《山东专版中考数学总复习第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形试卷部分课件091726》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东专版中考数学总复习第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形试卷部分课件091726（221页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.5特殊的平行四边形中考数学中考数学 (山东专用)A A组组2014201420182018年山东中考题组年山东中考题组考点一矩形考点一矩形五年中考1.(2018威海,11,3分)矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中 点 H , 连 接 G H , 若 B C = E F = 2 , C D = C E = 1 , 则 G H =()A.1B.C.D.答案答案C如图,过点H作HM垂直CG于点M,设AF交CG于点O.根据题意可知GOFDOA,所以=,所以OF=OA=AF,即AF=3OF,因为点H是AF的中点,所以OH=AF-AF=AF,即AF
2、=6OH,所以OH=OF.根据已知条件可知HOMFOG,可以推出HM=GF=;同理,通过HOMAOD,可以推出DM=DG,即GM=DG=.在RtGHM中,GH=.2.(2016威海,12,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点.将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF.则CF的 长 为()A.B.C.D.答案答案D连接BF,交AE于H,则AE垂直平分BF,BC=6,点E为BC的中点,BE=3,又AB=4,ABC=90,AE=5,BH=,则BF=,FE=BE=EC,BFC=90,CF=,故选D.3.(2018青岛,21,8分)已知:如图,ABCD中,对角线
3、AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,BCD=120,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,AFC=DCF,又GA=GD,AGF=DGC,AGFDGC,AF=CD.AB=AF.(2)四边形ACDF是矩形.证明如下:AF=CD,AFCD,四边形ACDF是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形,BAD=BCD=120,FAG=60,AB=AG=AF,AGF是等边三角形,AG=GF,易得AD=CF,四边形ACDF是矩形.思路分析
4、思路分析(1)利用平行四边形的性质,通过证明AGFDGC得到AF=CD,从而得AB=AF;(2)先判断四边形ACDF是平行四边形,再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”得出四边形ACDF是矩形.方法总结方法总结证明两条线段相等的思路主要有以下几种:(1)如果两条线段在同一个三角形中,则可利用“等角对等边”证明;(2)如果两条线段不在同一个三角形中,通常证明这两条线段所在的三角形全等;(3)利用图形的性质找出中间量过渡,如a=b,b=c,则a=c.4.(2018临沂,25,11分)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(00),则BF=x,四边形ABED的面积为24,DE=AF=2,S四边形ABED=S
5、ABE+SAED=x2+2x=24,(4分)解得x1=6,x2=-8(舍),(5分)EF=AE-AF=6-2=4,(6分)在RtEFB中,BE=2,(7分)sinEBF=.(8分)思路分析思路分析(1)利用“AAS”证明RtDEARtAFB,即得AE=BF;(2)利用S四边形ABED=SABE+SAED,求出AE的长,即得BF的长,从而求出EF的长,即可求出EBF的正弦值.一题多解一题多解本题第(2)问也可把四边形ABED的面积分成BEF的面积、ABF的面积和ADE的面积三部分来处理,方法如下:设EF=x(x0),则AE=x+2,BF=AE=x+2,由(1)知RtAFBRtDEA,S四边形AB
6、ED=SBEF+SABF+SADE=SBEF+2SABF=24,即x(x+2)+2(x+2)2=24,解得x1=4,x2=-10(舍去).EF=4,BF=6.BE=2.sinEBF=.8.(2017青岛,21,8分)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCEDCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.解析解析(1)证明:四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=DA,B=D,点E,F分别为AB,AD的中点,BE=AB,DF=AD,BE=DF.在BCE和DCF中,BCEDCF(SAS).(
7、2)ABBC.理由如下:E,O分别是AB,AC的中点,OE是ABC的中位线,OE=BC,同理,OF=CD,E,F分别是AB,AD的中点,AE=AB,AF=AD,又AB=BC=CD=AD,OE=OF=AF=AE,四边形AEOF是菱形,ABBC,OEBC,AEOE,四边形AEOF是正方形.思路分析思路分析(1)要证明BCEDCF,需构造全等的三个条件,根据菱形的性质和线段中点的意义,可根据SAS得证;(2)要证明四边形AEOF是正方形,先证明四边形AEOF为平行四边形,再证明一组邻边相等,有一个角为直角.B B组组2014201420182018年全国中考题组年全国中考题组考点一矩形考点一矩形1.
