1 弹性理论问题需要解一系列偏微分方程组，并满足边界条件，这在数学上往往遇到困难因此需要寻求近似的解法变分法的近似解法是常用的一种方法在数学上，变分问题是求泛函的极限问题在弹性力学里，泛函就是弹性问题中的能量（功），变分法是求能量（功）的极值，在求极值时得到弹性问题的解，变分问题的直接法使我们比较方便地得到近似解 本章首先给出计算形变势能的表达式利用功与能的关系，主要介绍了位移变分法和应力变分法12 第十章第十章 能量原理与变分法能量原理与变分法§§10-1 10-1 弹性体的变形弹性体的变形比比能能与形变与形变势能势能§§10-3 10-3 位移变分法位移变分法§§10-4 10-4 应力变分方程应力变分方程与与应力变分方法应力变分方法1§§10-2 10-2 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理3 §10-1§10-1 弹性体的变形比能与形变势能一 变形比能 在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量 根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及形变的最终大小。
从而有弹性体的形变势能密度或比能：比能用应力分量表示24 比能用应变分量表示其中因此，我们有比能对应力分量的偏导35 比能对应变分量的偏导二 形变势能 由于应力分量和形变分量，进而比能 都是位置坐标的函数，所以整个弹性体的形变势能 为： 将比能的三种表达形式代入，得形变势能的三种积分形式46 将几何方程代入，形变势能还可用位移分量来表示57 一 变分及其性质 高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的增量那么什么是变分呢？变分是函数的增量，通常用δ表示变分具有以下的性质： §10-2 §10-2 位移变分方程与极小势能原理68 二 位移变分方程 设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为 u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件现在假设位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变（虚位移）δu 、δv、δw，这时外力在虚位移上作虚功，虚功应和变形能泛函的增加相等，即这个方程就是所谓位移变分方程其中X,Y,Z为体力分量， 为面力分量79 三 极小势能原理 由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中，外力的大小和方向可以当做保持不便，只是作用点有了改变。
利用变分的性质，位移变分方程可改写为：设外力势能为则 该式的意义是：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能为最小如果考虑二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值因此，该式又称为极小势能原理810 显然，实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足位移表示的平衡方程和应力边界条件；现在又看到，实际存在的位移，除了满足位移边界条件外，还满足位移变分方程而且，通过运算，还可以从位移变分方程导出用位移表示的平衡微分方程和应力边界条件于是可见：位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件911 §10-3 §10-3 位移变分法其中u0,v0,w0 为设定的函数，它们的边界值等于边界上的已知位移；um 、vm、wm 为边界值等于零的设定函数，Am、Bm、Cm为待定的系数，位移的变分由它们的变分来实现 先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式，其中包含若干个待定的系数，再根据极小势能原理，决定这些系数取位移分量的表达式如下：一 瑞次法1012 应变能的变分为外力势能的变分为位移分量的变分是1113 中，得到上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。
这种方法称为瑞次法代入1214 二 伽辽金法 将变分看做形变分量的函数，则由于所以应用奥高公式，对上式中的第一项，我们有1315 对于其余各项也进行同样的处理，则将上式代入位移变分方程，并归项得1416 如果应力边界条件得到满足，则上式简化为这就是位移分量满足位移边界条件及应力边界条件时，位移变分所应满足的方程，称为伽辽金变分方程1517 若取位移分量的表达式如下：使得位移边界条件和应力边界条件都得到满足，则将位移变分代入伽辽金方程，就得到1618 由于的任意性，它们的系数应当分别为零于是得将上列三方程中的应力分量通过物理方程用形变分量表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化后即得：1719 这样就得到位移函数待定常数的线性方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解这种方法称为伽辽金法 要注意的是：用位移变分法求位移分量，只须取几项就可达到较高的精度，然而由此求出的应力却很不精确为了求得的应力充分精确，必须取更多的项1820 三 应用与举例 将位移变分法应用于平面问题，瑞次法和伽辽金法都将得到简化。
由于两种平面问题都不必考虑 z 方向的位移 w ，且u 和 v 都不随坐标 z 而变，所以位移分量的表达式可设为 在采用瑞次法时，为了决定系数Am及 Bm ，在z方向取一个单位长度，只须应用如下二式来求解线性方程组1921 其中形变势能用位移分量表示形式简化如下，平面应变问题平面应力问题 在采用伽辽金法时，对于平面应变问题，要应用如下二式来求解线性方程组2022 对于平面应力问题，要求解的方程组如以下二式形式 伽辽金方法的计算工作量较小，但对位移函数的要求较高，除了要求满足位移边界条件外，还要求根据位移函数求得的应力应满足应力边界条件在特殊情况，如仅有位移边界，而无应力边界，这也表示着应力边界条件得到满足，这时用伽辽金方法十分方便 瑞次法的要点是要找到满足全部边界条件的位移函数，而这种函数一般仍然难以找到，尤其在边界不规整的情况下所以瑞次方法的应用在这一点上受到极大的限制2123 例1：如图所示的薄板，不计体力，求薄板的位移解： 设位移它们是满足位移边界（左边和下边）的边界条件的 在平面应力状态下可得xyq1q2bao2224 即可得由即解得2325 例2：如图所示，宽为2a而高度为b的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为不计体力，试求薄板的位移和应力。
