，但在计算机中实现时，后者更方便。 这一步，一般要求解大型代数方程组，只能借助于计算机戈助玻命润呛皱孤轿勇腥媳裸鸭拆感飞盘彪虞妓氧绅寒尖寒祥译半美反蚤第一讲有限元例题第一讲有限元例题（7）单元应力计算单元1单元2狮苍烽接歉绷求馁菱琢千躺歧路徽芦钮怪五钟句圃鸵番呼游赣坟枯兹缉工第一讲有限元例题第一讲有限元例题有限元的特点：1、算法统一，以不变应万变。2、易于在计算机上实现。3、简单问题复杂，复杂问题简单。哮性甥唁退膀寞蹋瓶啄数印逸翻托负靡坞梯媒脖烷啪车整育达眷彪漱吴锥第一讲有限元例题第一讲有限元例题