8、(2017浙江绍兴,8,4分)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中,曾利用了下图,该图中,四边形ABCD是矩形,E是BA延长线上一点,F是CE上一点,ACF=AFC,FAE=FEA.若ACB=21,则ECD的度数是()A.7B.21C.23D.24答案答案C设E=EAF=x,则AFC=ACF=2x,BAC=E+ECA=3x,在ABC中,BAC+ACB=90,即3x+21=90,x=23,即E=23,又ABCD,ECD=E=23.2.(2017四川宜宾,7,3分)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点F处,则DE的 长 是()A.3B
9、.C.5D.答案答案C四边形ABCD是矩形,AB=CD=6,AD=BC=8.由勾股定理得BD=10.由折叠可知,BF=AB=6,EF=AE,DF=4.在RtDEF中,EF2+DF2=DE2,(8-DE)2+42=DE2,解得DE=5.故选C.3.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为()A.B.C.5D.答案答案D如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可
10、得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为=,故选D.疑难突破疑难突破本题的突破口是根据SPAB=S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称的性质将问题转化.4.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.答案答案解析解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=.在RtADC中,AC=
11、.思路分析思路分析连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计算出AC,得解.解题关键解题关键本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键.5.(2017四川达州,20,7分)如图,在ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EFBC分别交ACB、外角ACD的平分线于点E、F.(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;(2)连接AE、AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.解析解析(1)CE、CF分别是ACB、ACD的平分线,ACB
12、+ACD=180,BCE=ECA=ACB,ACF=FCD=ACD,ECA+ACF=(ACB+ACD)=180=90,即ECF=90,CE=8,CF=6,EF=10,EFBC,BCE=E,FCD=F,ECA=E,ACF=F,OE=OC,OF=OC,OE=OF=5,OC=5.(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:点O是AC的中点,AO=CO,由(1)知OE=OF,四边形AECF是平行四边形,又ECF=90,四边形AECF是矩形,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.考点二菱形考点二菱形1.(2018河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿AD
13、B以1cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的 值 为() 图1 图2A.B.2C.D.2答案答案C如图,作DEBC于点E,在菱形ABCD中,当F在AD上时,y=BCDE,即a=aDE,DE=2.由题意知DB=,在RtDEB中,BE=1,EC=a-1.在RtDEC中,DE2+EC2=DC2,22+(a-1)2=a2.解得a=.故选C.思路分析思路分析当点F在AD上运动时,y不变,值为a,可求得菱形的BC边上的高为2,由点F在BD上运动 的 时 间 为,得出BD的长,作出菱形的BC边上的高,由勾股定理可求a值.解后反思解后反思本
14、题为菱形中的动点和函数图象问题,关键要根据菱形的各边都相等以及y的意义求出菱形的BC边上的高和BD的长,再构造直角三角形,用勾股定理求解.2.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又BO=DO,AOBD,即ACBD.四边形ABCD是菱形,AB=AD.证明步骤正确的顺序是()A.B.C.D.答案答案B证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,又BO=DO,AOBD,即ACBD.所以证明步骤正确的顺序是,故选B.3.(2016福建莆田,5,4分)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
15、()A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直答案答案D平行四边形的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分.菱形的性质:对边相等,邻边相等,对角相等,对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.比较得出D选项符合题意,故选择D.4.(2016甘肃兰州,14,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CEBD,DEAC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的 面 积 为()A.2B.4C.4D.8答案答案ACEBD,DEAC,四边形OCED是平行四边形,OD=EC,OC=DE,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OD=OC,OCED是菱形.连接OE,D
16、E=2,AC=2OC=2DE=4,DC=2,DEAC,AO=OC=DE,四边形AOED是平行四边形,OE=AD=2,四边形OCED的面积为=2,故选择A.5.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF=,BD=2,则菱形ABCD的 面 积 为 ()A.2B.4C.6D.8答案答案A因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所以EFAC,且EF=AC,所以AC=2EF=2.所以S菱形ABCD=ACBD=22=2.故选A.6.(2017新疆乌鲁木齐,12,4分)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,AB=2,则菱形ABCD的面
17、积为.答案答案2解析解析四边形ABCD是菱形,AB=AD=2.如图,过点D作DEAB,垂足为E,则DE=ADsin60=,S菱形ABCD=ABDE= 2.7.(2017黑龙江哈尔滨,19,3分)四边形ABCD是菱形,BAD=60,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=,则CE的长为.答案答案2或4解析解析根据菱形的性质可得BAO=30,ACBD,OA=OC.由AB=6可得OA=OC=3,当E在OA上时,CE=OC+OE=3+=4,当E在OC上时,CE=OC-OE=3-=2.综上,CE的长为4或2.8.(2018新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,BAC=
18、90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EFCD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.解析解析(1)证明:ADBC,AEDC,四边形AECD是平行四边形.BAC=90,E是BC的中点,AE=CE=BC,四边形AECD是菱形.(2)过点A作AHBC于点H,BAC=90,AB=6,BC=10,AC=8,SABC=BCAH=ABAC,AH=.点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,CD=CE=5.SAECD=CEAH=CDEF,EF=AH=.思路分析思路分析(1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证
19、四边形AECD是菱形;(2)过点A作AHBC于点H,由三角形的面积公式求出AH,再由平行四边形的面积公式求出EF.9.(2018辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.思路分析思路分析(1)根据菱形对角线互相垂直可得COD=90,根据平行四边形及矩形的定义可证.(2)根据平行四边形对边相等,可得OC=2,OD=1;根据菱形对角线互相垂直平分,可得BO=1,AO=2,可求四个直角三角形面积均为1,菱形ABCD的面积为4
20、.解析解析(1)证明:四边形ABCD为菱形,ACBD,COD=90,CEOD,DEOC,四边形OCED是平行四边形,COD=90,平行四边形OCED是矩形.(2)4.10.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.解析解析(1)证明:ABDE,A=D,AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF,又AB=DE,ABCDEF.(2)(过点E作EOCF于O,由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5,
21、所以EO=2.4,又四边形EFBC为菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4).11.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.解析解析(1)证明:ABCD,OAB=DCA.AC平分BAD,OAB=DAC,DCA=DAC,CD=AD.又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形.又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形.(2)四边形ABCD为菱形,OA=OC,BDAC.
