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1、力学篇第三章 刚体的定轴转动主讲人主讲人: : 冯有才冯有才兰州理工大学兰州理工大学 理学院理学院刚体（刚体（rigid body）：物体中任意两个质点间：物体中任意两个质点间的距离始终不变。的距离始终不变。特殊的质点系，形状和体积不变化，特殊的质点系，形状和体积不变化， 理想化的模型。理想化的模型。平动平动（translation）时，刚体上所有点运时，刚体上所有点运动都相同，故刚体可简化为质点。动都相同，故刚体可简化为质点。3.1 刚体的运动及分类刚体的运动及分类此时刚体此时刚体=质点。质点。 刚体的一般运动刚体的一般运动=平动平动+转动转动平动和转动可以描述平动和转动可以描述所有质点的运
2、动。所有质点的运动。 如果刚体的各个质如果刚体的各个质点在运动中都绕同一点在运动中都绕同一直线作圆周运动，称直线作圆周运动，称转动转动（rotation）；）； 这一直线称转轴。这一直线称转轴。刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.角加速度矢量角加速度矢量速度加快时，角加速度和角速度同速度加快时，角加速度和角速度同向，否则反向。向，否则反向。2.角速度矢量角速度矢量方向由右手螺旋定则确定方向由右手螺旋定则确定3.1.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动（rotation about affixed axis） vi Ori定轴定轴刚体刚体zmi1.角位移角位移 线量和角量的关系：线量和角量的关系：例题例
3、题1 1 一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。角速度角速度例题例题2 2 一飞轮转速一飞轮转速n= =1500r/min，受到制动后均匀受到制动后均匀 地减速，
4、经地减速，经t t=50 s=50 s后静止。后静止。（1 1）求角加速度）求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数的转数N；（2 2）求制动开始后求制动开始后t=25=25s 时飞时飞 轮的角速度轮的角速度 ；（3 3）设飞轮的半径）设飞轮的半径r=1=1m，求在求在 t=25=25s 时边缘上一点的速时边缘上一点的速 度和加速度。度和加速度。 0vanatarO 量值为量值为 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s，对于匀对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50=50S
5、 时刻时刻 =0 =0 ，代入方程，代入方程 = = 0+t 得得 从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转及转数数N 分别为分别为 0vanatarO解解 （1 1）设初角度为）设初角度为 0 0方向如图所示，方向如图所示，角速度角速度 （2 2）t=25=25s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为 的方向与的方向与 0 0相同相同 ； 0vanatarO（3 3）t t=25=25s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P 的速度。的速度。 的方向垂直于的方向垂直于 和和 构成的平面，如构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为图所示相应的切向加速度和向心加
6、速度分别为由由 0vanatarO边缘上该点的加速度边缘上该点的加速度 其中其中 的方向的方向与与 的方向相反，的方向相反， 的方向指向轴心，的方向指向轴心， 的大小的大小为为 的方向几乎和的方向几乎和 相同。相同。角速度角速度 0vanatarO一、转动动能和转动惯量一、转动动能和转动惯量vi Ori定轴定轴刚体刚体zmi3.2 转动定律转动定律为刚体对为刚体对 z 轴的轴的转动惯量转动惯量 转动惯量的计算转动惯量的计算 J 为标量为标量dmrm与刚体的与刚体的质量质量有关有关与与质量的分布质量的分布有关，即与刚体的形状、有关，即与刚体的形状、大小、各部分的密度有关；大小、各部分的密度有关；