解： 取坐标轴如图所示设位移分量为aabboxyη2426 可以满足位移边界条件，即 在该问题中，并没有应力边界条件，因此可以认为所设位移既然满足了位移边界条件，也就满足了全部边界条件，这就可以应用伽辽金法求解，使数学运算比较简单一些 注意体力X=Y=0而m = 1，伽辽金方程成为2527 将位移分量的各二阶导数以及代入伽辽金方程，进行积分并求解得2628 为简单起见，取b=a而µ=0.2，将A1和B1代入所设位移函数得应用几何方程及物理方程，可有上式求得应力分量2729 §10-4 §10-4 应力变分方程应力变分方法 设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡命σij为实际存在的应力分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程现在，假想体力不变,而应力分量发生了微小的变化δσij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为σij +δσij ，设它们只满足平衡微分方程和应力边界条件一 应力变分方程 既然两组应力分量都满足同样体力作用下的平衡微分方程，应力分量的变分必然满足无体力时的平衡方程，即2830 (a)(b)同时，在位移给定的边界上（面力不可能给定），应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分 。
根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足2931 由于应力分量的变分，形变势能必有相应的变分把形变势能看做应力分量的函数，则形变势能的变分应为将下式代入3032 再将几何方程代入，得 根据分步积分和奥－高公式，对上式右边的各项进行处理，例如最后可得3133 再将式（a）和（b）代入，即得这就是所谓应力变分方程(卡斯提安诺变分方程)方程的右边代表面力的变分在实际位移上所做的功由此可见，由于应力发生的变分，形变势能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功3234 如果在某一部分边界上，面力是给定的，则该部分边界上的面力不能有变分，于是 ，而应力变分方程右边的相应积分项成为零；如果在某一部分边界上，给定的位移等于零，则应力变分方程右边的相应积分项也成为零因此，应力变分方程右边的积分，只须在这样的边界上进行：面力没有给定，而给定的位移又不等于零二 极小余能原理 将应力变分方程改写为由于在需要积分的边界上，位移是给定的，在变分过程中保持不变，所以上式可以改写为3335 中括号内的表达式称为弹性体的余能。
因此，在满足平衡方程和应力边界条件的各组应力中间，实际存在的一组应力应使弹性体的余能成为极值如果考虑二阶变分，可以证明这个极值是极小值，所以上述结论称为极小余能原理 以前看到，实际存在的应力，除了满足平衡微分方程以外，还应当满足相容方程现在又看到，实际存在的应力，除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外，还满足应力变分方程而且，通过运算，还可以从应力变分方程导出相容条件于是可见，应力变分方程可以代替相容条件3436 三 应力变分法 设定应力分量的表达式，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程决定这些系数应力分量一般可设为 其中Am为互不依赖的m个系数σij0是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，σijm 是满足“无体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数这样，不论系数Am如何取值，σij总能满足平衡微分方程和应力边界条件 注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现c)3537 如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程简化为显然，形变势能U是Am的二次函数，因而(d)式将是Am的一次方程。
这样的方程共有 m 个，恰好可以用来求解系数Am，回代(c)式，求得应力分量即(d) 如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程，即3638 在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界将面力的变分与应力的变分两者之间的关系，即代入方程的右边积分后，将得出如下的结果：其中Bm是常数另一方面，方程的左边3739 因而得上式仍然是Am的一次方程，总共有m个，且各个Am是互不相关的，因而可以求出所有的Am ，回代(c)式，求得应力分量 在应用应力变分法时，要使设定的应力分量既满足应力边界条件，又满足平衡微分方程，这往往是很困难的但是，在某些类型的问题中存在着应力函数，而且用应力函数表示的应力分量又能满足平衡微分方程这时，我们就只须设定应力函数的表达式，使它给出的应力分量能满足应力边界条件，困难就大大减少了3840 其中Am为互不依赖的m个系数φ0给出的应力满足实际的应力边界条件，φm 给出的应力满足无面力时的应力边界条件 由于应力分量的数量较多，确定起来有困难，通常用应力函数方法 在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。
将应力函数设定为四 应力函数方法 在平面应力状态，用应力分量表示的形变势能为3941 如果考虑单连体，且是应力边界问题，应力分量应与 无关，可设其为零则两类平面问题皆简化为用应力函数表示为 对于平面应变问题4042 在应力边界问题中，因为面力不能有变分，所以变分方程简化为δU=0,因此系数应满足 上式为线性方程组，求解Am后，得到应力函数的近似解，最后得到各应力分量将应力函数的表达式代入，得 4143 由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量 由上式即可解得系数Am从而确定应力函数，再由应力函数求得各应力分量 应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，而这种函数一般仍然难以找到，尤其在边界不规整的情况下所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制4244 例题3：设有矩形薄板，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉力，其最大集度为 q ，图示试求板的应力 解：在图示坐标下，边界条件是取xyaabbq4345 则由给出的应力分量满足边界条件。
而由所对应的应力能满足无面力时的边界条件 将以及体力X=Y=0代入下式中4446 进行积分，并简化以后得为简单起见，令a=b，则代入中，并令a=b，再求应力分量得4547 习题10.1 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，只受重力作用，设 ，试取位移分量的表达式为用瑞次法求解位移分量(取A1项及B1项)及应力分量aaaaxy解： 当只取A1项及B1项时：48 形变势能现计算 和 49 在用瑞次法时，要求由解之得50 所以51 习题10.2 简支梁受均布荷载q，梁长为 (图示)梁的平衡方程为设梁的挠曲线方程为试用伽辽金法求梁的挠曲线q qxy解： 梁的边界条件为故挠曲线方程满足边界条件52 梁的平衡方程为代入伽辽金方程，得积分后得待定系数故挠曲线方程为53 显然所设梁的挠曲线方程 满足边界条件由极小势能原理求系数a2和a3 形变势能为解： 设梁的挠曲线为其边界条件为习题10.3 悬臂梁在自由端受集中力P作用，如图所示试用极小势能原理求最大挠度P Pxy54 外力势能为则总势能为应用极小势能原理则55 积分得由上述两方程解得故挠曲线为最大挠度值为56 57 。