22、CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB=BD=1.在RtAOB中,AB=,OB=1,OA=2,OE=2.12.(2018山西,22,12分)综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:BE=AB,AE=2AB.AD=2AB,AD=AE.四边形ABCD是矩形,ADBC.图1=.(依据1)BE=AB,=1.EM=DM.即AM
23、是ADE的DE边上的中线,又AD=AE,AMDE.(依据2)AM垂直平分DE.反思交流:(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出
24、一个你发现的结论,并加以证明. 图2 图3解析解析(1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例 ) .(1分)依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线 合 一 ” ) .(2分)点A在线段GF的垂直平分线上.(3分)(2)证明:过点G作GHBC于点H.(4分)四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=GHC=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90.1+3=90,2=3.GHCCBE.(6分)HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,B
25、C=2BE=2HC,HC=BH,GH垂直平分BC,点G在BC的垂直平分线上.(7分)(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分)证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.(9分)BMN=ENM=ENF=90.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=90,四边形BENM为矩形,(10分)BM=EN,BEN=90,1+2=90.四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90,2+3=90,1=3.CBE=ENF=90,ENFEBC.(11分)NE=BE,BM=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,AB=BE,BC=2
26、BM.BM=MC,FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上.(12分)证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.(9分)四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=N=90,1+3=90.四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90.1+2=90,2=3.ENFCBE.(10分)NF=BE,NE=BC.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a.BF=a,CE=a,CF=CE=a.(11分)BF=CF.点F在BC边的垂直平分线上.(12分)13.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD
27、中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.解析解析(1)证明:E为AD的中点,AD=2ED.AD=2BC,ED=BC.ADBC,四边形BCDE为平行四边形.又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90,BE=ED,BCDE为菱形.(2)设AC与BE交于点H,如图.ADBC,DAC=ACB.AC平分BAD,BAC=DAC,BAC=ACB,BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,AB=BE=AE,ABE为等边三角形,BAC=30,ACBE,AH=CH.在RtABH
28、中,AH=ABcosBAH=,AC=2AH=.14.(2017江苏盐城,22,10分)如图,矩形ABCD中,ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABDC,ADBC,ABD=CDB,BE平分ABD,DF平分BDC,EBD=ABD,FDB=CDB,EBD=FDB,BEDF,又ADBC,四边形BEDF是平行四边形.(2)当ABE=30时,四边形BEDF是菱形.理由如下:BE平分ABD,ABD=2ABE=60,EBD=ABE=30,四边
29、形ABCD是矩形,A=90,EDB=90-ABD=30,EDB=EBD=30,EB=ED,又四边形BEDF是平行四边形,四边形BEDF是菱形.考点三正方形考点三正方形1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最 小 值 的 是()A.ABB.DEC.BDD.AF答案答案D在正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称,AP=CP,AP+EP的最小值为EC.E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=AD.AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.AF=CE.故选D.思路分析
30、思路分析点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通过证明CDEABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长.解后反思解后反思本题考查轴对称,正方形的性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或点E)关于直线BD的对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值.2.(2017内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE=,EAF=135, 则 以 下 结 论 正 确 的 是()A.DE=1B.tanAFO=C.AF=D.四边形AFCE的面积为答案
31、答案C四边形ABCD是边长为1的正方形,对角线AC、BD互相垂直平分且相等,AO=OD=,在RtAOE中,OE=,DE=OE-OD=,A选项错误;易知ADO=45,ADE=135,ADE=EAF,又AED=FEA,DAEAFE,=,AF=,C选项正确;在RtAOF中,OF=,tanAFO=,B选项错误;EF=OF+OE=,四边形AFCE的面积=EFAC=,D选项错误.故选C.3.(2015湖北十堰,10,3分)如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=3,且ECF=45,则CF的长为()A.2B.3C.D.答案答案A如图,延长AB至F,使BF=DF,连接CF、EF.在
32、RtCDF和RtCBF中,CD=CB,D=CBF,DF=BF,RtCDFRtCBF.CF=CF,DCF=BCF.ECF=ECF=45.在ECF和ECF中,CF=CF,ECF=ECF,CE=CE,ECFECF.EF=EF.CE=3,BC=6,BE=3.AE=3.设DF=BF=x,则AF=6-x,EF=EF=3+x,在RtAEF中,AF2+AE2=EF2,(6-x)2+32=(3+x)2,解得x=2.CF=2.故选A.4.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD作等边ADE,则BEC的度数是.答案答案30或150解析解析当点E在正方形ABCD外时,如图,四边形ABCD为正方形,AD
33、E为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=150,AEB=ABE=15,同理可得DCE=DEC=15,则BEC=AED-AEB-DEC=30.当点E在正方形ABCD内时,如图,四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=30,AEB=ABE=75,同理可得DCE=DEC=75,则BEC=360-AED-AEB-DEC=150.综上,BEC=30或150.解题关键解题关键熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.易错警示易错警示此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,学生往往只画出