7、与与转轴的位置转轴的位置有关有关SI：均匀杆：均匀杆：CAml2l2对对C C轴：轴：对对A A轴：轴：二二. 常用的几个常用的几个J均匀圆盘：均匀圆盘：RmC CRmC均匀圆环：均匀圆环：三三. .计算计算 J的规律的规律1. 对同一轴对同一轴 J具有可叠加性具有可叠加性J =Ji Jm rzi ii= = 22. 平行轴定理平行轴定理JJmdc= =+ +2= =JJcminCdmICI平行平行 质质点点系系的的质质量量中中心心，简简称称质质心心。具具有有长长度度的的量量纲纲，描描述述与与质质点点系系有有关关的的某一空间点的位置。某一空间点的位置。C COXY注意：注意：质心的位矢与参考系
8、的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质质心与重心位置重合。心与重心位置重合。 3. 对薄平板刚体的正交对薄平板刚体的正交轴定理轴定理Jm rm xm yziiiiii= = =+ + 222 例例1 1：知圆盘：知圆盘JmRz= =122求对圆盘的一条直径的求对圆盘的一条直径的J Jx x （或（或 J y）。）。由由JJJJJJJmRzyxxyxy= =+ += = = =
9、=142即即 JzJJxy= =+ + y rix z yi xi mi yx z 圆盘圆盘 R C mOFd单位：单位：牛顿牛顿米，米， N m方向：方向：从从r 沿小于沿小于 角角右旋到右旋到F，大拇指指向。大拇指指向。rP3.2.2 转动定律及应用举例转动定律及应用举例 一、对定轴的力矩一、对定轴的力矩对定点的力矩： 对定轴的力矩：不起作用，只考虑转动平面内的rFM M 的方向垂直于的方向垂直于 r 与与 F 构成的平面。构成的平面。上页上页下页下页退出退出返回返回d为力臂同一点合力的力矩等于各分力力矩之和：同一点合力的力矩等于各分力力矩之和：线量和角量的关系：线量和角量的关系：例例2：
10、一匀质细杆，长为：一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m ，在摩在摩擦系数为擦系数为 的的水平桌面上转动，求摩擦力水平桌面上转动，求摩擦力的力矩的力矩 M阻阻。解：解：杆上各质元均受杆上各质元均受摩擦力作用，但各质摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，质元受阻力矩大，细杆的质量密度细杆的质量密度质元质量质元质量质元受阻力矩质元受阻力矩上页上页下页下页退出退出返回返回细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩由细杆质量由细杆质量有有上页上页下页下页退出退出返回返回二、刚体对定轴的角动量二、刚体对定轴的角动量
11、质点对定轴的角动量：大小为：刚体对定轴的角动量：刚体各质点对轴的角动量的矢量和。1.1.第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。角速度不变。三、三、 转动定律转动定律 上页上页下页下页退出退出返回返回 从实验可知，刚体转动的角加速度与合外力从实验可知，刚体转动的角加速度与合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。2.第二定律第二定律刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律与牛与牛II比较：比较：MFJma J反映刚体转动的惯性反映刚体转动的惯性
12、 刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。的转动惯量与角加速度的乘积。注意几点注意几点注意几点注意几点1. 是矢量式是矢量式2. 具有瞬时性。具有瞬时性。1.确定研究对象。确定研究对象。2.受力分析（受力分析（只考虑对转动有影响的力矩只考虑对转动有影响的力矩）。）。3.列方程求解列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程和角量与线量关系刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。四四. . 解题方法及应用举例解题方法及应用举例第一类问题：已知运动情况和第一类问题：已知运动情况和 J，确定运动学，确定运
