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1、1前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法,比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等,这里再集中学习一下计数中其他常见的方法,主要有归纳法、整体法、对应法、递推法对这些计数方法与技巧要做到灵活运用解决计数问题时,有时要“化整为零”,使问题变得简单;有时反而要从整体上来考虑,从全局、从整体来研究问题,反而有利于发现其中的数量关系【例例 1 1】 一个正方形的内部有 1996 个点,以正方形的 4 个顶点和内部的 1996 个点为顶点,将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀,那么共需剪多少
2、刀?【考点】计数之整体法 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析】方法一：归纳法,如下图,采用归纳法,列出 1 个点、2 个点、3 个点时可剪出的三角形个数,需剪的刀数 不难看出,当正方形内部有 n 个点时,可以剪成 2n2 个三角形,需剪 3n+l 刀,现在内部有 1996 个点,所以可以剪成 21996+2=3994 个三角形,需剪 31996+1=5989 刀 方法二：整体法我们知道内部一个点贡献 360 度角,原正方形的四个顶点共贡献了 360 度角,所以当内部有 n 个点时,共有 360n+360 度角,而每个三角形的内角和为 180 度角,所以可剪成(360n+360)180=2n
3、+2 个三角形 2n+2 个三角形共有 3(2n+2)=6n+6 条边,但是其中有 4 条是原有的正方形的边,所以正方形内部的三角形边有 6n+64=6n+2 条边,又知道每条边被 2 个三角形共用,即每 2 条边是重合的,所以只用剪(6n+2)23n+1 刀本题中 n=1996,所以可剪成 3994 个三角形,需剪 5989 刀【答案】可剪成 3994 个三角形,需剪 5989 刀【巩固】在三角形ABC内有 100 个点,以三角形的顶点和这 100 点为顶点,可把三角形剖分成多少个小三角形?【考点】计数之整体法 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析解析】整体法100 个点每个点周围有
4、360 度,三角形本身内角和为 180 度,所以可以分成360 100180180201个小三角形例题精讲例题精讲教学目标教学目标7-6-27-6-2 计数之整体法计数之整体法2【答案】201个小三角形【例例 2 2】 在一个六边形纸片内有60个点,以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形,最多能剪出_个【考点】计数之整体法 【难度】4 星 【题型】填空【解析解析解析解析】设正六边形内有n个点,当1n 时有6个三角形,每增加一个点,就增加2个三角形,n个点最多能剪出62122nn个三角形60n 时,可剪出124个三角形注：设最多能剪出x个小三角形,则这些小三角形的内角和为180 x换一个角度看,汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4 180,故这些小三角形的内角总和为603604 180于是180603604 180x ,解得124x 【答案】124个