34、点E在正方形外而导致漏解.5.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则1+2+3+4+5=度. 图1 图2答案答案360解析解析任意n(n3)边形的外角和为360,图中五条线段组成五边形,1+2+3+4+5=360.6.(2017陕西,19,7分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于点G.求证:AG=CG.证明证明四边形ABCD是正方形,ADF=CDE=90,AD=CD.AE=CF,D
35、E=DF.ADFCDE.DAF=DCE.又AGE=CGF,AE=CF,AGECGF,AG=CG.C C组教师专用题组组教师专用题组考点一矩形考点一矩形1.(2017湖南怀化,9,3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AC=6cm,则 A B 的 长 是()A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm答案答案A四边形ABCD是矩形,AC=6cm,OA=OC=OB=OD=3cm,AOB=60,AOB是等边三角形,AB=OA=3cm.故选A.2.(2017黑龙江龙东地区,18,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=30,点P、E分别在AC、AD上,则PE+
36、PD的 最 小 值 是 ()A.2B.2C.4D.答案答案B作点D关于AC的对称点F,作FEAD于点E,交AC于点P,连接AF,EF,PF,DP,则AD=AF,DAC=FAC=30,FAD=60,AD=4,AF=AD=4,EF=AFsinFAE=4sin60=2.由作图可知:EFEF(垂线段最短),且EFPE+PF(两点之间线段最短),EFEFPE+PF,又EF=EP+PF=EP+PD,PE+PF=PE+PD,EP+PDPE+PD,当此不等式取等号时,PE+PD最小,PE+PD的 最 小 值 为 2.3.(2017辽宁葫芦岛,9,3分)如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的
37、中点C处,点B落在点B处,其中AB=9,BC=6,则FC 的 长 为()A.B.4C.4.5D.5答案答案D设FC=FC=x,由题知FD=9-x,BC=6,四边形ABCD为矩形,D=90,AD=BC=6,又点C为AD的中点,CD=AD=3.在RtFCD中,根据勾股定理,得FC2=FD2+CD2,即x2=(9-x)2+32,解得x=5.故FC的长为5.4.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC= 2,AEO=120,则FC的 长 度 为()A.1B.2C.D.答案答案A四边形ABCD是矩形,OA=OB=O
38、C=AC=.ADBC,OFC=AEO=120,BFO=60.EFBD,BOF=90,OBF=OCB=30,COF=BFO-OCB=30,OF=FC.OF=OBtan30=1,FC=1,故选A.5.(2017甘肃天水,14,4分)如图,矩形ABCD,DAC=65,点E是CD上一点,BE交AC于点F,将BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C处,则AFC等于.答案答案40解析解析四边形ABCD是矩形,ADBC,DAB=90,BCA=DAC=65,BAC=90-DAC=25.BCE沿BE翻折得到BCE,BCEBCE,易得BCFBCF,BCF=BCF=65.BCF是ACF的外角,AFC=BCF-B
39、AC=65-25=40.6.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为.答案答案解析解析BAM+EAD=90,EAD+EDA=90,BAM=EDA.又B=AED=90,ADEMAB.=,即=.AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0),则BM=2x,在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=(舍负),BM=2x=.7.(2016东营,16,4分)如图,沿AE折叠矩形ABCD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AE=5cm,且tanE
40、FC=.那么矩形ABCD的周长为cm.答案答案36解析解析由已知条件及折叠可知AFE=ADE=90.AFB+EFC=90.FEC+EFC=90,AFB=FEC.又B=C=90,RtAFBRtFEC.=tanEFC=.设EC=3xcm,则CF=4xcm,EF=DE=5xcm,CD=AB=8xcm.BF=6xcm.AF=AD=BC=10xcm.在RtAED中,由勾股定理得AE=5xcm,则5x=5,解得x=1.AB=DC=8cm,AD=BC=10cm.矩形ABCD的周长为8+8+10+10=36cm.8.(2016临沂,18,3分)如图,将一矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG.
41、若AB=4,BC=8,则ABF的面积为.答案答案6解析解析由折叠知AF=FC,设BF=x,则AF=FC=8-x,在RtABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3.所以SABF=ABBF=6.9.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论:EBG=45;DEFABG;SABG=SFGH;AG+DF=FG.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)答案答案解析解析ABG=HBG,FBE=CBE,A
42、BC=90,EBG=45,正确;AB=6,BF=BC=10,AF=8,FD=AD-AF=10-8=2,设DE=x,则EF=CE=6-x,在RtDEF中,DF2+DE2=EF2,22+x2=(6-x)2,x=,即DE=,EF=,BH=AB=6,HF=BF-BH=10-6=4,又易知RtDEFRtHFG,=,即=,GF=5,AG=3,若DEFABG,则=,但,故不正确;BH=6,HF=4,SBGH=SFGH,ABGHBG,SABG=SFGH,正确;FHGEDF,=,=,FG=5,AG+DF=5,AG+DF=FG,正确.10.(2018湖南张家界,17,5分)在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=A
43、D,DFAE,垂足为F.(1)求证:DF=AB;(2)若FDC=30,且AB=4,求AD.解析解析(1)证明:在矩形ABCD中,ADBC,B=90,AEB=DAF,(1分)又DFAE,DFA=90,DFA=B,(2分)又AD=AE,ADFEAB(AAS),DF=AB.(3分)(2)DAF+FDA=90,FDC+FDA=90,DAF=FDC=30,(4分)AD=2DF,又DF=AB=4,AD=2AB=24=8.(5分)思路分析思路分析(1)由矩形的性质得出B=90,ADBC,得出AEB=DAF,又AE=AD,DFAE,由AAS证明ADFEAB即可;(2)根据“同角的余角相等”证得DAF=FDC=
44、30,在RtADF中,利用“直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的一半”可知AD=2DF,由(1)的结论等量代换即可求解.11.(2017江苏徐州,23,8分)如图,在ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若A=50,则当BOD=时,四边形BECD是矩形.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABDC,AB=CD,OEB=ODC,又O是边BC的中点,BO=CO,在BOE和COD中,BOECOD(AAS),OE=OD,四边形BECD是平行四边形.(2)若A=50,则当BOD=100时,四