13、动学和动力学的联系和动力学的联系- ，从而求出，从而求出 M或或 F。上页上页下页下页退出退出返回返回例例3：长为长为 l、质量为质量为 m 的细杆，初始时的的细杆，初始时的角速度为角速度为 0，由于细，由于细杆与桌面的摩擦，经杆与桌面的摩擦，经过时间过时间 t 后杆静止，后杆静止，求摩擦力矩求摩擦力矩 M阻阻。解：解：以细杆为研究对象，以细杆为研究对象，只有摩擦阻力只有摩擦阻力产生力产生力矩，由匀变速转动公式：矩，由匀变速转动公式：上页上页下页下页退出退出返回返回细杆绕一端的转动惯量细杆绕一端的转动惯量则摩擦阻力矩为：则摩擦阻力矩为：上页上页下页下页退出退出返回返回第二类问题：已知第二类问题
14、：已知 J 和力矩和力矩M ：求出运动情况求出运动情况 a 和和 及及 F。例例3-6一细杆质量为一细杆质量为m，长度为长度为l，一端固定在一端固定在轴上，静止从水平位置自由摆下，求细杆下摆轴上，静止从水平位置自由摆下，求细杆下摆时角加速度。时角加速度。例例4：质量为：质量为 m1和和m2两两个物体，跨在定滑轮个物体，跨在定滑轮上，上， m2 放在光滑的桌放在光滑的桌面上，滑轮半径为面上，滑轮半径为 R，质量为质量为 M，若轮轴摩，若轮轴摩擦可以忽略，轮子和擦可以忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，绳子之间无相对滑动，求：求：m1 下落的加速度，下落的加速度，和绳子的张力和绳子的张力 T1、T2。
15、T1T2解：受力分析解：受力分析以以为研究对象为研究对象 （1）以以为研究对象为研究对象 （2）以以为研究对象为研究对象（3）T1T2上页上页下页下页退出退出返回返回补充方程：补充方程：（4）联立方程（联立方程（1）-（4）求解得）求解得讨论：当讨论：当 M=0时时上页上页下页下页退出退出返回返回oxrddrdsox例例3-8：如图所示，有一匀如图所示，有一匀质圆盘半径为质圆盘半径为R,质量为质量为m，在水平面上绕过圆心的，在水平面上绕过圆心的垂直轴垂直轴O转动。若圆盘的转动。若圆盘的初角速度为初角速度为0，桌面的摩，桌面的摩擦系数为擦系数为并且与相对速并且与相对速度无关。求圆盘停下来需度无关
16、。求圆盘停下来需要的时间和停转过程的角要的时间和停转过程的角位移。位移。第三类问题：已知运动情况第三类问题：已知运动情况 和力矩和力矩M ，求求未知未知刚体转动惯量刚体转动惯量 J。例例5：测轮子的转动惯量：测轮子的转动惯量 用一根轻绳缠绕在半径用一根轻绳缠绕在半径为为 R、质量为质量为 M 的轮子上的轮子上若干圈后，一端挂一质量若干圈后，一端挂一质量为为 m 的物体，从静止下落的物体，从静止下落 h 用了时间用了时间 t ,求轮子的转求轮子的转动惯量动惯量 J。h上页上页下页下页退出退出返回返回h以以m为研究对象为研究对象以以M为研究对象为研究对象物体从静止下落时满足物体从静止下落时满足补充
17、方程：补充方程：联立方程（联立方程（1）-（4）求解得：）求解得：上页上页下页下页退出退出返回返回3.3 守恒定律守恒定律 一一. 力矩的功力矩的功 将将F分解为切分解为切向力和法向力。向力和法向力。 刚体转过刚体转过 d, 作用点的位移为作用点的位移为 ds, 法向力法向力Fn 不作功，只有切向力作功，不作功，只有切向力作功，其中其中由功的定义由功的定义对于恒力矩作功对于恒力矩作功恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。由功率的定义：由功率的定义：二、力矩的功率二、力矩的功率则则 刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作
18、功的效果是改变刚体的转动对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？状态，改变了刚体的什么状态？由力矩的功定义：由力矩的功定义：三、刚体绕定轴转动的动能定理三、刚体绕定轴转动的动能定理其中力矩其中力矩则功则功刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体转动动能定理：刚体转动动能定理：合外力矩对刚体作功等于合外力矩对刚体作功等于刚体转动动能的增量。刚体转动动能的增量。1.确定研究对象。确定研究对象。2.受力分析，确定作功的力矩。受力分析，确定作功的力矩。3.确定始末两态的动能，确定始末两态的动能，Ek0、Ek。4.列方程求解。列方程求解。四、应用转动动能定理解题方法上
