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1、存在探索型问题存在探索型问题1(2006武汉市武汉市)已知：二次函数已知：二次函数yx2 -(m1)xm的图象交的图象交x于于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交两点，交y轴正半轴于点轴正半轴于点C，且，且x12 x22 10求此二次函数的解析式；求此二次函数的解析式；是否存在过点是否存在过点D(0，- 5 )的直线与抛物线交于点的直线与抛物线交于点M、N，与，与x轴交于点轴交于点E，使得点，使得点M、N关于点关于点E对称？对称？若存在若存在，求直线，求直线MN的解的解析式；析式；若不存在若不存在，请说明理由，请说明理由（2007成都市）在平面直角坐标系中，已知二次函数成都市）在平面直角坐标
2、系中，已知二次函数 yax2+ bxc的图象与轴交于两点的图象与轴交于两点A 、B （点（点A在点在点B的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点，且过点和和（1）求此二次函数的表达式；）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点）若直线与线段交于点D（不与点（不与点B和和C重合），则重合），则是否存在这样的直线是否存在这样的直线l，使得以，使得以BOD为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ABC相似？相似？若存在若存在，求出该直线的函数表达式及点，求出该直线的函数表达式及点D的的坐标；坐标；若不存在若不存在，请说明理由；，请说明理由；（3）若）若P
3、点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO与与 ACO的大小的大小（不必证明），并写出此时点的（不必证明），并写出此时点的P横坐标的取值范围横坐标的取值范围（2008浙江金华市）在平面直角坐标系中，已知浙江金华市）在平面直角坐标系中，已知 AOB是等边是等边三角形三角形,点点A的坐标是（的坐标是（0，4），点），点B在第一象限，点在第一象限，点P是是x轴上轴上的一个动点，连结的一个动点，连结AP，并把，并把 AOP绕着点绕着点A按逆时针方向旋转，按逆时针方向旋转，使边使边AO与与AB重合，得到
4、重合，得到 ABD.（1）求直线）求直线AB的解析式；的解析式；（2）当点）当点P运动到点（运动到点（3,0）时，求此时）时，求此时DP的长及点的长及点D的坐标；的坐标；（3）是否存在是否存在点点P,使使 OPD的面积等于的面积等于,若存在若存在，请求出符合条，请求出符合条件的点件的点P的坐标；的坐标；若不存在若不存在，请说明理由，请说明理由. 存在探索型问存在探索型问题题指的是在一定的指的是在一定的条件下需探索发现条件下需探索发现某种数学关系是否某种数学关系是否存在的题目。存在的题目。例例1 （07山西省改编）抛物线的解析式为：山西省改编）抛物线的解析式为：yx22,点点 A是是y轴右侧抛物
5、线上的一个动点，过点轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作作AB垂直垂直x轴于轴于点点B，再过点，再过点A作作x轴的平行线交抛物线于点轴的平行线交抛物线于点C，得到矩形，得到矩形ABCD设矩形设矩形ABCD的周长为的周长为l，当点，当点A在在y轴右侧的抛物轴右侧的抛物线上运动时，矩形线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形若能，请求出能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由此时正方形的周长；若不能，请说明理由y解：解： 点点A在在y轴右侧的抛物线上轴右侧的抛物线上 当当x0时，且点时，且点A的坐标为的坐标为(x，x22)假设假设ABAD则则x222x 解得解得x1 (舍舍)，或
6、，或x1又又l8x 当当x1 时，时，l88 时时矩形矩形ABCD能成为正方形能成为正方形8；xACDBy例例2（05毕节改编）如图，抛物线毕节改编）如图，抛物线y=- x2+3上是否存在一上是否存在一点点P使使 PBCOBC,若存在，求出点若存在，求出点P的坐标，若不存在，的坐标，若不存在，请说明理由。请说明理由。OABC分分 析析由由y=- x2+3，解得，解得x=3， B点坐标（点坐标（3，0）。）。假设存在一点假设存在一点P使使 PBCOBC，因为因为 OBC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BC是公共边，故是公共边，故P点与点与O点必关于点必关于BC所在直线对称，所在直线对称， 点