45、边形BECD是矩形.理由如下:四边形ABCD是平行四边形,BCD=A=50,BOD=BCD+ODC=100,ODC=100-50=50=BCD,OC=OD,BO=CO,OD=OE,DE=BC,又四边形BECD是平行四边形,四边形BECD是矩形.12.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形.(1)若PCD是等腰三角形,求AP的长;(2)若AP=,求CF的长.解析解析(1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90,DC=AB=6,AC=10.要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况:当CP=CD时,C
46、P=6,AP=AC-CP=4.当PD=PC时,PDC=PCD,PCD+PAD=PDC+PDA=90,PAD=PDA,PD=PA,PA=PC,AP=,即AP=5.当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ.SADC=ADDC=ACDQ,DQ=,CQ=,PC=2CQ=,AP=AC-PC=.综上所述,若PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP=.(2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC.四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形,ADC=PDF=90,即ADP+PDC=PDC+CDF,ADP=CDF.BCD=90,OE=OD,OC=ED.在矩形PEFD中,PF=DE,OC=
47、PF.OP=OF=PF,OC=OP=OF,OCF=OFC,OCP=OPC,又OPC+OFC+PCF=180,2OCP+2OCF=180,PCF=90,即PCD+FCD=90.在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD.ADPCDF,=.AP=,CF=.易错警示易错警示在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解.一题多解一题多解在第(2)问中,连接PF,DE,PF与DE相交于点O,连接OC.四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF.ECD是直角三角形,OC=OE=OD.D、P、E、C、F都在以O为圆心,OC为半径的圆上.PCF=BCD=90,DCF=
48、ACB.ADBC,ACB=DAC.DCF=DAP.又ADC=PDF=90,CDF=ADP,CDFADP.=,=,CF=.13.(2017湖南娄底,24,9分)如图,在ABCD中,各内角的平分线相交于点E,F,G,H.(1)求证:ABGCDE;(2)猜一猜,四边形EFGH是什么样的特殊四边形?证明你的猜想;(3)若AB=6,BC=4,DAB=60,求四边形EFGH的面积.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,DAB=BCD,ADC=ABC.各内角的平分线相交于点E,F,G,H,GAB=ECD,CDE=ABG,ABGCDE.(2)四边形EFGH是矩形.证明如下:四边形ABCD
49、是平行四边形,ABCD,ABC+BCD=180.各内角的平分线相交于点E,F,G,H,BCF+FBC=90,BFC=90,GFE=90.同理可证GHE=AGB=DEC=90,四边形EFGH是矩形.(3)各内角的平分线相交于点E,F,G,H,DAB=60,DAG=BAG=30,在RtABG中,AB=6,BAG=30,BG=3,AG=3.在RtDAH中,DAG=30,AD=BC=4,DH=2,AH=2,EH=1,HG=,四边形EFGH的面积是.14.(2017广西北部湾经济区四市,22,8分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2
50、)若AB=6,COD=60,求矩形ABCD的面积.解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,OA=OC,OB=OD,BE=DF,OE=OF,AOE=COF,AOECOF(SAS),(3分)AE=CF.(4分)(2)四边形ABCD为矩形,BCD=90,AB=CD=6,OD=OC.(5分)COD=60,OCD为等边三角形,OD=OC=CD=6,BD=2OD=12.(6分)在RtBCD中,BC2+DC2=BD2,BC=6.(7分)S矩形ABCD=BCCD=66=36.(8分)15.(2016四川自贡,23,12分)已知矩形ABCD中,AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(1
51、)如图,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA,若OCP与PDA的面积比为14,求边CD的长;(2)如图,在(1)的条件下擦去AO、OP,连接BP,动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作MEBP于点E,试问在点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明变化规律,若不变,求出线段EF的长度.解析解析(1)如图1,四边形ABCD是矩形, 图1C=D=90,1+3=90.由折叠可得APO=B=90,1+2=90,2=3,又D=C,OCPPDA.OCP与PDA的面积比为14,=,CP=AD=4,设OP=x
52、,则CO=8-x,在RtPCO中,由勾股定理得x2=(8-x)2+42,解得x=5,AB=AP=2OP=10,边CD的长为10.(2)不发生变化.如图2,作MQAN,交PB于点Q, 图2AP=AB,MQAN,APB=ABP=MQP.MP=MQ,BN=PM,BN=QM.MP=MQ,MEPQ,EQ=PQ.MQAN,QMF=BNF.在MFQ和NFB中,MFQNFB(AAS).QF=QB,EF=EQ+QF=PQ+QB=PB,由(1)可知BC=8,在RtPCB中,PB=4,EF=PB=2,在(1)的条件下,在点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,它的长度为2.考点二菱形考点二菱形1.(2018陕西,
53、8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF, 则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF答案答案D如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,易知OA=EF,AB=EF,故选D.思路分析思路分析首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF=A
54、C,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.2.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=2答案答案C根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D正确.故选C.3.(2016湖北鄂州,10,3分)如图,菱形A
55、BCD的边AB=8,B=60,P是AB上一点,BP=3,Q是CD边上一动点,将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点为A.当CA的长度最小时,CQ的 长 为()A.5B.7C.8D.答案答案B如图,过C作CHAB,连接DH.由四边形ABCD是菱形,B=60,可判定ABC为等边三角形;所以AH=HB=4;再由BP=3,可得HP=1.要使CA的长度最小,则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上,且对称轴PQ应满足PQDH;由作图知,DHPQ为平行四边形,可得DQ=HP=1,CQ=CD-DQ=8-1=7.故选B.4.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点
56、E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的 长 是()A.2B.3C.5D.6答案答案C连接EF交GH于点O,由四边形EGFH为菱形,可得EFGH,OH=OG,因为四边形ABCD为矩形,所以B=90.因为AB=8,BC=4,所以AC= 4.易证AGECHF,所以AG=CH,所以AO=AC=2;因为EOGH,B=90,所以AOE=B,又因为OAE=BAC,所以AOEABC,所以=,所以AE=5,故选C.5.(2015甘肃兰州,10,4分)如图,菱形ABCD中,AB=4,B=60,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,连接EF,则AEF的 面 积 是()A.