19、页上页下页下页退出退出返回返回例：例：例例3-6题中求细杆摆到铅直位置时的角速题中求细杆摆到铅直位置时的角速度。度。解：解：以杆为研究对象，以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。力矩随摆角变化而变化。重力矩作功：重力矩作功：上页上页下页下页退出退出返回返回始末两态动能：始末两态动能：由动能定理：由动能定理：五、物体系的机械能守恒定律五、物体系的机械能守恒定律 当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。功时，物体系
20、的机械能守恒。其中其中例例3-9：例例3-6中求细杆下摆中求细杆下摆时角速度时角速度为多少。为多少。例例3-10：如图，轻绳绕在定滑轮如图，轻绳绕在定滑轮A，B（质量分（质量分别为别为m1和和m2）上，一端挂有重物）上，一端挂有重物C（质量为（质量为m3），），A、B滑轮均可当做匀质圆盘，半径分别为滑轮均可当做匀质圆盘，半径分别为R1和和R2，求物体，求物体C由静止下落由静止下落h处的速度。处的速度。hAB例：例：如图所示的物体系中，倔强度系数为如图所示的物体系中，倔强度系数为 k的弹的弹簧开始时处在原长簧开始时处在原长，定滑轮的半径为定滑轮的半径为 R、转动惯转动惯量为量为 J，质量为，质量
21、为 m 的物体从静止开始下落的物体从静止开始下落,求下求下落落 h 时物体的速度时物体的速度 v。解：在物体解：在物体 m 下落下落过程中只有重力和过程中只有重力和弹力保守力作功，弹力保守力作功，物体系机械能守恒。物体系机械能守恒。选择弹簧原长为弹性选择弹簧原长为弹性 0 势点，物势点，物体下落体下落 h 时为重力时为重力 0 势点。势点。求解得求解得1 1、冲量矩、冲量矩、冲量矩、冲量矩 在质点运动中介绍了在质点运动中介绍了冲量冲量的概念的概念-力对时力对时间的累积间的累积效应效应。 在刚体转动中引入在刚体转动中引入冲量矩冲量矩的概念的概念-力矩力矩对时间的累积对时间的累积效应效应。冲量：冲
22、量：冲量矩：冲量矩：单位：单位：牛顿牛顿米米秒（秒（ N m s）上页上页下页下页退出退出返回返回六六 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律质点的动量定理质点的动量定理由冲量矩定义：由冲量矩定义：其中其中上页上页下页下页退出退出返回返回其中其中角动量定理：角动量定理：刚体受到的冲量矩等于刚体刚体受到的冲量矩等于刚体角动量的增量。角动量的增量。上页上页下页下页退出退出返回返回2 2、角动量定理、角动量定理、角动量定理、角动量定理3 3、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律表明小球对圆心的角动量保持不变表明小球对圆心的角动量保持不变实验中发现实验中发现
23、 质点系的动量守恒定律：当合外力为质点系的动量守恒定律：当合外力为0时，动量守恒。时，动量守恒。时时,当当 对于刚体所受的合外力矩为对于刚体所受的合外力矩为0时时,又又如何呢？如何呢？由角动量定理：由角动量定理：上页上页下页下页退出退出返回返回角动量守恒定律角动量守恒定律: :当刚体受到的合外力矩为当刚体受到的合外力矩为0 时，刚体的角动量守恒。时，刚体的角动量守恒。上页上页下页下页退出退出返回返回条件：条件：当刚体受到的合外力矩为当刚体受到的合外力矩为0时，时，.对于非刚体，转动惯量对于非刚体，转动惯量J发生变化的物体，发生变化的物体，由于由于J =C，上页上页下页下页退出退出返回返回.对于
24、刚体定轴转动，转动惯量对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角为常数，角速度速度 也为常数，也为常数， = 0 即刚体在受合外力矩为即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。远保持静止，原来转动的将永远转动下去。明确几点明确几点上页上页下页下页退出退出返回返回1 2例例8：人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0=60kgm2, 伸臂时臂长为伸臂时臂长为l1= 1m，收臂时臂长为收臂时臂长为 l2= 0.2m。人站在摩擦可不计人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量每只手抓有质量 m=5kg的的哑铃。伸臂时转