7、点P坐标是（坐标是（3，3），当），当x=3时，时，y=- 32+33，即点即点P不在抛物线上，所以不存在这样的点不在抛物线上，所以不存在这样的点P，使，使 PBCOBC。P 反演推理法：假设结论成立，根据假设进行推理，反演推理法：假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。练习（练习（06威海市改编）抛物线威海市改编）抛物线y=x2-4x,顶点为顶点为M点，试判断抛物线上是否存点，试判断抛物线上是否存在一点在一点P，使，使 POM=900，若不存在，说明理由；若存在，求出，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标。点的坐标。分析分
8、析OyxM（2，-4）OMOyxM（2，-4）P（a，a2-4a）M(2，-4)EF2aa2-4a答案：答案： P( , )P0ABCABP1P2P3ABP1P3P2P0xyO1-1P4P5P6此时此时P4、P5、P6满足要求满足要求例例3、（、（07年云南改编）已知：如图，抛物线年云南改编）已知：如图，抛物线y=x2-6x+5在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点P使得使得 ABP为等腰三角形？为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由
9、。，请说明理由。解解： 抛物线的顶点抛物线的顶点P0（3，-4）既在抛物线的对称轴上又在抛物线上）既在抛物线的对称轴上又在抛物线上 点点P0（3，-4）为所求满足条件的点。）为所求满足条件的点。除除P0点外，在抛物线上还存在其他的点点外，在抛物线上还存在其他的点P使得使得 ABP为等腰三角形为等腰三角形理由如下：理由如下： AP0=BP0= 22+42 = 2 4 分别以分别以A、B为圆心半径长为为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点画圆，分别与抛物线交于点B、P1、 P2、P3、 P4、 P5、 P6，除去，除去B、A两个点外，其余两个点外，其余6个点为满足条件的点。个点为满足条件的点。A
10、BP1P3P2P0xyO1-1P4P5P6分类讨论法：分类讨论法： 当命题的题设和结论不唯一确当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，需要按可能定，难以统一解答时，需要按可能出现的情况做到既不重复又不遗漏，出现的情况做到既不重复又不遗漏，分别别类加以讨论求解，将不同结分别别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。论综合归纳得出正确结果。例例4（2007山东临沂改编）如图，已知抛物线山东临沂改编）如图，已知抛物线y=- x2+x若点若点C在抛物线的对称轴上，点在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点四点为顶点的平行四边形，求的平行四边形，求D
11、点的坐标；点的坐标；xyOABOBD2D1COB当四边形当四边形OCDB是平行四边形时，是平行四边形时，CD OB,由由y=- （x-2）2+1=0得得x1=0，x2=4， B（4，0），），OB=4， D点的横坐标为点的横坐标为6，将将x=6带入带入y=- （x-2）2+1，得，得y=- （6-2）2+1=-3， D1（6，-3）；）；根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D2(-2,-3)，使得四边形，使得四边形ODCB是平行四边形；是平行四边形；当四边形当四边形OCBD是平行四边形时，是平行四边形时，D点即为点即为A点，此
12、时点，此时D3点的坐标为点的坐标为(2，1)。D2D1(D3)探索点存在性问题的收获探索点存在性问题的收获思考题思考题(08厦门市厦门市)已知：如图所示的一张已知：如图所示的一张矩形矩形纸片纸片ABCDEF(ABAD)，将纸片折叠一次，使点将纸片折叠一次，使点A与与C重合，再展开，折痕重合，再展开，折痕EF交边交边AD于于E，交边，交边BC于于F，分别连结，分别连结AF和和CE（1）求证：四边形）求证：四边形AFCE是菱形；是菱形；（2）若）若AE=10cm， ABF的面积为的面积为24cm2，求，求 ABF的周长；的周长；（3）在线段）在线段AC上上是否存在是否存在一点一点P，使得？，使得？2AE2=ACAP. 若存在若存在，请说明点，请说明点P的位置，并予以证明；的位置，并予以证明；若不存在若不存在，请说明理，请说明理由由AEDCFB祝大会圆满成功祝大会圆满成功制作人：王胜任制作人：王胜任 李舒宇李舒宇