57、4B.3C.2D.答案答案B连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,B=60,ABC是等边三角形,AEBC,AE= 2,EAC=30,同理可得AF= 2,CAF=30,则EAF为等边三角形,SAEF=(2)2=3.故选B.6.(2015福建龙岩,10,4分)如图,菱形ABCD的周长为16,ABC=120,则AC的长为()A.4B.4C.2D.2答案答案A设AC与BD相交于点O,四边形ABCD是菱形,且其周长为16,ABC=120,AB=4,ACBD,AC=2AO,ABO=60,则在RtABO中,AO=ABsin60= 2,AC= 4,故选A.7.(2016四川内江,15,5分)如图,在菱形AB
58、CD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OEBC,垂足为点E,则OE=.答案答案解析解析四边形ABCD是菱形,OB=BD=3,OC=AC=4,ACBD,在RtBOC中,BC=5,OEBC,OE=.8.(2016陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD中,ABC=60,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为.答案答案2-2解析解析当等腰PBC以PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧上.连接AC、BD相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.四边形ABCD是菱形,ACB
59、D,ABO=ABC=30,BO=ABcos30=,BD=2BO=2,PB=BC=2,PD=BD-PB=2-2.当等腰三角形PBC以PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2.当等腰三角形PBC以BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.2-290)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD.操作发现(1)将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=BAC,得到如图2所示的ACD,分别延长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状是;(2)创新小组将图1
60、中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=2BAC,得到如图3所示的ACD,连接DB,CC,得到四边形BCCD,发现它是矩形.请你证明这个结论;实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一个问题:将ACD沿着射线DB方向平移acm,得到ACD,连接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;(4)请你参照以上操作,将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到ACD,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明. 图4解析解析(1)菱形.(2)证明:如图,作A
61、ECC于点E.由旋转得AC=AC,CAE=CAE=BAC.由题意知BA=BC,BCA=BAC.CAE=BCA,AEBC.同理,AEDC,BCDC.又BC=DC,四边形BCCD是平行四边形.又AEBC,CEA=90,BCC=180-CEA=90,四边形BCCD是矩形.(3)过点B作BFAC,垂足为F.BA=BC,CF=AF=AC=10=5(cm).在RtBCF中,BF=12(cm).在ACE和CBF中,CAE=BCF,CEA=BFC=90,ACECBF.=,即=,解得CE=.当四边形BCCD恰好为正方形时,分两种情况:点C在边CC上,a=CC-13=-13=.点C在CC的延长线上,a=CC+13
62、=+13=.综上所述,a的值为或.(4)答案不唯一.例:如图.平移及构图方法:将ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为AC的长度,得到ACD,连接AB,DC.结论:四边形ABCD是平行四边形.考点三正方形考点三正方形1.(2018湖北宜昌,9,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,点E、F分别是对角线AC上的两点,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G、I、H、J, 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于()A.1B.C.D.答案答案B由正方形的对称性可知,阴影部分的面积等于正方形面积的一半,故S阴影=.2.(2017河北,11,2分)如图是边长为10cm的正方形铁片,过
63、两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)的 是()答案答案A由勾股定理得正方形的对角线的长是10,因为1015,所以正方形内部的每一个点到正方形的顶点的距离都小于15,故选A.3.(2016黑龙江龙东地区,20,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,BF交于点G,将BCF沿BF对折,得到BPF,延长FP交BA的延长线于点Q,下列结论正确的个数是()AE=BF;AEBF;sinBQP=;S四边形ECFG=2SBGE.A.4B.3C.2D.1解析解析B四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD,ABE=BCF,E,F分别是BC,CD
64、的中点,BE=CF,BCFABE,AE=BF,正确;BCFABE,AEB=BFC,BFC+FBC=90,AEB+FBC=90,AEBF,正确;设正方形的边长为2,由翻折可知BP=BC=2,FC=FP,CFB=PFB,BPF=C=90,BPQ=90,四边形ABCD是正方形,ABDC,CFB=FBA,PFB=FBA,QB=QF,点F是DC中点,FP=FC=1,设QB=x,则QP=x-1,在RtPQB中,由勾股定理得QP2+PB2=QB2,即(x-1)2+22=x2,解得x=,sinBQP=,正确;由知BE=1,AB=2,由勾股定理得AE=,ABBE=AEBG,BG=,由勾股定理得AG=,GE=,S
65、ABG=4SGBE,BCFABE,SBCF=SABE,S四边形ECFG=4SABG,S四边形ECFG=4SBGE,错误,故选B.4.(2015济南,13,3分)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ACB的平分线交AB、BD于M、N两点,若AM=2,则线段ON的 长 为()A.B.C.1D.答案答案C过点M作MHAC,垂足为H,AHM=90.四边形ABCD为正方形,CAB=45,ACBD,AHM是等腰直角三角形.AM=2,AH=HM=.CM平分ACB,MHAC,MBBC,BM=MH=.AB=2+,AC=2+2.CH=+2.MHON,CONCHM.=,即=,解得ON=1.5.(201