25、动角速度哑铃。伸臂时转动角速度 1 = 3 s-1,求收臂时的角速求收臂时的角速度度 2 。 （人手臂收缩引（人手臂收缩引起的角动量变化不计）起的角动量变化不计）上页上页下页下页退出退出返回返回1 2解：解：合外力矩为合外力矩为0，角动量守恒，角动量守恒，J0=60kgm2，l1= 1m， l2= 0.2mm=5kg， 1 = 3 s-1上页上页下页下页退出退出返回返回由转动惯量的减小，角速度增加。由转动惯量的减小，角速度增加。 在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。上页上页下页下页退出退出返回返回 1 = 3 s-1解：解：两飞轮通过摩擦达两飞轮
26、通过摩擦达到共同速度到共同速度,合外力矩为合外力矩为0，系统角动量守恒。，系统角动量守恒。共同角速度共同角速度例例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角角速度分别为速度分别为 1 、 2，求两飞轮啮合后共同的角，求两飞轮啮合后共同的角速度速度 。啮合过程机械能损失。啮合过程机械能损失。上页上页下页下页退出退出返回返回其中其中共同角速度共同角速度啮合过程机械能损失啮合过程机械能损失上页上页下页下页退出退出返回返回解：解：在彗星绕太在彗星绕太阳轨道运转过程阳轨道运转过程中中,只受万有引力只受万有引力作用作用,万有引力不万有引力不产生力矩，产生力矩，系统系统角动量守恒
27、。角动量守恒。例例10：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？守恒？近日点与远日点的速度谁大？上页上页下页下页退出退出返回返回近近日日点点远远日日点点即即近日点近日点 r 小小 v 大，远日点大，远日点 r 大大 v 小，小， 这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换时势能转换成动能，而远离太阳时，动
28、能转换成势能。成势能。由质点的角动量定义由质点的角动量定义：即即上页上页下页下页退出退出返回返回近近日日点点远远日日点点例例11: 长为长为l，质量为质量为m0的细棒，可绕垂直于一端的水平的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为轴自由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为m的的小球沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰（设碰撞完小球沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰（设碰撞完全弹性）使杆向上摆到全弹性）使杆向上摆到 处，求小球的初速度。处，求小球的初速度。 解：第一过程：小球和棒完全弹性碰撞。解：第一过程：小球和棒完全弹性碰撞。上页上页下页下页退出退出返回返回第二过
29、程：从碰撞后得到角速度到棒上升到第二过程：从碰撞后得到角速度到棒上升到=60处。处。取棒、地球为系统。因系统中无外力和非保守内力取棒、地球为系统。因系统中无外力和非保守内力做功。所以系统的机械能守恒，即做功。所以系统的机械能守恒，即由上列三式解得由上列三式解得上页上页下页下页退出退出返回返回例例12: 一质量一质量M，半径为半径为R的圆柱，可绕固定的水平轴自的圆柱，可绕固定的水平轴自由转动。今有一质量为由转动。今有一质量为m，速度为速度为v0的子弹，水平射入静的子弹，水平射入静止的圆柱上部止的圆柱上部(近似看作在圆柱边缘近似看作在圆柱边缘)，且停留在圆柱内，且停留在圆柱内,求：（求：（1）子弹与圆柱的角速度。）子弹与圆柱的角速度。 （2）该系统的机械能的损失。）该系统的机械能的损失。解：（解：（1）子弹与圆柱发生完全非弹性碰撞。）子弹与圆柱发生完全非弹性碰撞。上页上页下页下页退出退出返回返回（2）损失的机械能：损失的机械能： 其中其中上页上页下页下页退出退出返回返回