66、7浙江丽水,15,4分)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJAB,则正方形EFGH的边长为.答案答案10方法指导方法指导求得正方形EFGH的面积即可求出其边长.解析解析题图2中有8个全等的直角三角形,每个的面积为(1414-22)8=(196-4)8=1928=24,则正方形EFGH的面积为244+22=96+4=100,正方形EFGH的边长为=10.故答案为10.6.(2017浙江绍兴,14,5分)如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线
67、BD上,GECD,GFBC,AD=1500m,小敏行走的路线为BAGE,小聪行走的路线为BADEF.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为m.答案答案4600解析解析如图,连接GC,四边形ABCD为正方形,AD=DC,ADB=CDB=45,BCD=90.在ADG与CDG中,ADGCDG,AG=GC.又GECD,GFBC,BCD=90,四边形GFCE是矩形,GC=EF,AG=EF.CDG=45,GECD,GED是等腰直角三角形,DE=GE.小敏行走的路程为AB+AG+GE;小聪行走的路程为AB+AD+DE+EF;对比发现小聪比小敏多走了1500m,故小聪走的路程为3100+1500=4
68、600米.7.(2017江苏宿迁,15,3分)如图,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1,若点P在对角线BD上移动,则PA+PE的最小值是.答案答案解析解析作出点E关于BD的对称点E,连接AE与BD交于点P,连接PE,此时AP+PE最小,BD垂直平分EE,PE=PE,AP+PE=AP+PE=AE,在RtABE中,AB=3,BE=BE=1,根据勾股定理得AE=,则PA+PE的最小值为.8.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交D
69、G的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.解析解析(1)证明:如图,连接DF.四边形ABCD为正方形,DA=DC=AB,A=C=ADC=90.又点A关于直线DE的对称点为F,ADEFDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,DFG=90.在RtDFG和RtDCG中,RtDFGRtDCG(HL),GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.AD=AB,DM=BE.由(1)得1=2,3=4,ADC=90,1+2+3+4=90,22+23=90,2+3=45,EDH=45.EH
70、DE,DE=EH,DEH=90,A=90,1+AED=90,5+AED=90,1=5.在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),ME=BH.A=90,AM=AE,ME=AE,BH=AE.思路分析思路分析本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构造全等三角形,利用等腰直角三角形的性质解决.解题关键解题关键解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角形全等,从而将BH和AE转化到AME中证明数量关系.9.(2017四川广安,19,6分)如图,四边形ABCD是正方形,E、F分别是AB、AD上的一点,且BFCE,垂足为G.求证:AF
71、=BE.证明证明四边形ABCD是正方形,CBA=A=90,AB=BC,CBG+ABF=90.BFCE,BGC=90,BCE+CBG=90,BCE=ABF.在CBE和BAF中,CBEBAF(ASA),AF=BE.10.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:BE=CF;求证:BE2=BCCE;(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF的值. 图1 图2解析解析(1)证明:四边形ABCD
72、为正方形,AB=BC,ABC=BCF=90.又AGB=90,BAE+ABG=90.又ABG+CBF=90,BAE=CBF.ABEBCF(ASA),BE=CF.(4分)证明:AGB=90,点M为AB的中点,MG=MA=MB,GAM=AGM.又CGE=AGM,从而CGE=CBG.又ECG=GCB,CGECBG.=,即CG2=BCCE.由CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG.由知,BE=CF,BE=CG.BE2=BCCE.(9分)(2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1). 图1四边形ABCD是正方形,ABCD.N=EAB.又CEN=BEA,CENBEA.故=,即BECN=ABCE.AB
73、=BC,BE2=BCCE,CN=BE.由ABDN知,=.又AM=MB,FC=CN=BE.不妨令正方形的边长为1.设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).解得x1=,x2=(舍去).=.于是tanCBF=.(14分)解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).解得x1=,x2=(舍去),即BE=.作GNBC交AB于N(如图2), 图2则MNGMBC.=.设MN=y,则GN=2y,GM=y.=,即=,解得y=.GM=.从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上.AGB是直角三角形,且AGB=90.由(1)知BE=CF,于是tanC
74、BF=.(14分)11.(2016四川乐山,19,9分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE、DF.求证:CE=DF.证明证明在正方形ABCD中,AB=BC=CD,B=BCD=90,E是边AB的中点,F是边BC的中点,BE=CF,BCECDF(SAS),CE=DF.12.(2016东营,24,10分)如图1,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BDCF成立.(1)当ABC绕点A逆时针旋转(0”“解析解析设正方形ABCD的边长为6,AC是正方形ABCD的对角线,ACB=DAC=4
75、5,AC=6.又四边形EFGB与四边形MNHQ是正方形,EF=BG=FG=GC,MN=QM=AQ=QH=CH,EF=BC,MN=AC.EF=3,MN=2,S1=9,S2=8,S1S2.4.(2016枣庄三十九中一模,16)如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把ADE沿AE翻折,点D的对应点F恰好落在BC上,已知AD=20cm,AB=16cm,那么折痕AE的长为cm.答案答案10解析解析四边形ABCD是矩形,AB=CD=16cm,AD=BC=20cm,B=D=90,AEF是由AED翻折而成的,AD=AF=20cm,DE=EF,设DE=EF=xcm,则EC=(16-x)cm,在RtABF中,A
76、B=16cm,AF=20cm,BF=12cm,FC=BC-BF=20-12=8cm,在RtEFC中,EF=xcm,EC=(16-x)cm,FC=8cm,x2=(16-x)2+82,x=10,在RtADE中,AD=20cm,DE=10cm,AE=10(cm).三、解答题(共8分)三、解答题(共8分)5.(2018泰安新泰一模,23)如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、AB上的点,且CE=BF,连接DE,过点E作EGDE,使EG=DE,连接FG,FC.(1)请判断:FG与CE的数量关系和位置关系(不要求证明);(2)如图2,若点E、F分别是CB、BA的延长线上的点,其他条件不变,(1
77、)中的结论是否仍然成立?请给出判断并予以证明;(3)如图3,若点E、F分别是BC、AB的延长线上的点,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.解析解析(1)FG=CE,FGCE.(2)(1)中的结论仍然成立.证明:如题图2,设DE与CF交于点M.四边形ABCD是正方形,BC=CD,ABC=DCE=90,在CBF和DCE中,CBFDCE,BCF=CDE,CF=DE.BCF+DCM=90,CDE+DCM=90,CMD=90,CFDE,GEDE,EGCF,EG=DE,CF=DE,EG=CF,四边形EGFC是平行四边形.FG=CE,FGCE.(3)FG=CE,FGCE.解题关键解
78、题关键本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识.解题的关键是正确寻找全等三角形,并注意这类题目的解题规律,图形变了,条件不变,证明的方法思路完全一样,属于中考常考题型.6.(2016济南外国语学校一模,27)已知MAN=135,正方形ABCD绕点A旋转.(1)当正方形ABCD旋转到MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是;如图2,若BMDN,请判断中的数量关系是否仍成立.若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图3,当正方形
79、ABCD旋转到MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是什么三角形,并说明理由.解析解析(1)MN=BM+DN.理由如下:四边形ABCD是正方形,AD=AB,ADN=ABM=90.在ADN与ABM中,ADNABM(SAS),AN=AM,NAD=MAB,MAN=135,BAD=90,NAD=MAB=(360-135-90)=67.5.如图a,作AEMN于E,则MN=2NE,NAE=MAN=67.5.在ADN与AEN中,ADNAEN(AAS),DN=EN,BM=DN,MN=2EN,MN=BM+DN.如图b,若BMDN,则
80、中的数量关系仍成立.理由如下:延长NC到点P,使DP=BM,连接AP.四边形ABCD是正方形,AB=AD,ABM=ADC=90.在ABM与ADP中,ABMADP(SAS),AM=AP,1=2,ABDC,3=2.1=3,1+4=90,3+4=90,MAN=135,PAN=360-MAN-(3+4)=360-135-90=135.在ANM与ANP中,ANMANP(SAS),MN=PN,PN=DP+DN=BM+DN,MN=BM+DN.(2)如图c,以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形.理由如下:四边形ABCD是正方形,BDA=DBA=45,MDA=NBA=135.1+2=45,M
81、AN=135,DAB=90,2+3=45,1=3.在ANB与MAD中,ANBMAD,=,又AB=AD,AB2=BNMD,AB=DB,BNMD=BD2,BD2=2BNMD,MB2=(MD+BD)2=MD2+2MDBD+BD2,DN2=(BD+BN)2=BD2+2BDBN+BN2,MN2=(DM+BD+BN)2=DM2+BD2+BN2+2DMBD+2DMBN+2BDBN,MD2+2MDBD+BD2+BD2+2BDBN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MDBD+2BDBN+2BNMD,(MD+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2,即MB2+DN2=MN2,以线段BM,MN,DN的长度
82、为三边长的三角形是直角三角形.C C组组2016201620182018年模拟年模拟探究题组探究题组1.(2017临沂模拟,13)已知:如图,MON=45,OA1=1,作正方形A1B1C1A2,面积记作S1;再作第二个正方形A2B2C2A3,面积记作S2;继续作第三个正方形A3B3C3A4,面积记作S3;点A1、A2、A3、A4,在射线ON上,点B1、B2、B3、B4,在射线OM上,依此类推,则第6个正方形的面积S6是()A.256B.900C.1024D.4096答案答案CMON=45,OA1B1是等腰直角三角形,OA1=1,正方形A1B1C1A2的边长为1,B1C1OA2,B2B1C1=M
83、ON=45,B1C1B2是等腰直角三角形,正方形A2B2C2A3的边长为1+1=2,同理,第3个正方形A3B3C3A4的边长为2+2=4,第4个正方形A4B4C4A5的边长为4+4=8,第5个正方形A5B5C5A6的边长为8+8=16,第6个正方形A6B6C6A7的边长为16+16=32,所以,第6个正方形的面积S6是322=1024.故选C.2.(2017济南市中区一模,21)如图,将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C的对应点为C,再将所折得的图形沿EF折叠,使得点D和点A重合.若AB=3,BC=4,则折痕EF的长为.答案答案解析解析设BC与AD交于N,EF与AD交于M,根据折叠的性质可得NBD=CBD,AM=DM=AD,FMD=EMD=90,四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC=4,BAD=90,ADB=CBD,NBD=ADB,BN=DN,设AN=x,则BN=DN=4-x,在RtABN中,AB2+AN2=BN2,32+x2=(4-x)2,x=,即AN=,CD=CD=AB=3,BAD=C=90,ANB=CND,ANBCND(AAS),FDM=ABN,tanFDM=tanABN,=,=,MF=,由折叠的性质可得EFAD,EFAB,AM=DM,ME=AB=,EF=ME+MF=+=.
